高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）第2课时练习

5．6第2课时　函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质及应用

A级　基础巩固

一、选择题

1．若将函数y＝2sin2x的图像向左平移个单位长度，则平移后图像的对称轴为(　B　)

A．x＝－(k∈Z) B．x＝＋(k∈Z)

C．x＝－(k∈Z) D．x＝＋(k∈Z)

[解析]　函数y＝2sin2x的图像向左平移个单位长度，得到的图像对应的函数表达式为y＝2sin2(x＋)，令2(x＋)＝kπ＋(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z)，所以所求对称轴的方程为x＝＋(k∈Z)，故选B．

2．若函数f(x)＝2sin是偶函数，则φ的值可以是(　A　)

A．  B．

C．  D．－

[解析]　由于f(x)是偶函数，

则f(x)图象关于y轴即直线x＝0对称，

则f(0)＝±2，

又当φ＝时，f(0)＝2sin＝2，

则φ的值可以是．

3．函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，－<φ<)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是(　A　)

A．2，－  B．2，－

C．4，－  D．4，

[解析]　本题考查正弦型函数的周期与初相．

T＝－(－)＝，

∴T＝＝π，∴ω＝2．

当x＝时，2×＋φ＝，

∴φ＝－．

4．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象关于直线x＝对称，且f＝0，则ω的最小值为(　A　)

A．2  B．4

C．6  D．8

[解析]　函数f(x)的周期T≤4＝π，

则≤π，解得ω≥2，故ω的最小值为2．

5．若函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意x都有f＝f(－x)，则f＝(　B　)

A．3或0  B．－3或3

C．0  D．－3或0

[解析]　由于函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意x都有f＝f(－x)，

则函数f(x)的图象关于直线x＝对称，

则f是函数f(x)的最大值或最小值，

则f＝－3或3．

二、填空题

6．简谐振动s＝3sin，在t＝时的位移s＝　　．初相φ＝　　．

[解析]　当t＝时，s＝3sin＝3×＝．

三、解答题

7．已知函数y＝cosx＋|cosx|．

(1)画出函数的简图；

(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期；

(3)指出这个函数的单调增区间．

[解析]　(1)y＝cosx＋|cosx|

＝

函数图象如图所示．

(2)由图象知函数是周期函数，且它的周期是2π．

(3)由图象知函数的单调增区间为[2kπ－，2kπ](k∈Z)．

B级　素养提升

一、选择题

1．设函数f(x)＝2sin(x＋)．若对任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为(　B　)

A．4  B．2

C．1  D．

[解析]　f(x)的周期T＝4，|x1－x2|min＝＝2．

2．设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，|φ|<π．若f()＝2，f()＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，则(　A　)

A．ω＝，φ＝  B．ω＝，φ＝－

C．ω＝，φ＝－  D．ω＝，φ＝

[解析]　∵f()＝2，f()＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，

∴f(x)的最小正周期为4(－)＝3π，

∴ω＝＝，∴f(x)＝2sin(x＋φ)．

∴2sin(×＋φ)＝2，

得φ＝2kπ＋，k∈Z．

又|φ|<π，∴取k＝0，得φ＝．

3．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，－π<φ≤π．若f(x)的最小正周期为6π，且当x＝时，f(x)取得最大值，则(　A　)

A．f(x)在区间[－2π，0]上是增函数

B．f(x)在区间[－3π，－π]上是增函数

C．f(x)在区间[3π，5π]上是减函数

D．f(x)在区间[4π，6π]上是减函数

[解析]　∵f(x)的最小正周期为6π，∴ω＝．∵当x＝时，f(x)有最大值，∴×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，φ＝＋2kπ，∵－π<φ≤π，∴φ＝．∴f(x)＝2sin(＋)，由此函数图象易得，在区间[－2π，0]上是增函数，而在区间[－3π，－π]或[3π，5π]上均没单调性，在区间[4π，6π]上是单调增函数．

二、填空题

4．若将函数y＝sin(ωx＋)(ω>0)的图象向右平移个单位长度后，与函数y＝sin(ωx＋)的图象重合，则ω的最小值为　　．

[解析]　y＝sin(ωx＋)的图象向右平移个单位后得到y＝sin[ω(x－)＋π]，

即y＝sin(ωx＋π－π)，

故π－π＋2kπ＝(k∈Z)，

即π＝π＋2kπ，

ω＝＋6k(k∈Z)，

∵ω>0，∴ω的最小值为．

5．设函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ∈(－，))的最小正周期为π，且其图象关于直线x＝对称，则在下面四个结论：①图象关于点(，0)对称；②图象关于点(，0)对称；③在[0，]上是增函数；④在[－，0]上是增函数中，所有正确结论的编号为__②④__．

[解析]　∵T＝π，∴ω＝2．又2×＋φ＝kπ＋，∵φ＝kπ＋．∵φ∈(－，)，∴φ＝，∴y＝sin(2x＋)．由图象及性质可知②④正确．

三、解答题

6．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－π<φ<0)，图象最低点的纵坐标是－，相邻的两个对称中心是和．

求：(1)f(x)的解析式；

(2)f(x)的值域；

(3)f(x)的对称轴．

[解析]　(1)A＝，T＝2＝π，

∴＝π．∴ω＝2．∴f(x)＝sin(2x＋φ)．

又在f(x)图象上，

∴f＝0．∴sin＝0．

∴sin＝0．

又－π<φ<0，∴φ＝－．

∴f(x)＝sin．

(2)值域是[－，]．

(3)令2x－＝＋kπ(k∈Z)，∴x＝＋(k∈Z)．

∴对称轴是直线x＝＋(k∈Z)．