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    人教A版(2019)数学必修第一册(教案)函数y=Asin(ωx+φ)
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    人教A版 (2019)必修 第一册5.6 函数 y=Asin( ωx + φ)教学设计

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    这是一份人教A版 (2019)必修 第一册5.6 函数 y=Asin( ωx + φ)教学设计,共13页。教案主要包含了教学过程,教学目标,核心素养等内容,欢迎下载使用。

    函数y=Asin(ωx+φ)

    【教学目标】
    【核心素养】
    1.理解参数A,ω,φ对函数y=Asin(ωx+φ)的图象的影响;能够将y=sinx的图象进行变换得到y=Asin(ωx+φ),x∈R的图象.(难点)
    2.能根据y=Asin(ωx+φ)的部分图象,确定其解析式.(重点)
    3.求函数解析式时φ值的确定.(易错点)
    1.通过函数图象的变换,培养直观想象素养.
    2.借助函数的图象求解析式,提升数学运算素养.
    【教学过程】
    一、新知初探
    1.φ对y=sin(x+φ),x∈R的图象的影响

    2.ω(ω>0)对y=sin(ωx+φ)的图象的影响

    3.A(A>0)对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响

    二、初试身手
    1.把函数y=sinx的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式为( )
    A.y=sinx-
    B.y=sinx+
    C.y=sin
    D.y=sin
    答案:D
    解析:根据图象变换的方法,y=sinx的图象向左平移个单位长度后得到y=sin的图象.
    2.为了得到函数y=4sin,x∈R的图象,只需将函数y=4sin,x∈R的图象上的所有点( )
    A.横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变
    B.横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变
    C.纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标不变
    D.纵坐标缩短到原来的倍,横坐标不变
    答案:A
    解析:函数y=4sin的图象上各点横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,得到y=4sin的图象.]
    3.函数y=Asin(ωx+φ)+1(A>0,ω>0)的最大值为5,则A=________.
    答案:4
    解析:由已知得A+1=5,故A=4.
    三、合作探究
    三角函数图象之间的变换
    类型1
    例1:(1)将函数y=cos的图象向左平移个单位长度,再向下平移3个单位长度,则所得图象的解析式为________.
    (2)将y=sinx的图象怎样变换可得到函数y=2sin2x++1的图象?
    思路点拨:(1)依据左加右减;上加下减的规则写出解析式.
    (2)法一:y=sinx→纵坐标伸缩→横坐标伸缩和平移→向上平移.
    法二:左右平移→横坐标伸缩→纵坐标伸缩→上下平移.
    答案:(1)y=-cos2x-3
    y=cos的图象向左平移个单位长度,
    得y=cos=cos(2x+π)=-cos2x,
    再向下平移3个单位长度得y=-cos2x-3的图象.]
    (2)解:法一:(先伸缩法)①把y=sinx的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍,得到y=2sinx的图象;②将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍,得y=2sin2x的图象;③将所得图象沿x轴向左平移个单位,得y=2sin2的图象;
    ④将所得图象沿y轴向上平移1个单位,
    得y=2sin+1的图象.
    法二:(先平移法)①将y=sinx的图象沿x轴向左平移个单位,得y=sin的图象;②将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍,得y=sin的图象;③把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来2倍,得到y=2sin的图象;④将所得图象沿y轴向上平移1个单位,得y=2sin+1的图象.
    规律方法
    由y=sinx的图象,通过变换可得到函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象,其变化途径有两条:
    (1)y=sinxy=sin(x+φ)y=sin(ωx+φ)y=Asin(ωx+φ).
    (2)y=sinxy=sinωxy=sin=sin(ωx+φ)y=Asin(ωx+φ).
    提醒:两种途径的变换顺序不同,其中变换的量也有所不同:(1)是先相位变换后周期变换,平移|φ|个单位.(2)是先周期变换后相位变换,平移个单位,这是很易出错的地方,应特别注意.
    跟踪训练
    1.(1)要得到y=cos的图象,只要将y=sin2x的图象( )
    A.向左平移个单位
    B.向右平移个单位
    C.向左平移个单位
    D.向右平移个单位
    (2)把函数y=f(x)的图象上各点向右平移个单位,再把横坐标伸长到原来的2倍,再把纵坐标缩短到原来的倍,所得图象的解析式是y=2sin,则f(x)的解析式是( )
    A.f(x)=3cosx
    B.f(x)=3sinx
    C.f(x)=3cosx+3
    D.f(x)=sin3x
    答案:(1)A(2)A
    解析:(1)因为y=cos
    =sin=sin
    =sin2,
    所以将y=sin2x的图象向左平移个单位,
    得到y=cos的图象.
    (2)y=2siny=3sin
    y=3sin
    y=3sin
    =3sin
    =3cosx.
    已知函数图象求解析式
    类型2
    例2:(1)已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)+B的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式为( )

    A.y=2cos+4
    B.y=2cos+4
    C.y=4cos+2
    D.y=4cos+2
    (2)函数f(x)=Asin(ωx+φ)中A>0,ω>0,|φ|<,且图象如图所示,求其解析式.

