数学人教A版 (2019)5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）学案及答案

第五章 三角函数

5.6函数

【课程标准】

1. 了解参数的变化对图像的影响，掌握y=sinx与的图像变换关系，并能正确指出变换步骤
2. 会用五点法画的图像
3. 会根据的部分图像确定其解析式

【知识要点归纳】

1.用五点法作函数的图象

用“五点法”作的简图，主要是通过变量代换，设，由z取来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象.

2.函数中有关概念

表示一个振动量时，A叫做振幅，叫做周期，叫做频率，叫做相位，x=0时的相位称为初相.

3.由得图象通过变换得到的图象

先平移后伸缩

的图象

的图象

的图象

的图象的图象.

先伸缩后平移

的图象

的图象

的图象

的图象的图象.

【典型例题】

例1.如何由y=sin x的图象变化到的图象？

【解析】 解法一：

。

解法二：

例2.已知函数其中，

（I）若求的值；

（Ⅱ）在（I）的条件下，若函数的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数的解析式；并求最小正实数，使得函数的图像象左平移个单位所对应的函数是偶函数．

【解析】（I）由，得，得

    又．

（Ⅱ）由（I）得，

     依题意，，又故

     函数的图像向左平移个单位后所对应的函数为：

     是偶函数当且仅当

      即

      从而，最小正实数

【变式1】把函数y=cos2x+1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度,得到的图像是（     ）

【答案】A

【变式2】已知函数的最小正周期为，

为了得到函数的图象，只要将的图象（     ）

A． 向左平移个单位长度      B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度       D．向右平移个单位长度

【答案】A 【解析】由题知又，所以

所以==

显然将的图象向左平移个单位长度便可得到的图象．

例3.由图中条件，写出该函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）解析式.

【解析】 A=5，

将最高点坐标(，5)代入得

∴，∴取.

【变式1】函数的图象如下图，确定其一个函数解析。

【解析】由图象知，振幅A=3，又，

∴。由点，令，得，

∴。

【变式2】已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如下图①所示，

求函数解析式：

【解析】（1）∵T=(2+1)×4=12，∴  ，∴f（x）=Asin（x+φ）

∵点C为最低点，对称轴为，，

，∵，∴。

又∵点在图象上，∴ ，

∴A=2，∴ 

例4．函数的图象如图所示，试依图推出：

（1）的最小正周期；

（2）时x的取值集合；

（3）使的x的取值集合；

（4）的单调递增区间和递减区间；

（5）使取最小值时的x的取值集合；

（6）图象的对称轴方程；

（7）图象的对称中心；

（8）要使成为偶函数，应对的图象作怎样的平移变换？

【解析】 （1）。

（2）在一个周期中，使的x是，π，。

故所求的x的取值集合是.

（3）使的x的取值集合是。

（4）的单调递增区间是；

单调递减区间是。

（5）取最小值时x的取值集合是。

（6）对称轴方程是。

（7）对称中心是。

（8）要使成为偶函数，可以把其图象向左平移个单位长度。

【当堂检测】

一．选择题（共4小题）

1．函数，，的部分图象如图所示，则　　

A． B． C． D．

2．函数，的图象如图所示，为了得到的图象，只需将的图象　　

A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 

C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度

3．将函数的图象先向右平移个单位，再把所得函数图象横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是　　

A．， B．， C．，， D．，，

4．要得到的图象，只需将函数的图象　　

A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 

C．向左平移个单位 D．向右平移个单位

二．填空题（共2小题）

5．将函数的图象向左平移个单位后所得函数图象关于原点中心对称，则　　．

6．函数的部分图象如图所示，则的单调递增区间为　　．

三．解答题（共2小题）

7．已知函数．

（1）讨论在的单调性；

（2）先将函数的图象向右平移个单位长度，再把所得函数图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，得到函数的图象，求的值．

