人教A版 (2019)必修 第一册5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）第2课时练习

第2课时      函数y=Asin(ωx+φ)的性质及其应用

分层演练  综合提升

A级　基础巩固

1.若函数y=Asin(ωx+φ)+k的部分图象如图所示,则A与最小正周期T分别是              (　　)

A.A=3,T=                B.A=3,T=

C.A=,T=　　　　       D.A=,T=

答案:D

2.若某函数图象的一部分如图所示,则这个函数的解析式是 (　　)

A.y=sinx+              B.y=sin2x-

C.y=cos4x-              D.y=cos2x-

答案:D

3.为了研究钟表与三角函数的关系,建立平面直角坐标系,如图(示意图)所示,设秒针位置为P(t,y).若初始位置为P0,,当秒针从P0(注:此时t=0)开始走时,点P的纵坐标y与时间t的函数解析式可以是              (　　)

A.y=sint+

B.y=sin-t-

C.y=sin-t+

D.y=sin-t-

答案:C

4.如图,设点A是单位圆上的一定点,动点P从点A出发,在圆上按逆时针方向旋转一周,点P所旋转过的弧的长为l,弦AP的长为d,则函数d=f(l)的图象大致是              (　　)

A         B           C         D

答案:C

5.已知函数y=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<的图象的一个最高点为(2,2),从这个最高点到相邻最低点之间的图象与x轴交于点(6,0),求这个函数的解析式.

解:已知函数图象的一个最高点为(2,2),

所以A=2.

又因为从此最高点到相邻最低点之间的图象与x轴交于点(6,0),

所以=6-2=4,所以T=16,所以ω==,

所以y=2sin(x+φ).

将最高点坐标(2,2)代入,得

2=2sin(×2+φ),所以sin(+φ)=1.又因为

|φ|<,所以φ=,

所以函数的解析式为y=2sin(x+).

B级　能力提升

6.如图,一个半径为3 m的水轮,水轮圆心O距离水面2 m,已知水轮自点A开始1 min旋转4圈,水轮上的点P到水面距离y(单位:m)与时间x(单位:s)满足函数关系:y=Asin(ωx+φ)+2,则有              (　　)

A.ω=,A=3　　　　   B.ω=,A=3

C.ω=,A=5　　        D.ω=,A=5

解析:由题目可知y的最大值为5 m,所以5=A×1+2,所以A=3.由题意可得T=15 s,则ω=.故选A.

答案:A

7.一观览车的主架示意图如图所示,其中O为轮轴的中心,距地面32 m(即OM的长),巨轮的半径长为30 m,AM=BP=2 m,巨轮逆时针旋转且每12 min转动一圈.若点M为吊舱P的初始位置,经过 t min,该吊舱P距离地面的高度为h m,则h等于              (　　)

A.30sint-+30　　    B.30sint-+30

C.30sint-+32       D.30sint-

解析:如图,过点O作地面的平行线,作为x轴,过点O作x轴的垂线,作为y轴,过点B作x轴的垂线BN交x轴于点N.由题意可知OA=OM-AM=30 m.点A在圆O上逆时针运动的周期为12 min,所以t min转过的弧度数为t=t.设θ=t,当θ>时,

∠BON=θ-,h=OA+BN=30+30sin(θ-),当0<θ<时,上述关系式也适合.故h=30+30sin(θ-)=30sin(t-)+30.

答案:B

8.某游乐园的摩天轮最高点距离地面108 m,直径长是98 m,逆时针匀速旋转一圈需要18 min.某人从摩天轮的最低处登上摩天轮并开始计时.

(1)当此人第四次距离地面 m时用了多少分钟?

(2)当此人距离地面不低于59+m时可以看到游乐园的全貌,摩天轮旋转一圈中有多少分钟可以看到游乐园的全貌?

解:(1)如图,建立平面直角坐标系,设此人登上摩天轮t min时距地面y m,则t min转过的弧度数α=t=t.

由y=108--cos t=-49cos t+59(t≥0).

令-49cos t+59=,得cos t=,

所以t=2kπ±,k∈Z,

故t=18k±3,k∈Z,当k=0时,t=3,当k=1时,t=15或21,当k=2时,t=33或39.

故当此人第四次距离地面 m时用了33 min.

(2)由题意,得-49cos t+59≥59+,

即cos t≤-.

故不妨在第一个周期内求,得≤t≤,解得≤t≤,故-=3.

因此摩天轮旋转一圈中有3 min可以看到游乐园的全貌.

C级　挑战创新

9.多选题若函数f(x)=cosx+,则下列结论正确的是 (　　)

A.f(x)的一个周期为2π

B.y=f(x)的图象关于直线x=对称

C.f(x+π)的一个零点为x=

D.f(x)在区间,π上单调递减

解析:函数f(x)=cos(x+)的图象可由y=cos x的图象向左平移个单位长度得到,如图,f(x)在区间(,π)上先减后增,D项错误,其余选项均正确.

答案:ABC

10.开放题若一个函数同时具有:(1)最小正周期为π;(2)图象关于直线x=对称.请列举一个满足以上两条件的函数:y=sin(2x-)(答案不唯一).

解析:不妨设该函数为y=Asin(ωx+φ),由于最小正周期为π,故ω=2.又因为图象关于直线x=对称,所以2×+φ=+kπ(k∈Z),当k=0时,φ=-,故y=sin(2x-)满足以上两个条件.