人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换第3课时当堂达标检测题

第3课时　二倍角的正弦、余弦、正切公式

课后篇巩固提升

合格考达标练

1.=(　　)

A.- B.- C. D.

答案D

解析原式=cos2-sin2=cos,故选D.

2.若tan α=3,则的值等于(　　)

A.2 B.3 C.4 D.6

答案D

解析=2tanα=2×3=6.

3.(2021湖南永州高一期末)已知cosθ-=,-<θ<,则sin 2θ的值等于(　　)

A.- B. C.- D.

答案B

解析因为cosθ-=sinθ=,-<θ<,

所以cosθ=,

则sin2θ=2sinθcosθ=2×.故选B.

4.(2021天津高一期末)已知sin(π-α)=,则cos 2α=(　　)

A. B.- C. D.-

答案C

解析∵sin(π-α)==sinα,

∴cos2α=1-2sin2α=1-2×,故选C.

5.若,则tan 2α=(　　)

A.- B. C.- D.

答案B

解析等式左边分子、分母同时除以cosα(显然cosα≠0),得,解得tanα=-3,

∴tan2α=.

6.(2021上海虹口高一期末)已知α∈(0,π),且有1-2sin 2α=cos 2α,则cos α=　　　　. 

答案

解析由1-2sin2α=cos2α,得1-cos2α=2sin2α,

即2sin2α=4sinαcosα.

又α∈(0,π),所以sinα≠0,所以sinα=2cosα>0.

由sin2α+cos2α=(2cosα)2+cos2α=5cos2α=1,

解得cosα=.

7.化简:=　　　　　. 

答案tan 2α

解析原式==tan2α.

8.求下列各式的值:

(1);

(2)2tan 15°+tan215°;

(3)sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°.

解(1)原式=

=

=

==1.

(2)原式=tan30°(1-tan215°)+tan215°

=(1-tan215°)+tan215°=1.

(3)(方法一)sin10°sin30°sin50°sin70°

=cos20°cos40°cos80°

=

=.

(方法二)令x=sin10°sin50°sin70°,

y=cos10°cos50°cos70°.

则xy=sin10°cos10°sin50°cos50°sin70°cos70°

=sin20°·sin100°·sin140°

=sin20°sin80°sin40°=cos10°cos50°cos70°

=y.

∵y≠0,∴x=.

从而有sin10°sin30°sin50°sin70°=.

等级考提升练

9.(2021甘肃天水高一期末)已知tan ,则的值为(　　)

A. B.- C. D.-

答案A

解析∵tan,

∴

==tan,故选A.

10.若tan=-3,则cos 2α+2sin 2α=(　　)

A. B.1

C.- D.-

答案B

解析∵tan=-3,

∴tanα=2,

∴cos2α+2sin2α==-=1.

11.4sin 80°-=(　　)

A. B.- 

C. D.2-3

答案B

解析4sin80°-

=

=

=-.

12.若α∈,且cos2α+cos,则tan α=(　　)

A. B. 

C. D.或-7

答案C

解析cos2α+cos=cos2α-sin2α=cos2α-2sinαcosα=,整理得3tan2α+20tanα-7=0,解得tanα=或tanα=-7.又α∈,所以tanα=,故选C.

13.(多选题)下列各式的值为的是(　　)

A. B.tan 15°cos215°

C.cos2sin2 D.

答案ACD

解析A符合,原式=tan45°=;B不符合,原式=sin15°·cos15°=sin30°=;C符合,原式=·cos;D符合,原式=sin30°=.

14.(多选题)(2020山东潍坊高三检测)已知函数f(x)=|sin x||cos x|,则下列说法正确的是(　　)

A.f(x)的图象关于直线x=对称

B.f(x)的周期为

C.(π,0)是f(x)的一个对称中心

D.f(x)在区间上单调递增

答案AB

解析因为函数f(x)=|sinx||cosx|=|sinxcosx|=|sin2x|,

画出函数图象,如图所示,

由图可知,f(x)的对称轴是x=,k∈Z,

所以x=是f(x)图象的一条对称轴,A正确;

f(x)的最小正周期是,所以B正确;

f(x)是偶函数,没有对称中心,C错误;

由图可知,f(x)=|sin2x|在区间上单调递减,D错误.

15.若cos(75°+α)=,则sin(60°+2α)=　　　　　. 

答案

解析依题意,cos(75°+α)=,则cos(150°+2α)=2cos2(α+75°)-1=2×-1=-,sin(60°+2α)=-cos(90°+60°+2α)=-cos(150°+2α)=.

16.化简:(2π<α<3π)=　　　　. 

答案2sin

解析∵2π<α<3π,∴π<.

∴

==2sin.

17.(2021安徽合肥高一检测)求证:-tan θtan 2θ=1.

证明-tanθtan2θ=

==1.

18.已知sin α+cos α=,α∈,sin,β∈.

(1)求sin 2α和tan 2α的值;

(2)求cos(α+2β)的值.

解(1)由题意得(sinα+cosα)2=,即1+sin2α=,

∴sin2α=,又易知2α∈,

∴cos2α=,

∴tan2α=.

(2)∵β∈,β-,sinβ-=,∴cos,

∴sin2=2sincos.

又sin2=-cos2β,∴cos2β=-.

又易知2β∈,∴sin2β=.

又cos2α=,

∴cosα=,∴sinα=,

∴cos(α+2β)=cosαcos2β-sinαsin2β==-.

新情境创新练

19.如图所示,在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ,沿由点B到点E的方向前进30 m至点C处,测得顶角A的仰角为2θ,再沿刚才的方向继续前进10 m到点D,测得顶点A的仰角为4θ,求θ的大小和建筑物AE的高.

解∵∠ACD=θ+∠BAC=2θ,

∴∠BAC=θ,∴AC=BC=30m.

又∠ADE=2θ+∠CAD=4θ,∴∠CAD=2θ,

∴AD=CD=10m,

∴在Rt△ADE中,AE=AD·sin4θ=10sin4θ,

在Rt△ACE中,AE=AC·sin2θ=30sin2θ,

∴10sin4θ=30sin2θ,

即20sin2θcos2θ=30sin2θ,

∴cos2θ=.又2θ∈0,,∴2θ=,

∴θ=,AE=30sin=15m,

故θ的大小为,建筑物AE的高为15m.