人教A版 (2019)必修 第一册5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）第2课时复习练习题

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）第2课时复习练习题，共9页。

A组


1.已知a是实数,则函数f(x)=1+asin ax的图象不可能是( )








2.设g(x)的图象是由函数f(x)=cs 2x的图象向左平移π3个单位长度得到的,则gπ6等于( )


A.1B.-12C.0D.-1


3.先把函数f(x)=2cs(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再向左平移π6个单位长度,得到一个最小正周期为2π的奇函数g(x)的图象,则ω和φ的值分别为( )


A.1,π3B.2,π3C.12,π6D.12,π3


4.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示,若将f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变),得到函数g(x)的图象,则g(x)的解析式为( )





A.y=sin4x+π6B.y=sin4x+π3


C.y=sinx+π6D.y=sinx+π12


5.将函数y=2sin23x+3π4图象上所有点的横坐标缩短到原来的13,纵坐标不变,再向右平移π8个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,则下列说法正确的是( )


A.函数g(x)的图象的一条对称轴是直线x=π4


B.函数g(x)的图象的一个对称中心是π2,0


C.函数g(x)的图象的一条对称轴是直线x=π2


D.函数g(x)的图象的一个对称中心是π8,0


6.已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,-π≤φ<π)的图象如图所示,则φ= .





7.将函数y=cs 2x的图象向右平移π3个单位长度,所得图象对应的解析式为 .


8.把函数y=2sinx+2π3的图象向左平移m个单位长度,所得的图象关于y轴对称,则m的最小正值是 .


9.已知函数f(x)=3sin12x-π4,x∈R.


(1)列表并画出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图.


(2)将函数y=sin x的图象作怎样的变换可得到f(x)的图象?











B组


1.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,其中图象最高点和最低点的横坐标分别为π12和7π12,图象在y轴上的截距为3,给出下列四个结论:





①f(x)的最小正周期为π;②f(x)的最大值为2;③fπ4=1;④fx-π6为奇函数.


其中正确结论的个数是( )


A.1B.2C.3D.4


2.如图,某大风车的半径为2米,每12秒旋转一周,它的最低点O离地面1米,点O在地面上的射影为点A.风车圆周上一点M从最低点O开始,逆时针方向旋转40秒后到达点P,则点P到点A的距离与点P的高度之和为( )





A.5米B.(4+7)米


C.(4+17)米D.(4+19)米


3.设函数f(x)=Asin(ωx+φ)A≠0,ω>0,|φ|<π2的图象关于直线x=2π3对称,它的周期是π,则( )


A.f(x)的图象过点0,12


B.f(x)在5π12,2π3上单调递减


C.f(x)图象的一个对称中心是5π12,0


D.f(x)的最大值是A


4.在函数y=-2sin4x+2π3的图象与x轴的交点中,离原点最近的交点坐标是 .


5.若在函数y=sinωx+π4(ω>0)图象的对称轴中,与y轴距离最小的对称轴方程为x=π6,则实数ω的值为 .


6.利用“五点法”画出函数y=2sin2x-π4,x∈π8,9π8的图象,并写出图象在直线y=1上方所对应的x的取值范围.




















7.一个缆车示意图如图所示,该缆车半径为4.8 m,圆上最低点与地面的距离为0.8 m,60 s转动一圈,图中OA与地面垂直,以OA为始边,逆时针转动角θ到OB.设点B与地面距离是h.





(1)求h与θ之间的函数解析式;


(2)设从OA开始转动,经过t s后到达OB,求h与t之间的函数解析式,并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少.


.参考答案


A组


1.已知a是实数,则函数f(x)=1+asin ax的图象不可能是( )








解析:本题用排除法,对于D选项,由振幅|a|>1,可知周期T=2π|a|应小于2π,与图中T>2π矛盾.故选D.


答案:D


2.设g(x)的图象是由函数f(x)=cs 2x的图象向左平移π3个单位长度得到的,则gπ6等于( )


A.1B.-12C.0D.-1


解析:由f(x)=cs 2x的图象向左平移π3个单位长度得到的是g(x)=cs2x+π3的图象,则gπ6=cs2π6+π3=cs π=-1.故选D.


答案:D


3.先把函数f(x)=2cs(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再向左平移π6个单位长度,得到一个最小正周期为2π的奇函数g(x)的图象,则ω和φ的值分别为( )


A.1,π3B.2,π3C.12,π6D.12,π3


解析:依题意得函数g(x)=2csωx2+ωπ12+φ.


因为函数g(x)的最小正周期为2π,所以ω=2.