    思路点拨:由最大(小)值求A和B,由周期求ω,由特殊点坐标解方程求φ.
    答案:(1)A
    由函数f(x)的最大值和最小值得
    A+B=6,-A+B=2,所以A=2,B=4,
    函数f(x)的周期为×4=4π,又ω>0,
    所以ω=,又因为点在函数f(x)的图象上
    所以6=2cos+4,所以cos=1,
    所以+φ=2kπ,k∈Z,所以φ=2kπ-,k∈Z,又|φ|<
    所以φ=-,所以f(x)=2cos+4.
    (2)解:法一:(五点作图原理法)由图象知,振幅A=3,T=-=π,所以ω=2,又由点,根据五点作图原理(可判为“五点法”中的第一点)-×2+φ=0得φ=,
    所以f(x)=3sin.
    法二:(方程法)由图象知,振幅A=3,T=-=π,所以ω=2,
    又图象过点,
    所以f=3sin=0,
    所以sin=0,-+φ=kπ(k∈Z),又因为|φ|<,所以k=0,φ=,所以f(x)=3sin.
    法三:(变换法)由图象知,振幅A=3,T=-=π,所以ω=2,且f(x)=Asin(ωx+φ)是由y=3sin2x向左平移个单位而得到的,解析式为f(x)=3sin=3sin.
    规律方法
    确定函数y=Asin(ωx+φ)的解析式的关键是φ的确定,常用方法有:
    (1.代入法:把图象上的一个已知点代入(此时A,ω已知(或代入图象与x轴的交点求解)此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上).
    (2.五点法:确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口.“五点”的ωx+φ的值具体如下:“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx+φ=0;“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx+φ=;“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx+φ=π;“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx+φ=;“第五点”为ωx+φ=2π.
    跟踪训练
    2.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R的图象与x轴的交点中,相邻两个交点的距离为,且图象上一个最低点为M,求f(x)的解析式.
    解:由最低点M,得A=2.
    在x轴上两相邻交点之间的距离为,故=,即T=π,ω===2.
    由点M在图象上得
    2sin=-2,即sin=-1,故+φ=2kπ-(k∈Z),
    ∴φ=2kπ-(k∈Z).又φ∈,
    ∴φ=.故f(x)=2sin.
    三角函数图象与性质的综合应用
    类型3
    探究问题
    1.如何求函数y=Asin(ωx+φ)与y=Acos(ωx+φ)的对称轴方程?
    提示:与正弦曲线、余弦曲线一样,函数y=Asin(ω+φ)和y=Acos(ωx+φ)的图象的对称轴通过函数图象的最值点且垂直于x轴.
    函数y=Asin(ωx+φ)对称轴方程的求法:令sin(ωx+φ)=±1,得ωx+φ=kπ+(k∈Z),则x=(k∈Z),所以函数y=Asin(ωx+φ)的图象的对称轴方程为x=(k∈Z);
    函数y=Acos(ωx+φ)对称轴方程的求法:令cos(ωx+φ)=±1,得ωx+φ=kπ(k∈Z),则x=(k∈Z),所以函数y=Acos(ωx+φ)的图象的对称轴方程为x=(k∈Z).
    2.如何求函数y=Asin(ωx+φ)与y=Acos(ωx+φ)的对称中心?
    提示:与正弦曲线、余弦曲线一样,函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)图象的对称中心即函数图象与x轴的交点.
    函数y=Asin(ωx+φ)对称中心的求法:令sin(ωx+φ)=0,得ωx+φ=kπ(k∈Z),则x=(k∈Z),所以函数y=Asin(ωx+φ)的图象关于点(k∈Z)成中心对称;
    函数y=Acos(ωx+φ)对称中心的求法:令cos(ωx+φ)=0,得ωx+φ=kπ+(k∈Z),则x=(k∈Z),所以函数y=Acos(ωx+φ)的图象关于点(k∈Z)成中心对称.
    例3:(1)已知函数f(x)=sin(ω>0),若f=f,且f(x)在区间上有最小值,无最大值,则ω=( )
    A.
    B.
    C.
    D.
    (2)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ<π)是R上的偶函数,其图象关于点M对称,且在区间上是单调函数,求φ和ω的值.
    思路点拨:(1)先由题目条件分析函数f(x)图象的对称性,何时取到最小值,再列方程求ω的值.
    (2)先由奇偶性求φ,再由图象的对称性和单调性求ω.
    答案:(1)B
    因为f=f,所以直线x==是函数f(x)图象的一条对称轴,
