人教A版 (2019)必修 第一册5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）第1课时同步达标检测题

5.6　函数y=Asin(ωx+φ)

第1课时　函数y=Asin(ωx+φ)的图象

课后篇巩固提升

合格考达标练

1.函数y=sin在区间上的简图是 (　　)

答案A

解析当x=0时,y=sin=-<0,故可排除B,D;当x=时,sin=sin0=0,排除C.

2.要得到函数y=sin的图象,只需将函数y=sin的图象(　　)

A.向右平移个单位长度

B.向左平移个单位长度

C.向右平移个单位长度

D.向左平移个单位长度

答案C

解析因为y=sin=sin,所以应将函数y=sin的图象向右平移个单位长度.

3.(2021天津高一联考)为了得到函数y=sin2x+的图象,只需把函数y=sin2x+的图象上所有的点 (　　)

A.向左平移个单位长度

B.向右平移个单位长度

C.向左平移个单位长度

D.向右平移个单位长度

答案C

解析由题得函数y=sin2x+=sin2x++,故要得到函数y=sin2x+的图象,只需将函数y=sin2x+的图象向左平移个单位长度即可,故选C.

4.某同学用“五点法”画函数y=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<在一个周期内的简图时,列表如下:

则根据表格可得出A=　　　　　,ω=　　　　　,φ=. 

答案2　3　-

解析由表格得A=2,T=π-,

∴ω=3,∴ωx+φ=3x+φ.

∵当x=时,3x+φ=+φ=0,∴φ=-.

5.把函数f(x)=cos图象上所有点的横坐标缩短到原来的,得到函数g(x)的图象,则g(x)的最小正周期是　　　　　. 

答案

解析由已知得g(x)=cos,故最小正周期T=.

6.(2021天津河西高一期末)将函数y=2sin 2x的图象向左平移个单位长度,再将图象上每个点的横坐标和纵坐标都变为原来的倍,则所得图象的函数解析式为　　　　　　　　　　. 

答案y=sin4x+

解析将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度,可得y=2sin2x+的图象;

再将图象上每个点的横坐标和纵坐标都变为原来的倍,则所得图象的函数解析式为y=sin4x+.

7.(2021吉林公主岭高一期末)已知函数f(x)=2sin2x++1.

(1)用“五点法”画出它在一个周期内的闭区间上的图象(完成横、纵坐标列表);

(2)写出函数y=f(x)图象的对称中心坐标及对称轴的方程.

解(1)列表如下:

描点连线作图如下:

(2)由图象可得对称中心的坐标为,1,k∈Z,对称轴方程为x=,k∈Z.

等级考提升练

8.已知函数f(x)=sinωx+(ω>0)的最小正周期为π,为了得到函数g(x)=cos ωx的图象,只要将y=f(x)的图象(　　)

A.向左平移个单位长度

B.向右平移个单位长度

C.向左平移个单位长度

D.向右平移个单位长度

答案A

解析函数f(x)的最小正周期为π,则ω==2,所以f(x)=sin2x+.f(x)=sin2x+=cos-2x+=cos-2x=cos2x-=cos2x-.要想得到函数g(x)=cos2x=cos2x-的图象,只需把函数f(x)的图象向左平移个单位长度即可.故选A.

9.(2021甘肃天水高一期末)为了得到函数y=sin2x+的图象,只要把函数y=cos 2x图象上所有的点(　　)

A.向左平移个单位长度

B.向右平移个单位长度

C.向左平移个单位长度

D.向右平移个单位长度

答案B

解析只要把函数y=cos2x=sin2x+图象上所有的点向右平移个单位长度,可得函数y=sin2x+的图象,故选B.

10.如图为一半径是2米的水轮,水轮圆心O距离水面1米,已知水轮每分钟旋转5圈,水轮上的点P到水面的距离y(单位:米)与时间x(单位:秒)满足函数关系y=Asin(ωx+φ)+1A>0,ω>0,|φ|<,则(　　)

A.ω=,A=2 B.ω=,A=1

C.ω=,A=3 D.ω=,A=2

答案A

解析由题意可得T=,可得ω=,由图可知y的最大值为3,sin(ωx+φ)=1时取得最大值,∴3=A+1,解得A=2.

11.将函数y=sin 2x的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到函数y=f(x)的图象,则(　　)

A.y=f(x)的图象关于直线x=对称

B.f(x)的最小正周期为

C.y=f(x)的图象关于点,0对称

D.f(x)在-上单调递增

答案D

解析函数y=sin2x的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,可得y=sinx,即f(x)=sinx.根据正弦函数的图象及性质可知,对称轴x=+kπ,k∈Z,所以A错误;最小正周期T=2π,所以B错误;对称中心坐标为(kπ,0),k∈Z,所以C错误.单调递增区间为2kπ-+2kπ,k∈Z,所以f(x)在-上单调递增.故选D.

