高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换第2课时精练

第2课时　两角和与差的正弦、余弦、正切公式

课后篇巩固提升

合格考达标练

1.(2021黑龙江哈尔滨香坊高一期末)化简cos 16°cos 44°-cos 74°sin 44°的值为(　　)

A. B.- C. D.-

答案C

解析cos16°cos44°-cos74°sin44°=cos16°cos44°-sin16°sin44°=cos(16°+44°)=cos60°=,故选C.

2.化简:sinx++sinx-=(　　)

A.-sin x B.sin x C.-cos x D.cos x

答案B

解析sinx++sinx-=sinx+cosx+sinx-cosx=sinx.

3.若sin=cos,则tan α=(　　)

A.-1 B.0 C. D.1

答案A

解析由已知得cosα-sinα=cosα-sinα,因此sinα=cosα,于是tanα=-1.

4.(2021新疆维吾尔自治区哈密伊州高一期末)已知tanα-=,则tan α=(　　)

A. B.-

C.5 D.-5

答案B

解析tanα-=,解得tanα=-,故选B.

5.(2021天津和平高一期末)已知tan A=2tan B,sin(A+B)=,则sin(A-B)=(　　)

A. B. C. D.-

答案C

解析由tanA=2tanB得,

即sinAcosB=2cosAsinB,

∵sin(A+B)=,∴sinAcosB+cosAsinB=,

得sinAcosB=,cosAsinB=.

则sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB=.故选C.

6.已知cos(α+β)=,cos(α-β)=-,则cos αcos β=　　　　　. 

答案0

解析由已知得cosαcosβ-sinαsinβ=,cosαcosβ+sinαsinβ=-,两式相加得2cosαcosβ=0,故cosαcosβ=0.

7.化简:=　　　　　. 

答案-1

解析原式=

==-1.

8.化简求值:

(1)sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β);

(2)cos(70°+α)sin(170°-α)-sin(70°+α)cos(10°+α);

(3)cos 21°·cos 24°+sin 159°·sin 204°.

解(1)原式=sin(α+β+α-β)=sin2α.

(2)原式=cos(70°+α)sin(10°+α)-sin(70°+α)cos(10°+α)

=sin[(10°+α)-(70°+α)]=sin(-60°)=-.

(3)原式=cos21°cos24°+sin(180°-21°)sin(180°+24°)=cos21°cos24°-sin21°sin24°=cos(21°+24°)=cos45°=.

等级考提升练

9.若tan(α+β)=,tan(α-β)=,则tan 2α=(　　)

A. B. C. D.

答案D

解析tan2α=tan[(α+β)+(α-β)]=.

10.设α∈,β∈,且tan α=,则(　　)

A.3α-β= B.3α+β=

C.2α-β= D.2α+β=

答案C

解析由tanα=,得,得sinαcosβ-cosαsinβ=cosα,sin(α-β)=sin.

又α∈,β∈,

故α-β=-α,即2α-β=.

11.(2021北京朝阳高一期末)已知tanα-=2,tan(α+β)=-3,则tanβ+=(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

答案A

解析因为α-+β+=α+β,

所以tan(α+β)=tanα-+β+==-3,整理解得tanβ+=1.故选A.

12.在△ABC中,tan A+tan B+tan C=3,tan2B=tan A·tan C,则角B等于(　　)

A.30° B.45° C.120° D.60°

答案D

解析由公式变形得

tanA+tanB=tan(A+B)(1-tanAtanB)

=tan(180°-C)(1-tanAtanB)

=-tanC(1-tanAtanB)

=-tanC+tanAtanBtanC,

∴tanA+tanB+tanC

=-tanC+tanAtanBtanC+tanC

=tanAtanBtanC=3.∵tan2B=tanAtanC,

∴tan3B=3,∴tanB=,则B=60°.故选D.

13.(多选题)下面各式中,正确的是(　　)

A.sin=sincoscos

B.cossin-coscos

C.cos-=coscos

D.cos=cos-cos

答案ABC

解析∵sin=sincos+cossin=sincoscos,∴A正确;∵cos=-cos=-cos=sin-coscos,∴B正确;

∵cos-=cos=coscos,∴C正确;

∵cos=cos≠cos-cos,∴D不正确.

14.(多选题)在△ABC中,C=120°,tan A+tan B=,下列各式正确的是(　　)

A.A+B=2C B.tan(A+B)=-

C.tan A=tan B D.cos B=sin A

答案CD

解析∵C=120°,∴A+B=60°,∴2(A+B)=C,

∴tan(A+B)=,∴选项A,B错误;

∵tanA+tanB=(1-tanA·tanB)=,

∴tanA·tanB=,①

又tanA+tanB=,②

∴联立①②解得tanA=tanB=,

∴cosB=sinA,故选项C,D正确.

15.已知锐角α,β满足(tan α-1)(tan β-1)=2,则tan(α+β)=　　　　　,α+β=　　　　　. 

答案-1　

解析因为(tanα-1)(tanβ-1)=2,

所以tanα+tanβ=tanαtanβ-1.

因此tan(α+β)==-1,

因为α+β∈(0,π),所以α+β=.

16.若cos α=-,sin β=-,α∈,π,β∈,2π,则sin(α+β)的值为　　　　　. 

答案

解析∵cosα=-,α∈,π,∴sinα=.∵sinβ=-,β∈,2π,

∴cosβ=.

∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

=+-×-=.

17.已知α,β均为锐角,且tan β=,求tan(α+β)的值.

解tanβ==tan,

因为α,β均为锐角,

所以--α<,0<β<,

又y=tanx在上是单调递增,

所以β=-α,即α+β=,tan(α+β)=1.

新情境创新练

18.在锐角三角形ABC中,若sin A=2sin Bsin C,则tan Atan Btan C的取值范围是　　　　. 

答案[8,+∞)

解析由已知条件sinA=2sinBsinC,sin(B+C)=2sinBsinC,

sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC,

两边同除以cosBcosC,tanB+tanC=2tanBtanC,

∵-tanA=tan(B+C)=,

∴tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC.

∴tanAtanBtanC=tanA+2tanBtanC

≥2,

令tanAtanBtanC=x>0,

即x≥2,即x≥8,或x≤0(舍去),∴x的最小值为8.

当且仅当tanB=2+,tanC=2-,tanA=4(或tanB,tanC互换)时取等号,此时A,B,C均为锐角.可得tanAtanBtanC的取值范围是[8,+∞).