人教A版 (2019)必修 第一册5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）教案

专题26函数y=Asin(ωx+φ)（练）

1．把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把所得曲线向右平移个单位长度，最后所得曲线的一条对称轴是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

由题得图像变换最后得到的解析式为，

令，

令k=-1,所以.

故选A

2．若函数的部分图像如图所示，则函数的解析式为（   ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

由函数的部分图像可知，，故，所以即.

由函数图像的对称轴为，所以，

因，故，所以，故选D.

3．将函数的图象上每一个点向左平移个单位，得到函数的图象，则函数的单调递增区间为（   ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

由题意可知平移后的解析式：

函数的单调递增区间：

解得：

4．函数的部分图象如图所示，为了得到的图象，只需将函数的图象（   ）

A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度

C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度

【答案】B

【解析】

由函数f（x）=的部分图象，

可得A=2，∵，∴T=π，ω=2，f（x）=2sin（2x+φ），

将代入得，∵﹣π＜φ＜0，

∴．

故可将函数y=f（x）的图象向左平移个单位长度得到的图象，即为的图象，

故选B．

5．将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数

A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减

C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减

【答案】A

【解析】

由函数图象平移变换的性质可知：

将的图象向右平移个单位长度之后的解析式为：

.

则函数的单调递增区间满足：，

即，

令可得一个单调递增区间为：.

函数的单调递减区间满足：，

即，

令可得一个单调递减区间为：，本题选择A选项.

6．已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+)，则下面结论正确的是(    )

A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2

B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2

C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2

D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2

【答案】D

【解析】

把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数y=cos2（x+）=cos（2x+）=sin（2x+）的图象，即曲线C2，

故选D．

7．将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数

A．在区间 上单调递增 B．在区间 上单调递减

C．在区间 上单调递增 D．在区间 上单调递减

【答案】A

【解析】

由函数图象平移变换的性质可知：

将的图象向右平移个单位长度之后的解析式为：

.

则函数的单调递增区间满足：，

即，

令可得函数的一个单调递增区间为，选项A正确，B错误；

函数的单调递减区间满足：，

即，

令可得函数的一个单调递减区间为，选项C，D错误；

本题选择A选项.

8．已知函数的图像的一个最高点为，其图像的相邻两个对称中心之间的距离为，则=_________.

【答案】

【解析】

∵函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,<φ<0)的图象的最高点为,∴A=.

∵其图象的相邻两个对称中心之间的距离为，∴ω=2.

再根据2⋅+φ=2kπ+,k∈Z,即φ=2kπ−,k∈Z,则φ=−,，

9．函数的图像向右平移个单位后，与函数的图像重合，则=___________.

【答案】

【解析】

因为y＝cos(2x＋φ)＝cos(－2x－φ)＝sin＝sin，图象向右平移个单位后为y＝sin，与y＝sin重合，所以φ－＝，解得φ＝.

10．函数的图像向左平移个单位长度，得到偶函数的图像，则的最大值为_________．

【答案】

【解析】

图象向左平移得到f（x+）=sin（2x++φ），

∴g（x）=sin（2x++φ），

∵g（x）为偶函数，因此+φ=kπ+，

又φ＜0，故φ的最大值为．

故答案为：

11．将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位长度，所得函数图象关于原点对称，则___．

【答案】

【解析】

将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到，

再把得到的图象向左平移个单位长度，得到，

所得函数图象关于原点对称，，则，

，当时，.

故答案为．

12．已知>0,在函数y=2sinx与y=2cosx的图像的交点中，距离最短的两个交点的距离为2，则 =_____.

【答案】

【解析】

由题根据三角函数图像与性质可得交点坐标为

, 距离最短的两个交点一定在同一个周期内， .

13．设函数，其中.已知.

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值.

【答案】(Ⅰ) .

(Ⅱ) .

【解析】

（Ⅰ）因为，

所以

由题设知，

所以，.

故，，又，

所以.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得

所以.

因为，

所以，

当，

即时，取得最小值.

14．已知函数的图像与直线两相邻交点之间的距离为，且图像关于对称. 

（1） 求的解析式；

（2） 先将函数的图象向左平移个单位，再将图像上所有横坐标伸长到原来的倍，得到函数的图象.求的单调递增区间以及的取值范围.

【答案】（1）；（2）单调区间为，不等式解集为.

【解析】

（1）由已知可得,，∴

又的图象关于对称，

∴，∴，

∵，∴.

所以， 

（2）由（1）可得，∴，

由得，，

的单调递增区间为，.

∵，∴，∴，

∴.  

15．已知函数，．

Ⅰ.求函数的最小正周期和单调递增区间；

Ⅱ.当时，方程恰有两个不同的实数根，求实数的取值范围；

Ⅲ.将函数的图象向右平移个单位后所得函数的图象关于原点中心对称，求的最小值．

【答案】（1）递增区间为；（2）;（3）.

【解析】

解：（1）因为，所以函数的最小正周期为，

由，得，故函数的递增区间为；

（Ⅱ）因为在区间上为增函数，在区间上为减函数

又，，，

当时方程恰有两个不同实根.

（Ⅲ）

由题意得，，

当时，，此时关于原点中心对称.

1．设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

由图可得：函数图象过点，

将它代入函数可得：

又是函数图象与轴负半轴的第一个交点，

所以，解得：

所以函数的最小正周期为

故选：C

2．将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位长度，所得函数图象关于对称，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

函数图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍后得到，

再向左平移后得到，

因为的图象关于于对称，

，解得，

当时，，故选B.

3．函数的最小正周期为π，若其图象向左平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数f（x）的图象（　　）

A．关于点对称 B．关于点对称

C．关于直线对称 D．关于直线对称

【答案】C

【解析】

因为函数的最小正周期为π，所以，图象向左平移个单位后得到，由得到的函数是奇函数可得，即.令得，，故A,B均不正确；令得，，时可得C正确.故选C.

