2020-2021学年5.2 三角函数的概念课时练习

二十　同角三角函数的基本关系

(30分钟　60分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．已知 cos θ＝，θ∈(π，2π)，则tan θ＝(　　)

A．    B．－    C．2    D．－2

【解析】选B.因为 cos θ＝，θ∈(π，2π)，

所以θ∈，所以sin θ＝－

＝－，可得tanθ＝＝－.

2．(2021·镇江高一检测)若＝，则tan α等于(　　)

A．－2    B．    C．－    D．2

【解析】选A.因为＝，

所以＝，解得tan α＝－2.

3．(多选题)已知－＜θ＜，且sin θ＋cos θ＝a，其中a∈(0，1)，则关于tan θ的值，在以下四个答案中，可能正确的是(　　)

A．－3    B．    C．－    D．－

【解析】选CD.因为sin θ＋cos θ＝a，a∈(0，1)，

两边平方得1＋2sin θcos θ＝a2，

解得sin θcos θ＝＜0，所以－＜θ＜0，且cos θ＞－sin θ，

所以|cos θ|＞|sin θ|，

借助于三角函数线可知，－＜θ＜0，－1＜tan θ＜0；

所以tan θ的值可能是－，－.

4．(2021·安庆高一检测)1626年，阿贝尔特格洛德最早推出简写的三角符号：sin 、tan 、sec (正割)，1675年，英国人奥屈特最早推出余下的简写三角符号：cos、cot、csc(余割)，但直到1748年，经过数学家欧拉的引用后，才逐渐通用起来，其中sec θ＝，csc θ＝.若α∈(0，π)，且＋＝2，则tan α＝(　　)

A．    B．    C．0    D．－

【解析】选D.由＋＝2，得3sin α＋2cos α＝2，又sin2α＋cos2α＝1，联立解得(舍)或，

所以tan α＝＝－.

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．已知sin2θ＝cosθ－1，则sin θ＝______，sin ＝________．

【解析】因为sin2θ＝cosθ－1≥0，

所以cos θ≥1，可得cos θ＝1，sin θ＝0，

所以θ＝2kπ，k∈Z，所以sin ＝0.

答案：0　0

6．已知tan α＝，则cos4α－cos2α＋sin2α＝________．

【解析】因为tanα＝，所以cos4α－cos2α＋sin2α

＝cos2α(cos2α－1)＋sin2α＝－cos2αsin2α＋sin2α

＝sin2α(1－cos2α)＝sin4α

＝，

＝＝＝

答案：

三、解答题(每小题10分，共30分)

7．已知α∈，且＝.

(1)求tan α的值；(2)求cos α－sin α的值．

【解析】(1)由＝.得sin α＝2cos α.

所以tan α＝2.

(2)因为sin2α＋cos2α＝1，又sinα＝2cos α，所以cos2α＝

因为α∈，所以cosα＝.

所以sin α＝2cos α＝所以cos α－sin α＝－.

8．已知角θ的终边与单位圆x2＋y2＝1在第四象限交于点P，且点P的坐标为.

(1)求tan θ的值；(2)求的值．

【解析】(1)由已知θ为第四象限角，终边与单位圆交于点P，

得＋y2＝1，y＜0，解得y＝－.所以tan θ＝＝－.

(2)因为tan θ＝－，

所以＝＝＝2－.

9．设α是第三象限角，问是否存在实数m，使得sin α，cos α是关于x的方程8x2＋6mx＋2m＋1＝0的两个根？若存在，求出实数m；若不存在，请说明理由．

【解析】假设存在实数m满足条件，由题设得，

Δ＝36m2－32(2m＋1)≥0，①

因为α是第三象限角，所以sin α<0，cos α<0，

所以sin α＋cos α＝－m<0②，

sin αcos α＝>0③.

又sin2α＋cos2α＝1，

所以(sinα＋cos α)2－2sin αcos α＝1.

把②③代入上式得－2×＝1，

即9m2－8m－20＝0，解得m1＝2，m2＝－.

因为m1＝2不满足条件①，舍去；因为m2＝－不满足条件②和③，舍去．

故满足题意的实数m不存在．