人教A版 (2019)必修 第一册5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）第2课时练习

第2课时　函数y=Asin(ωx+φ)的性质及其应用

课后篇巩固提升

合格考达标练

1.若函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如图,则ω= (　　)

A.5 B.4 C.3 D.2

答案B

解析由函数的图象可得-x0=,解得ω=4.

2.如图,是函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的图象,则其解析式为(　　)

A.f(x)=5sin

B.f(x)=5sin

C.f(x)=5sin

D.f(x)=5sin

答案B

解析由题图知,A=5,由-π=,知T=3π,

∴ω=,则y=5sin.

由图象知最高点坐标为,

将其代入y=5sin,得5sin=5,

∴+φ=2kπ+(k∈Z).

解得φ=2kπ+(k∈Z).

∵|φ|<π,∴φ=,∴y=5sin.

3.已知函数y=Asin(ωx+φ)+m的最大值是4,最小值是0,最小正周期是,直线x=是其图象的一条对称轴,则下面各式中符合条件的解析式是(　　)

A.y=4sin4x+

B.y=2sin2x++2

C.y=2sin4x++2

D.y=2sin4x++2

答案D

解析由题意可得,A==2,m==2,ω==4,∵直线x=是其图象的一条对称轴,

∴ω+φ=kπ+(k∈Z),即φ=kπ+(k∈Z),∴当k=1时,φ=,

∴符合条件的一个解析式为y=2sin4x++2.

4.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B的一部分图象如图所示,若A>0,ω>0,|φ|<,则(　　)

A.B=4 B.φ=

C.ω=1 D.A=4

答案B

解析由函数图象可知f(x)min=0,f(x)max=4.

所以A==2,B==2.

由周期T==4,解得ω=2.

由f=4得2sin2×+φ+2=4,

即sin+φ=1,又|φ|<,故φ=.

5.已知函数y=sin(2x+φ)的图象关于直线x=对称,则φ的值为　　　　　. 

答案-

解析由题意可得sin=±1,解得+φ=+kπ(k∈Z),即φ=-+kπ(k∈Z).

因为-<φ<,所以k=0,φ=-.

6.(2021广东深圳高一期末)若函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0)的部分图象如图所示,则函数的解析式f(x)=　　　　　　　. 

答案2sin2x+

解析根据图象可得A=2.又T=2--=,解得ω=2.又f=2sin2×+φ=0,则+φ=π+2kπ,k∈Z,即φ=2kπ+π-,k∈Z,因为-π<φ<π,可得φ=,故f(x)=2sin2x+.

7.函数f(x)=Asin(A>0,ω>0)在一个周期内,当x=时,函数f(x)取得最大值2,当x=时,函数f(x)取得最小值-2,则函数解析式为　　　　　　　　　. 

答案f(x)=2sin

解析由题意可知A=2,,所以T=π.因此=π,即ω=2.故f(x)=2sin.

等级考提升练

8.已知a是实数,则函数f(x)=1+asin ax的部分图象不可能是(　　)

答案D

解析当a=0时,f(x)=1,选项C正确;当a≠0时,

函数f(x)=1+asinax的最小正周期T=,振幅为|a|,所以当|a|<1时,T>2π.

当|a|>1时,T<2π,由此可知A,B有可能出现,D不可能.

9.若将函数f(x)=sin的图象向左平移个单位长度之后得到的图象与原图象的对称中心重合,则正实数ω的最小值是(　　)

A. B. C. D.

答案A

解析将函数f(x)=sin的图象向左平移个单位长度,可得y=sinsinωx+的图象.

由于所得的图象与原图象的对称中心重合,故所得图象与原图象相差半个周期的整数倍,所以=k·(k∈Z),故ω=(k∈Z),则正实数ω的最小值为.

10.(2021河北高一期末)将函数f(x)=cos2x-的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象,则关于函数g(x)的正确结论是(　　)

A.奇函数,在0,上单调递减

B.最大值为1,图象关于直线x=对称

C.最小正周期为π,图象关于点,0对称

D.偶函数,在-上单调递增

答案B

解析将函数f(x)=cos2x-的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)=cos2x+=cos2x的图象,则函数g(x)为偶函数,故A错误;

g(x)的最大值为1,当x=时,g(x)=cosπ=-1,为最小值,故g(x)的图象关于直线x=对称,故B正确;

g(x)的最小正周期为=π,当x=时,g(x)=cos=-,故C错误;

当x∈-时,2x∈-,g(x)的图象先增后减,故D错误.

