高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换精练

二十五　简单的三角恒等变换

(30分钟　60分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．如果|cos θ|＝，＜θ＜3π，那么sin  的值为(　　)

A．        B．

C．－       D．－

【解析】选D.因为|cos θ|＝，＜θ＜3π，所以cos θ＝－，∈，sin ＜0，

cos θ＝2cos2－1＝－，cos2＝，

所以sin＝－＝－.

2．如果θ是第一象限角，那么恒有(　　)

A．sin＞0         B．tan ＜1

C．sin ＞cos        D．sin ＜cos

【解析】选B.因为θ是第一象限角，

所以2kπ＜θ＜＋2kπ，

所以kπ＜＜＋kπ(k∈Z)，所以当k为偶数时，在第一象限；当k为奇数时，在第三象限；当在第三象限时，A，D不满足，故排除；当在第一象限时，C不满足；根据正切函数的单调性知，所以tan ＜tan ＋kπ＝1，B满足条件．

3．著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”，他倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，黄金分割比t＝≈0.618还可以表示成2sin 18°，则＝(　　)

A．4    B．－1     C．2     D．

【解析】选D.因为由题意可得：t＝2sin 18°，

所以＝

＝＝.

4．(多选题)已知f(x)＝1－2cos2(ω＞0)，下面结论正确的是(　　)

A．若f(x1)＝1，f(x2)＝－1，且|x1－x2|的最小值为π，则ω＝2

B．存在ω∈(1，3)，使得f(x)的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称

C．若f(x)在[0，2π]上恰有7个零点，则ω的取值范围是

D．若f(x)在上单调递增，则ω的取值范围是

【解析】选BCD.因为f(x)＝1－2cos2

＝－cos＝sin ，

所以周期T＝＝.A.由条件知，周期为2π，所以w＝，故A错误；B.函数图象右移个单位长度后得到的函数为y＝sin ，其图象关于y轴对称，则－＋＝＋kπ(k∈Z)，所以ω＝－1－3k(k∈Z)，故对k＝－1，存在ω＝2∈(1，3)，故B正确；C.由f(x)＝sin (2ωx＋)且f(x)在[0，2π]上恰有7个零点，可得－≤2π＜－，

所以≤ω＜，故C正确；

D．由条件，得，

所以ω≤，又ω＞0，所以0＜ω≤，故D正确．

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．已知α为第二象限角，且＝，则tan ＝________，sin ＝________．

【解析】因为α为第二象限角，且＝，

所以tan α＝－＝，又 sin2α＋cos2α＝1，

所以sinα＝，cos α＝－，

所以sin ＝sin αcos ＋cos αsin

＝－，cos ＝cos αcos －sin αsin ＝－.

所以tan ＝＝＝－3.

因为sin ＝＝＝，

cos ＝＝＝，

sin＝sin αcos ＋cos αsin ＝·

－·＝.

答案：－3　

6．记A，B，C为△ABC的内角，①若＝3，，则＝________；

②若cos B，cos C是方程5x2－3x－1＝0的两根，则sin B·sin C＝________．

【解析】①由已知得1＋sin A＝3cos A＞0，再由sin2A＋cos2A＝1，联立化简cosA＝，sin A＝，则＝2；

②由题知cos B＋cos C＝①，

cos B cos C＝－②，

将①式平方得cos2B＋2cosB cos C＋cos2C＝，

得cos2B＋cos2C＝＋2×＝，

sinB sin C＝，

＝

＝＝.

答案：2　

三、解答题(每小题10分，共30分)

7．当α≠(2k＋1)π，k∈Z时，等式tan＝恒成立，我们把这个恒等式叫“半角公式”．

(1)证明上述半角公式；

(2)若α，β都是锐角，cos α＝，cos (α＋β)＝，试求tan 的值．

【解析】(1)右边＝＝＝＝tan ＝左边；

(2)因为α，β都是锐角，cos α＝，cos (α＋β)＝⇒sin α＝，

因为0＜α＋β＜π⇒sin (α＋β)＝，

所以sin β＝sin (α＋β－α)＝sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)·sin α＝·－·＝，

所以cos β＝＝，

所以tan ＝＝＝＝.

8．已知函数f(x)＝cos ωx(sin ωx＋cos ωx)(ω＞0).

(1)求函数f(x)的值域；

(2)若方程f(x)＝在区间[0，π]上恰有两个实数解，求ω的取值范围．

【解析】(1)f(x)＝cos ωx(sin ωx＋cos ωx)

＝sin 2ωx＋(1＋cos 2ωx)

＝sin ＋.

由－1≤sin (2ωx＋)≤1，得f(x)的值域是.

(2)因为0≤x≤π，所以≤2ωx＋≤2ωπ＋，

由正弦函数的图象可知，f(x)＝在区间[0，π]上恰有两个实数解，必须2π≤2ωπ＋＜3π，解得≤ω＜.

9．已知正实数a，b满足＝tan，求的值．

【解析】方法一：由题设得

＝⇒

＝

＝＝tan ＝.

方法二：因为asin＋b cos

＝sin ，

acos－bsin＝cos，其中tan φ＝，

由题设得tan ＝tan .所以＋φ＝kπ＋π，k∈Z，即φ＝kπ＋，k∈Z，所以＝tan φ＝tan ＝tan＝.

方法三：原式可变形为＝tanπ，

令tan α＝，

则有＝tan ＝tan π，

由此可得α＋＝kπ＋π(k∈Z)，所以α＝kπ＋，(k∈Z)，所以tan α＝tan ＝tan＝，即＝.