即g(x)=2csx+π6+φ.


又因为函数g(x)为奇函数,


所以φ+π6=kπ+π2(k∈Z).


又0<φ<π,所以φ=π3.


答案:B


4.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示,若将f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变),得到函数g(x)的图象,则g(x)的解析式为( )





A.y=sin4x+π6B.y=sin4x+π3


C.y=sinx+π6D.y=sinx+π12


解析:结合题中图象可知函数f(x)=sin2x+π6,其图象上所有的点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变),则得到g(x)=sin4x+π6的图象.


答案:A


5.将函数y=2sin23x+3π4图象上所有点的横坐标缩短到原来的13,纵坐标不变,再向右平移π8个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,则下列说法正确的是( )


A.函数g(x)的图象的一条对称轴是直线x=π4


B.函数g(x)的图象的一个对称中心是π2,0


C.函数g(x)的图象的一条对称轴是直线x=π2


D.函数g(x)的图象的一个对称中心是π8,0


解析:将函数y=2sin23x+3π4图象上所有点的横坐标缩短到原来的13(纵坐标不变),可得y=2sin2x+3π4的图象,再向右平移π8个单位长度,得到函数y=g(x)=2sin2x-π4+3π4=2cs 2x的图象,


令x=π4,得g(x)=0,故点π4,0是g(x)的图象的一个对称中心,故排除选项A;


令x=π2,得g(x)=-1,故直线x=π2是g(x)的图象的一条对称轴,故排除选项B,选项C正确;令x=π8,得g(x)=2,可得x=π8不是g(x)的图象的对称中心的横坐标,故排除选项D.


答案:C


6.已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,-π≤φ<π)的图象如图所示,则φ= .





解析:由题中图象知函数y=sin(ωx+φ)的周期为22π-3π4=5π2,所以2πω=5π2,所以ω=45.


因为当x=3π4时,y有最小值-1,


所以45×3π4+φ=2kπ-π2(k∈Z).


又-π≤φ<π,所以φ=9π10.


答案:9π10


7.将函数y=cs 2x的图象向右平移π3个单位长度,所得图象对应的解析式为 .


解析:由题意可知所得图象对应的解析式为y=cs 2x-π3=cs2x-2π3.


答案:y=cs2x-2π3


8.把函数y=2sinx+2π3的图象向左平移m个单位长度,所得的图象关于y轴对称,则m的最小正值是 .


解析:把y=2sinx+2π3的图象向左平移m个单位长度,得到y=2sinx+m+2π3的图象,由其图象关于y轴对称,可得m+2π3=kπ+π2,k∈Z,即m=kπ-π6,k∈Z.


故当k=1时,m的最小正值为5π6.


答案:5π6


9.已知函数f(x)=3sin12x-π4,x∈R.


(1)列表并画出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图.


(2)将函数y=sin x的图象作怎样的变换可得到f(x)的图象?





解:(1)函数f(x)的周期T=2π12=4π.


由12x-π4=0,π2,π,3π2,2π,分别解得x=π2,3π2,5π2,7π2,9π2.


列表如下:





描出五个关键点并用光滑的线连起来,得到一个周期的简图.图象如下:





(2)先把y=sin x的图象向右平移π4个单位长度,再把所有点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变),最后把所有点的纵坐标扩大到原来的3倍(横坐标不变),得到f(x)的图象.


B组


1.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,其中图象最高点和最低点的横坐标分别为π12和7π12,图象在y轴上的截距为3,给出下列四个结论:





①f(x)的最小正周期为π;②f(x)的最大值为2;③fπ4=1;④fx-π6为奇函数.


其中正确结论的个数是( )


A.1B.2C.3D.4


解析:由题中图象可知函数f(x)的最小正周期T=27π12-π12=π,则ω=2,即f(x)=Asin(2x+φ).


又由fπ12=A,即fπ12=Asin2×π12+φ=Asinπ6+φ=A,


所以sinπ 6+φ=1,由0<φ<π,解得φ=π3,


即f(x)=Asin2x+π3.


又由f(0)=3,即Asinπ3=3,所以A=2,


即f(x)=2sin2x+π3.


所以函数f(x)的最大值为2.所以①②正确.


又由fπ4=2sin2×π4+π3=2csπ3=1,所以③正确.


又由fx-π6=2sin2x-π6+π3=2sin 2x为奇函数,所以④正确.


所以正确结论的个数为4,故选D.


