高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换课后复习题

5.5.2　简单的三角恒等变换

课后篇巩固提升

合格考达标练

1.cos2的值为(　　)

A. B. C. D.

答案B

解析cos2.

2.已知α为第一象限角,且tan α=,则sin 的值为 (　　)

A. B.- C.± D.

答案C

解析因为α为第一象限角,且tanα=,所以cosα=,而是第一或第三象限角.当是第一象限角时,sin;当是第三象限角时,sin=-=-,故sin=±.

3.在△ABC中,若cos A=,则sin2+cos 2A= (　　)

A.- B. C.- D.

答案A

解析sin2+cos2A=+2cos2A-1=+2cos2A-1=-.

4.已知f(x)=sin x+cos x,且锐角θ满足f(θ)=2,则θ=　　　　　. 

答案

解析因为f(x)=sinx+cosx=2=2sin,又因为f(θ)=2,

所以2sin=2,解得θ=.

5.若tan α=,则=　　　　　. 

答案7

解析因为tanα=,所以=7.

6.证明:.

证明左边=

=

==右边.

所以原等式成立.

等级考提升练

7.若函数f(x)=(1+tan x)cos x,则f=(　　)

A. B.- C.1 D.

答案D

解析∵f(x)=cosx

=cosx+sinx=2sin,

∴f=2sin=2sin.

8.若3π<x<4π,则=(　　)

A.cos B.-cos

C.sin D.-sin

答案C

解析因为3π<x<4π,

所以<2π,sin<0,cos>0.

于是=cos+sin=cos-sincossin=sin.

9.在△ABC中,若sin Asin B=cos2,则下列等式中一定成立的是(　　)

A.A=B B.A=C

C.B=C D.A=B=C

答案A

解析∵sinAsinB=cos2

=cos(A+B)

=(cosAcosB-sinAsinB),

∴cosAcosB+sinAsinB=.

∴cos(A-B)=1.

∵0<A<π,0<B<π,∴-π<A-B<π,

∴A-B=0,∴A=B.

10.已知等腰三角形的顶角的余弦值等于,则它的底角的余弦值为(　　)

A. B. C. D.

答案B

解析设等腰三角形的顶角为α,底角为β,则cosα=.又β=,即cosβ=cos=sin.

11.(多选题)有以下四个关于三角函数的命题,其中正确的是(　　)

A.∃x∈R,sin2+cos2

B.∃x,y∈R,sin(x-y)=sin x-sin y

C.∀x∈[0,π],=sin x

D.sin x=cos y,则x+y=

答案BC

解析因为sin2+cos2=1≠,所以A为假命题;当x=y=0时,sin(x-y)=sinx-siny,所以B为真命题;因为=|sinx|=sinx,x∈[0,π],所以C为真命题;当x=,y=2π时,sinx=cosy,但x+y≠,所以D为假命题.

12.(多选题)如果若干个函数的图象经过平移后能够重合,则这些函数为“互为生成函数”.下列函数中,与f(x)=sin x+cos x构成“互为生成函数”的有(　　)

A.f1(x)=sin x+

B.f2(x)=(sin x+cos x)

C.f3(x)=sin x

D.f4(x)=2cossin+cos

答案AD

解析f(x)=sinx+cosx=sinx+,∵f1(x)=sinx+,∴将f1(x)图象向下平移个单位长度,再向左平移个单位长度即可与f(x)图象重合;f2(x)=(sinx+cosx)=sinx+=2sinx+,f2(x)图象无法经过平移与f(x)图象重合;C.f3(x)=sinx,f3(x)图象无法经过平移与f(x)图象重合;f4(x)=2cossin+cos=2cossin+2cos2=sinx+cosx+1=sinx++1,将f4(x)图象向下平移1个单位长度,与f(x)图象重合.故A,D中的函数与f(x)“互为生成函数”.

13.已知sinx+=-,则cos x+cosx-=　　　　. 

答案-1

解析因为sinx+=-,

所以cosx+cosx-=cosx+cosx+sinx

=cosx+sinx=cosx+sinx

=sinx+=-1.

14.已知cos=m,则cos x+cos=　　　. 

答案m

解析因为cosx+cos=cosx+cosxcos+sinxsincosx+sinx=cos,所以cosx+cosm.

15.已知sin α=,sin(α+β)=,α,β均为锐角,求cos 的值.

解∵0<α<,∴cosα=,

∵0<α<,0<β<,∴0<α+β<π,

若0<α+β<,

∵sin(α+β)<sinα,∴α+β<α,

∴β<0,与已知矛盾,

∴<α+β<π,∴cos(α+β)=-,

∴cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=-.

∵0<β<,∴0<,

∴cos.

新情境创新练

16.已知sin A+sin B+sin C=0,cos A+cos B+cos C=0,求证:cos2A+cos2B+cos2C=.

证明由已知,得sinA+sinB=-sinC, ①

cosA+cosB=-cosC. ②

和差化积,得2sincos=-sinC. ③

2coscos=-cosC. ④

∵当cos=0时,sinC=cosC=0,不满足题意,∴cos≠0.

③÷④,得tan=tanC.

∴cos(A+B)==cos2C.

①2+②2,得2+2cos(A-B)=1,

即cos(A-B)=-,

∴cos2A+cos2B+cos2C

=(1+cos2A+1+cos2B+1+cos2C)

=[2cos(A+B)cos(A-B)+cos2C]

=.