8．已知函数，，的部分图象如图所示．

（Ⅰ）直接写出，，的值（只需写出结论）；

（Ⅱ）求在区间，上的最大值和最小值．

当堂检测答案

一．选择题（共4小题）

1．函数，，的部分图象如图所示，则　　

A． B． C． D．

【分析】由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，从而得到函数的解析式．

【解答】解：由图象可得，再根据，可得，

所以，

再根据五点法作图可得，求得，

故函数的解析式为．

故选：．

【点评】本题主要考查三角函数的解析式的求解，结合图象求出，和的值是解决本题的关键，属于中档题．

2．函数，的图象如图所示，为了得到的图象，只需将的图象　　

A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 

C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度

【分析】由函数的图象求出、和的值，写出的解析式，再根据图象平移得出正确的选项．

【解答】解：由函数的图象知，

，解得，

所以；

又，且，

所以，

所以，

又函数，

所以将函数的图象向右平移个单位即可．

故选：．

【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了图象平移变换问题，是基础题．

3．将函数的图象先向右平移个单位，再把所得函数图象横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是　　

A．， B．， C．，， D．，，

【分析】由题意利用函数的图象变换规律，求得的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，求得的取值范围．

【解答】解：将函数的图象先向右平移个单位，可得的图象；

再把所得函数图象横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象．

当，，．

若函数在上没有零点，

则，①．或者，②．

由①求得；解②求得，

则的取值范围为，，，

故选：．

【点评】本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题

4．要得到的图象，只需将函数的图象　　

A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 

C．向左平移个单位 D．向右平移个单位

【分析】直接利用函数的图象的平移变换和诱导公式的应用求出结果．

【解答】解：要得到的图象，只需将函数的图象向右平移个单位．得到的图象．

故选：．

【点评】本题考查的知识要点：函数的图象的平移变换和诱导公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．

二．填空题（共2小题）

5．将函数的图象向左平移个单位后所得函数图象关于原点中心对称，则　　．

【分析】先求出平移后的函数的解析式，然后根据正弦函数的对称性即可求解．

【解答】解：函数向左平移个单位后所得函数的解析式为：

，

因为函数关于原点对称，则，，

所以，，

所以，，

故答案为：．

【点评】本题考查了三角函数的图象变换问题，属于基础题．

6．函数的部分图象如图所示，则的单调递增区间为　，，　．

【分析】由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论．

【解答】解：根据函数的部分图象，可得，．

再根据五点法作图，可得，，．

令，，解得，，

故函数的增区间为，，．

故答案为：，，．

【点评】本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由周期求出，由五点法作图求出的值，正弦函数的单调性，属于中档题．

三．解答题（共2小题）

7．已知函数．

（1）讨论在的单调性；

（2）先将函数的图象向右平移个单位长度，再把所得函数图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，得到函数的图象，求的值．

【分析】（1）由题意利用三角恒等变换，花简的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论．

（2）由题意利用函数的图象变换规律，求得的解析式，可得的值．

【解答】解：（1）函数．

令，求得，可得函数的增区间为，，．

结合，可得在，上单调递增．

同理求得在，上单调递减．

（2）先将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象，

再把所得函数图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，得到函数的图象，

故．

【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，函数的图象变换规律，属于中档题．

8．已知函数，，的部分图象如图所示．

（Ⅰ）直接写出，，的值（只需写出结论）；

（Ⅱ）求在区间，上的最大值和最小值．

【分析】（Ⅰ）由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式．

（Ⅱ）由题意利用正弦函数的定义域和值域，求得在区间，上的最大值和最小值．

【解答】解：（Ⅰ）根据函数，，的部分图象，

可得，，．

再根据五点法作图可得，求得，故函数．

（Ⅱ）当，，，，

故当时，取得最小值为；

当时，取得最大值为．

【点评】本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．

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日期：2020/12/3 8:36:39；用户：郭天军；邮箱：wcdezx37@xyh.com；学号：26222372