    又因为f(x)在区间上有最小值,无最大值,
    所以当x=时,f(x)取得最小值.
    所以ω+=2kπ-,k∈Z,解得ω=8k-,(k∈Z)
    又因为T=≥-=,所以ω≤12,又因为ω>0,
    所以k=1,即ω=8-=.]
    (2)解:由f(x)是偶函数,得f(-x)=f(x),即函数f(x)的图象关于y轴对称,
    ∴f(x)在x=0时取得最值,即sinφ=1或-1.
    依题设0≤φ<π,∴解得φ=.
    由f(x)的图象关于点M对称,可知
    sin=0,即ω+=kπ,解得ω=-,k∈Z.
    又f(x)在上是单调函数,
    所以T≥π,即≥π.
    ∴ω≤2,又ω>0,
    ∴k=1时,ω=;k=2时,ω=2.
    故φ=,ω=2或.
    母题探究
    1.将本例(2)中“偶”改为“奇”,“其图象关于点M对称,且在区间上是单调函数”改为“在区间上为增函数”,试求ω的最大值.
    解:因为f(x)是奇函数,所以f(0)=sinφ=0,又0≤φ<π,所以φ=0.
    因为f(x)=sinωx在上是增函数.
    所以⊆,
    于是,解得0<ω≤,
    所以ω的最大值为.
    2.本例(2)中增加条件“ω>1”,求函数y=f2(x)+sin2x,x∈的最大值.
    解:由条件知f(x)=sin=cos2x,
    由x∈得2x∈,
    sin2x∈
    y=f2(x)+sin2x=cos22x+sin2x=1-sin22x+sin2x=-(sin2x-)2+
    所以当sin2x=时ymax=.
    规律方法
    1.正弦余弦型函数奇偶性的判断方法
    正弦型函数y=Asin(ωx+φ)和余弦型函数y=Acos(ωx+φ)不一定具备奇偶性.对于函数y=Asin(ωx+φ),当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数,当φ=kπ±(k∈Z)时为偶函数;对于函数y=Acos(ωx+φ),当φ=kπ(k∈Z)时为偶函数,当φ=kπ±(k∈Z)时为奇函数.
    2.与正弦、余弦函数有关的单调区间的求解技巧
    (1)结合正弦、余弦函数的图象,熟记它们的单调区间.
    (2)确定函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)单调区间的方法:采用“换元”法整体代换,将ωx+φ看作一个整体,可令“z=ωx+φ”,即通过求y=Asinz的单调区间而求出函数的单调区间.若ω<0,则可利用诱导公式先将x的系数转变为正数,再求单调区间.
    四、课堂小结
    1.准确理解“图象变换法”
    (1)由y=sinx到y=sin(x+φ)的图象变换称为相位变换,由y=sinx到y=sinωx图象的变换称为周期变换;由y=sinx到y=Asinx图象的变换称为振幅变换.
    (2)由y=sinx的图象,通过变换可得到函数y=Asin(ωx+φ)的图象,其变换途径有两条,注意两种途径的变换顺序不同,其中变换的量也有所不同:①是先相位变换后周期变换,平移|φ|个单位.②是先周期变换后相位变换,平移个单位,这是很易出错的地方,应特别注意.
    (3)类似地y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象也可以由y=cosx的图象变换得到.
    2.由y=Asin(ωx+φ)的图象性质或部分图象确定解析式的关键在于确定参数A,ω,φ.其基本方法是在观察图象的基础上,利用待定系数法求解.
    五、当堂达标
    1.思考辨析
    (1)y=sin3x的图象向左平移个单位所得图象的解析式是y=sin.( )
    (2)y=sinx的图象上所有点的横坐标都变为原来的2倍所得图象的解析式是y=sin2x.( )
    (3)y=sinx的图象上所有点的纵坐标都变为原来的2倍所得图象的解析式是y=sinx.( )
    [提示:(1)错误.y=sin3x的图象向左平移个单位得y=sin=sin.
    (2)错误.y=sin2x应改为y=sinx.
    (3)错误.y=sinx应改为y=2sinx.
    答案:(1)×(2)×(3)×
    2.函数y=cosx图象上各点的纵坐标不变,把横坐标变为原来的2倍,得到图象的解析式为y=cosωx,则ω的值为________.
    答案:
    解析:函数y=cosxy=cosx.所以ω=.
    3.由y=3sinx的图象变换到y=3sin的图象主要有两个过程:先平移后伸缩和先伸缩后平移,前者需向左平移________个单位,后者需向左平移________个单位.
    答案:;
    解析:y=3sinxy=3sin
    y=3sin,
    y=3sinxy=3sin
    y=3sin=3sin.]
    4.已知函数f(x)=3sin+3(x∈R),用图象变换法画出它在一个周期内的闭区间上的图象.

    解:

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