4．将函数图像上的每一个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图像向左平移个单位得到数学函数的图像，在图像的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

将函数的图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，

纵坐标不变，得到，

再将所得图象向左平移个单位得到函数的图象，

即，

由，

得，

当时，离原点最近的对称轴方程为，故选A.

5．将函数图象上的点向左平移（） 个单位长度得到点，若位于函数的图象上，则（ ）

A．，的最小值为 B．，的最小值为

C．，的最小值为 D．，的最小值为

【答案】A

【解析】

由题意得，，

可得，

因为 位于函数的图象上

所以，

可得，

s的最小值为，故选A.

6．将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，若函数在区间上单调递增，且的最大负零点在区间上,则的取值范围是(     )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

，

令，则.

故轴右侧的第一条对称轴为，左侧第一条对称轴为，

所以，所以.

令，则，故，

最大的负零点为，所以即，

综上，，故选B.

7．将函数的图象先向右平移个单位长度，在把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（     ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

函数的图象先向右平移个单位长度，

可得的图象，

再将图象上每个点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，

得到函数的图象，

∴周期，

若函数在上没有零点，

∴ ，

∴ ，

，解得，

又，解得，

当k=0时，解，

当k=-1时，，可得，

.

故答案为：A.

8．若函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，，则下列说法正确的是__________．（写出所有正确结论的序号）

①是偶函数；

②函数的图象关于点对称；

③函数在上单调递增；

④将函数的图象向右平移个单位长度，可得函数的图象；

⑤的对称轴方程为.

【答案】①⑤

【解析】

∵f（x）的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，则f（x）=2sin（2x+φ），由得，所以，

①为偶函数;故正确，

②将代入原式得：所以错误，

③当此时函数f（x）不单调，故错误；

④将函数的图象向右平移个单位长度，可得函数的图象；故错误；

⑤令故正确，所以①⑤

9．设函数（是常数，）.若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为_________.

【答案】

【解析】

由在区间上具有单调性，

且知，函数的对称中心为，

由知函数的对称轴为直线，

设函数的最小正周期为，

所以，，

即，所以，

解得，故答案为.

10．已知函数,则下列命题正确的是______填上你认为正确的所有命题的序号

函数的单调递增区间是；函数的图像关于点对称；

函数的图像向左平移个单位长度后,所得的图像关于y轴对称,则m的最小值是；

若实数m使得方程在上恰好有三个实数解,,,则．

【答案】①③④

【解析】

，令，所以，因为，所以令，则，所以单调增区间是，故正确；

因为，所以不是对称中心，故错误；

的图像向左平移个单位长度后得到，且是偶函数，所以，所以且，所以时，，故正确；

因为，作出在上的图象如下图所示：

与有且仅有三个交点：

所以，又因为时，且关于对称，所以，所以，故正确；

故填写：①③④.

11．把函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象.若函数在上的值域是，则______.

【答案】

【解析】

由题知，

作出函数大致图象

函数在上先增后减，且，

若函数在上的值域是，

必，结合图象：

则，.

故答案为：

12．将函数的图像向左平移个单位，再向下平移2个单位，得到的图像，若，且，，则的最大值为__________．

【答案】

【解析】

函数的图象向左平移个单位，

可得的图象，

再向下平移个单位，得到的图象，

若，且，

则，

则，

即，

由，得，

当时，取最大值，故答案为.

13．已知，函数，.

（1）若在上单调递增，求正数的最大值；

（2）若函数在内恰有一个零点，求的取值范围.

【答案】（1）（2）

【解析】

解：（1）由，

得，.

因为在上单调递增，

令，得时单调递增，

所以解得，可得正数的最大值为.

（2），

设，当时，.它的图形如图所示.

又，则，，令，

则函数在内恰有一个零点，可知在内最多一个零点.

①当0为的零点时，显然不成立；

②当为的零点时，由，得，把代入中，

得，解得，，不符合题意.

③当零点在区间时，若，得，此时零点为1，即，由的图象可知不符合题意；

若，即，设的两根分别为，，由，且抛物线的对称轴为，则两根同时为正，要使在内恰有一个零点，则一个根在内，另一个根在内，

所以解得.

综上，的取值范围为.

14．下图为函数的部分图象，、是它与轴的两个交点，、分别为它的最高点和最低点，是线段的中点，且为等腰直角三角形.

（1）求的解析式；

（2）将函数图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，再向左平移个单位长度得到的图象，求的解析式及单调增区间，对称中心.

【答案】（1）；

（2）；增区间：（）；对称中心：（）；

【解析】

（1）由已知点为线段的中点，则，

又为等腰直角三角形，且，，则点，则，

，解得，.

将点的坐标代入函数的解析式得，.

，，，解得，

因此，；

（2）将函数图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，得出函数的图象，再向左平移个单位长度，得到函数，

由，得.

令，解得.

因此，函数的单调增区间为，对称中心为.

15．已知．

（1）求f（x）的单调递减区间；

（2）若，求的值；

（3）将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位得到y＝g（x）的图象，若函数y＝g（x）﹣k在上有唯一零点，求实数k的取值范围．

【答案】（1）函数的单调递减区间为[]（k∈Z）;（2）;（3）或.

【解析】

(1)由于，

令（k∈Z）,整理得（k∈Z），所以函数的单调递减区间为[]（k∈Z）．

(2)由题意,则,即,

由,则

(3)由函数的图象向右平移个单位得到的图象,

由于,所以,则函数在上有唯一零点，即得函数与图像在上只有一个交点,所以当或时，直线与函数的图象只有一个交点,则由或,解得或,

即当或时,函数在上有唯一零点.