12.(多选题)(2021江苏苏州高一期末)为了得到函数y=cos2x+的图象,只要把函数y=cos x图象上所有的点(　　)

A.向左平移个单位长度,再将横坐标变为原来的2倍

B.向左平移个单位长度,再将横坐标变为原来的倍

C.横坐标变为原来的倍,再向左平移个单位长度

D.横坐标变为原来的倍,再向左平移个单位长度

答案BC

解析把函数y=cosx图象上所有的点向左平移个单位长度,得到y=cosx+的图象;再将横坐标变为原来的倍,得到y=cos2x+的图象.或把函数y=cosx图象上所有的点横坐标变为原来的倍,得到y=cos2x的图象;再向左平移个单位长度,可得y=cos2x+的图象.故选BC.

13.(多选题)要得到y=cos 2x的图象C1,只要将y=sin2x+的图象C2(　　)

A.向左平移个单位长度

B.向右平移个单位长度

C.先作关于x轴对称的图象C3,再将图象C3向右平移个单位长度

D.先作关于x轴对称的图象C3,再将图象C3向左平移个单位长度

答案ABC

解析对于A,将y=sin2x+的图象C2向左平移个单位长度,可得y=sin2x++=sin2x+=cos2x的图象C1,故选项A正确;

对于B,将y=sin2x+的图象C2向右平移个单位长度,可得y=sin=sin2x-=cos2x的图象C1,故选项B正确;

对于C,先作C2关于x轴对称的图象,即y=-sin2x+的图象C3,再将图象C3向右平移个单位长度,得到y=-sin=-sin2x-=cos2x的图象C1,故选项C正确;

对于D,先作C2关于x轴对称的图象,即y=-sin2x+的图象C3,再将图象C3向左平移个单位长度,得到y=-sin=-sin2x+=-cos2x的图象,故选项D不正确.

14.已知函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期为π,为了得到g(x)=sin的图象,只需将y=f(x)的图象上　. 

答案所有点的横坐标伸长为原来的4倍,纵坐标不变

解析∵f(x)的最小正周期为π,∴=π.∴ω=2.

∴f(x)=sin.

又g(x)=sin=sin,

∴只需将y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的4倍,纵坐标不变,得到g(x)=sinx+的图象.

15.已知f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,|φ|≤在0,上单调,且f=0,f=2,则f(0)=　　　　. 

答案-1

解析由题意知,所以ω=.

由f=0,得+φ=2kπ+,k∈Z,

所以φ=-+2kπ,k∈Z.

又因为|φ|≤,所以φ=-,

即f(x)=2sinx-,

则f(0)=2sin-=-1.

16.将函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,-≤φ<图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,再向右平移个单位长度得到y=sin x的图象.

(1)求函数f(x)的解析式;

(2)当x∈[0,3π]时,方程f(x)=m有唯一实数根,求m的取值范围.

解(1)将y=sinx的图象向左平移个单位长度可得y=sin的图象,保持纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍,可得y=sin的图象,故f(x)=sin.

(2)令2kπ+x+≤2kπ+(k∈Z),

则4kπ+≤x≤4kπ+(k∈Z).

又x∈[0,3π],所以x∈,f(x)单调递增,x∈,f(x)单调递减,x∈,f(x)单调递增,所以f(x)max=1,f(x)min=-1,当x=0时,m=,当x=3π时,m=-.

故使方程f(x)=m有唯一实数根的m的取值范围为m∈∪{-1,1}.

新情境创新练

17.某同学用“五点作图法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)ω>0,|φ|<在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:

(1)请将上表数据补充完整,并写出函数f(x)的解析式;

(2)将f(x)图象上所有点向左平移θ(θ>0)个单位长度,得到g(x)的图象.若g(x)图象的一个对称中心为,0,求θ的最小值.

解(1)根据表中已知数据,可得A=5,解得ω=2,φ=-.数据补全如下表:

函数解析式为f(x)=5sin2x-.

(2)由(1)知f(x)=5sin2x-,则g(x)=5sin2x+2θ-.因为函数y=sinx图象的对称中心为(kπ,0),k∈Z,令2x+2θ-=kπ,k∈Z,解得x=-θ,k∈Z.由于函数y=g(x)的图象关于点,0成中心对称,所以令-θ=,k∈Z,解得θ=,k∈Z.由θ>0可知,当k=1时,θ取得最小值.