答案:D


2.如图,某大风车的半径为2米,每12秒旋转一周,它的最低点O离地面1米,点O在地面上的射影为点A.风车圆周上一点M从最低点O开始,逆时针方向旋转40秒后到达点P,则点P到点A的距离与点P的高度之和为( )





A.5米B.(4+7)米


C.(4+17)米D.(4+19)米


解析:以圆心O1为原点,以水平向右的方向为x轴正方向,以竖直向上的方向为y轴正方向,建立平面直角坐标系如图所示.





设∠OO1P=θ,运动t秒后与地面的距离为f(t).由题意可知周期T=12,


所以θ=π6t.所以f(t)=3-2csπ6t(t≥0).


因为风车圆周上一点M从最低点O开始,逆时针方向旋转40秒后到达点P,所以θ=6π+2π3,P(3,1).


所以点P的高度为3-2×-12=4.


因为A(0,-3),所以AP=3+16=19.


所以点P到点A的距离与点P的高度之和为(4+19)米,故选D.


答案:D


3.设函数f(x)=Asin(ωx+φ)A≠0,ω>0,|φ|<π2的图象关于直线x=2π3对称,它的周期是π,则( )


A.f(x)的图象过点0,12


B.f(x)在5π12,2π3上单调递减


C.f(x)图象的一个对称中心是5π12,0


D.f(x)的最大值是A


解析:∵周期T=π,∴2πω=π,∴ω=2.


又f(x)的图象关于直线x=2π3对称,


∴2×2π3+φ=π2+kπ(k∈Z).又|φ|<π2,


∴φ=π6.∴f(x)=Asin2x+π6,


∴f(x)的图象过点0,A2.∴选项A不正确.


又当x=5π12时,2x+π6=π,即f5π12=0,


∴点5π12,0是f(x)图象的一个对称中心.故选项C正确.


∵A的正负不确定,∴选项B,D不正确.


答案:C


4.在函数y=-2sin4x+2π3的图象与x轴的交点中,离原点最近的交点坐标是 .


解析:当y=0时,sin4x+2π3=0,


∴4x+2π3=kπ(k∈Z).


∴x=kπ4-π6(k∈Z).取k=0,


则x=-π6;取k=1,则x=π12.


∴离原点最近的交点坐标是π12,0.


答案:π12,0


5.若在函数y=sinωx+π4(ω>0)图象的对称轴中,与y轴距离最小的对称轴方程为x=π6,则实数ω的值为 .


解析:令ωx+π4=π2+kπ(k∈Z),得函数y图象的对称轴方程为x=kπω+π4ω(k∈Z).


根据题意得k=0,故π4ω=π6,解得ω=32.


答案:32


6.利用“五点法”画出函数y=2sin2x-π4,x∈π8,9π8的图象,并写出图象在直线y=1上方所对应的x的取值范围.


解:因为x∈π8,9π8,所以0≤2x-π4≤2π.


列表如下:





描点、连线作图如下:





由y=2sin2x-π4>1,得sin2x-π4>12.


又2x-π4∈[0,2π],所以π6<2x-π4<5π6,


解得5π24

所以当x∈π8,9π8时,图象在直线y=1上方所对应的x的取值范围为5π24,13π24.


7.一个缆车示意图如图所示,该缆车半径为4.8 m,圆上最低点与地面的距离为0.8 m,60 s转动一圈,图中OA与地面垂直,以OA为始边,逆时针转动角θ到OB.设点B与地面距离是h.





(1)求h与θ之间的函数解析式;


(2)设从OA开始转动,经过t s后到达OB,求h与t之间的函数解析式,并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少.


解:(1)以圆心O为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,





由题意可知以Ox为始边,OB为终边的角为θ-π2,


故点B坐标为4.8csθ-π2,4.8sinθ-π2.


所以h=5.6+4.8sinθ-π2.


(2)因为点A在圆上转动的角速度是π30,所以t s转过的弧度数为πt30.所以θ=πt30.


所以h=5.6+4.8sinπt30-π2,t∈[0,+∞).


令h=5.6+4.8sinπt30-π2=10.4,


得sinπt30-π2=1.所以πt30-π2=π2+2kπ,k∈Z.


所以t=30+60k,k∈Z.令k=0,得t=30 s.


所以缆车到达最高点时,用的时间最少为30 s.x
π2
3π2
5π2
7π2
9π2
12x-π4
0
π2
π
3π2
2π
3sin12x-π4
0
3
0
-3
0
2x-π4
0
π2
π
3π2
2π
x
π8
3π8
5π8
7π8
9π8
2sin2x-π4
0
2
0
-2
0