2020-2021学年5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）第1课时习题

第1课时　函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换

课后训练巩固提升

A组

1.要得到函数y=sin的图象,只需将函数y=sin 2x的图象(　　)

A.向右平移个单位长度

B.向左平移个单位长度

C.向右平移个单位长度

D.向左平移个单位长度

解析:因为函数y=sin=sin,

所以只需将函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度即可.

答案:A

2.要得到函数y=3sin的图象,只需将函数y=3sin 2x的图象(　　)

A.向左平移个单位长度

B.向右平移个单位长度

C.向左平移个单位长度

D.向右平移个单位长度

解析:因为函数y=3sin=3sin2,

所以只需将函数y=3sin2x的图象向左平移个单位长度即可.

答案:C

3.若把函数y=sin的图象向右平移m(m>0)个单位长度后,得到y=sin x的图象,则m的最小值为(　　)

A. B. C. D.

解析:由题意可得y=sin=sinx,

∴m-=2kπ(k∈Z),∴m=+2kπ(k∈Z).

又m>0,∴m的最小值为.

答案:C

4.把函数y=sin的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数是(　　)

A.非奇非偶函数 B.既是奇函数又是偶函数

C.奇函数 D.偶函数

解析:y=sin的图象向右平移个单位长度得到y=sin=sin=-cos2x的图象,可知y=-cos2x是偶函数.

答案:D

5.要得到函数y=cos的图象,只需将函数y=sin 2x的图象(　　)

A.向左平移个单位长度

B.向右平移个单位长度

C.向左平移个单位长度

D.向右平移个单位长度

解析:y=cos=sin=sin=sin.

由题意知,要得到y=sin的图象,

只要将y=sin2x的图象向左平移个单位长度.

答案:A

6.函数y=sin的图象可以看作把函数y=sin 2x的图象向　　　　　平移　　　　　个单位长度得到的. 

答案:右　

7.将函数y=cos 2x的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的解析式为　. 

解析:由题意得所得图象对应的解析式为y=cos2x-=cos.

答案:y=cos

8.将函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,-≤φ<的图象上每一点的横坐标缩短到原来的一半,纵坐标不变,再向右平移个单位长度得到y=sin x的图象,则f=　　　　　. 

解析:y=sinx的图象向左平移个单位长度,得到y=sin的图象,再把每一点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到y=sin的图象,即为f(x)=sin(ωx+φ)的图象,所以f(x)=sin,故f.

答案:

9.将函数y=f(x)的图象向左平移个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,可以得到函数y=cos 2x的图象.

(1)求f(π)的值;

(2)求f(x)的单调递增区间.

解:(1)将函数y=cos2x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到函数y=cos4x的图象,再将所得图象向右平移个单位长度,得到函数y=cos4(x-)=cos的图象,故f(x)=cos.

因此f(π)=cos=cos.

(2)令2kπ-π≤4x-≤2kπ(k∈Z),

解得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),

故f(x)的单调递增区间为

(k∈Z).

B组

1.将函数f(x)=cos的图象上各点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的2倍,所得图象的一条对称轴方程可以是(　　)

A.x= B.x=- C.x= D.x=-

解析:将函数y=cos的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),可得函数y=cos的图象.令x+=kπ(k∈Z),解得x=2kπ-(k∈Z).

故可得当k=1时,所得函数的图象的一条对称轴方程为x=-.

答案:B

2.若将函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象上所有的点向左平移个单位长度,所得图象与原图象重合,则ω的值不可能等于(　　)

A.4 B.6 C.8 D.12

解析:由题意可知=kT(k∈Z).

因为f(x)=sin(ωx+φ)的周期为T=,

所以=k·,即|ω|=4k(k∈Z).

故ω的值不可能等于6.

答案:B

3.为得到函数y=cos的图象,只需将函数y=sin 2x的图象(　　)

A.向右平移个单位长度

B.向左平移个单位长度

C.向右平移个单位长度

D.向左平移个单位长度

解析:∵y=cos=sin

=sin=sin2,

∴只需将函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度就可以得到函数y=cos的图象,故选B.

答案:B

4.将函数y=3sin的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向右平移个单位长度,所得函数图象的一个对称中心为(　　)

A. B. C. D.

解析:由函数y=3sin的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),可得到y=3sin的图象,再向右平移个单位长度,得到y=3sin=3sin.

令2x-=kπ(k∈Z),解得x=(k∈Z).

当k=1时,x=.

故函数图象的一个对称中心为,故选C.

答案:C

5.要得到y=sin的图象,需将函数y=cos的图象上所有的点至少向左平移　　　　　个单位长度. 

解析:cos=sin,将y=sin的图象上所有的点向左平移φ(φ>0)个单位长度得y=sin的图象.

令=2kπ+(k∈Z),

解得φ=4kπ-(k∈Z),

故当k=1时,φ=,即为φ的最小正值.

答案:

6.将函数f(x)=sin(2x+φ)的图象向左平移个单位长度,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象关于直线x=对称,则|φ|的最小值为　　　　　. 

解析:f(x)=sin(2x+φ)向左平移个单位长度后得到y=sin,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sinx++φ,此函数图象关于直线x=对称.

当x=时,sin=sin=±1,

所以+φ=+kπ(k∈Z),

得φ=-+kπ(k∈Z).故|φ|的最小值为.

答案:

7.将函数y=lg x的图象向左平移1个单位长度,可得函数f(x)的图象;将函数y=cos的图象向左平移个单位长度,可得函数g(x)的图象.

(1)在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)和g(x)的图象;

(2)判断方程f(x)=g(x)解的个数.

解:(1)函数y=lgx的图象向左平移1个单位长度,可得函数f(x)=lg(x+1)的图象,即图象C1;函数y=cos的图象向左平移个单位长度,可得函数g(x)=cos=cos2x的图象,即图象C2.

画出图象C1和C2的图象如图所示.

(2)由(1)中的图象可知,两个图象共有7个交点,即方程f(x)=g(x)解的个数为7.

8.已知函数f(x)=2sin ωx,其中常数ω>0.

(1)若y=f(x)在区间上单调递增,求ω的取值范围;

(2)令ω=2,将函数y=f(x)的图象向左平移个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,区间[a,b](a,b∈R且a<b)满足:y=g(x)在区间[a,b]上至少含有30个零点,在所有满足上述条件的区间[a,b]中,求b-a的最小值.

解:(1)因为ω>0,

所以根据题意有

解得0<ω≤.

所以ω的取值范围为.

(2)由题意知f(x)=2sin2x,

g(x)=2sin+1=2sin+1.

由g(x)=0得,sin=-,

解得x=kπ-或x=kπ-,k∈Z,

即g(x)的相邻零点之间的间隔依次为.

故若y=g(x)在区间[a,b]上至少含有30个零点,则b-a的最小值为14×+15×.