故选B.

11.(多选题)函数f(x)=3sin2x-的图象为C,则以下结论正确的是(　　)

A.图象C关于直线x=对称

B.图象C关于点,0对称

C.函数f(x)在区间-上单调递增

D.由y=3sin 2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C

答案BC

解析f=3sin2×=3sin-=-.fπ=3sinπ-=0,故A错误,B正确.令-+2kπ≤2x-+2kπ,k∈Z,解得-+kπ≤x≤π+kπ,k∈Z,当k=0时,-≤x≤π,故C正确.函数y=3sin2x的图象向右平移个单位长度,得到函数y=3sin2x-=3sin2x-π的图象,故D错误.

12.(多选题)(2020江苏南通高一期末)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<|φ|<π)的部分图象如图所示,则下列结论正确的是(　　)

A.函数f(x)的图象关于直线x=对称

B.函数f(x)的图象关于点-,0对称

C.函数f(x)在区间上单调递增

D.函数y=1与y=f(x)-≤x≤的图象的所有交点的横坐标之和为

答案BCD

解析由函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<|φ|<π)的图象可得,A=2,,因此T=π,所以ω==2,所以f(x)=2sin(2x+φ),过点,-2,因此+φ=+2kπ,k∈Z,又0<|φ|<π,所以φ=,所以f(x)=2sin2x+.

当x=时,f=-1,故A错;

当x=-时,f-=0,故B正确;

当x∈时,2x+,所以f(x)=2sin2x+在上单调递增,故C正确;

当-≤x≤时,2x+,所以y=1与函数y=f(x)的图象有4个交点,设这4个交点的横坐标为x1,x2,x3,x4,x1+x2+x3+x4=×2+×2=,故D正确.

13.(2020浙江宁波高三期末)将函数f(x)=2sin x的图象的每个点横坐标缩短为原来的一半,再向左平移个单位长度得到g(x)的图象,则g(x)=　　　　　　;若函数g(x)在区间上单调递增,则实数a的取值范围是　　　　　　. 

答案2sin2x+　

解析将函数f(x)=2sinx的图象的每个点横坐标缩短为原来的一半,可得y=2sin2x的图象;再向左平移个单位长度得到g(x)=2sin2x+的图象.

若函数g(x)在区间上单调递增,则求得≤a≤,则实数a的取值范围是.

14.若函数f(x)=sinωx+(ω>0)图象的两条相邻的对称轴之间的距离为,且该函数的图象关于点(x0,0)成中心对称,x0∈0,,则x0=　　　　. 

答案π

解析由f(x)=sinωx+(ω>0)图象的两条相邻的对称轴之间的距离为,知T=π,ω=2,又图象关于点(x0,0)成中心对称,得2x0+=kπ(k∈Z),而x0∈0,,则x0=π.

15.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,0<φ<的最小正周期为π,且图象上一个最低点为M.

(1)求f(x)的解析式;

(2)当x∈时,求f(x)的最大值和最小值.

解(1)由函数f(x)图象上的一个最低点为M,得A=2.

由最小正周期T=π,得ω==2.

由点M在图象上,得2sin=-2,即sin=-1,

所以+φ=2kπ-(k∈Z),

故φ=2kπ-(k∈Z),

又φ∈,所以k=1,φ=.

所以函数的解析式为f(x)=2sin.

(2)因为x∈,所以2x+,

所以当2x+,即x=0时,函数f(x)取得最小值1;

当2x+,即x=时,函数f(x)取得最大值.

新情境创新练

16.已知P(1,)是曲线f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)上的一个最高点,且f(9-x)=f(9+x),x∈R,曲线在(1,9)内与x轴有唯一交点,求函数f(x)的解析式.

解∵点P(1,)是曲线f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)上的一个最高点,∴A=,且直线x=1是曲线的一条对称轴.∵f(9-x)=f(9+x),x∈R,∴直线x=9也是曲线的一条对称轴.又曲线在(1,9)内与x轴有唯一交点,∴直线x=1,直线x=9是曲线的两条相邻对称轴,

∴=9-1=8,∴T=16,∴=16,∴ω=.

∴f(x)=sinx+φ.

∵P(1,)是曲线上的一个最高点,

∴×1+φ=2kπ+(k∈Z),

∴φ=2kπ+(k∈Z).

∵|φ|<π,∴φ=.

故函数f(x)的解析式为f(x)=sinx+.