高中5.1 任意角和弧度制一课一练

十八　任意角和弧度制

(30分钟　60分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．把－π表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是(　　)

A．－　    B．－    C．　　    D．

【解析】选A.因为－＝－2π－，所以－与－是终边相同的角，且此时＝是最小的．

2．(多选题)若角α与角终边相同，则在[0，2π]内终边与终边相同的角有(　　)

A．    B．    C．    D．

【解析】选ABCD.由题意得α＝＋2kπ(k∈Z)，＝＋(k∈Z)，又∈[0，2π]，所以k＝0，1，2，3，此时＝，，，.

3．已知集合A＝{α|2kπ≤α≤(2k＋1)π，k∈Z}，B＝{α|－4≤α≤4}，则A∩B等于(　　)

A．∅

B．{α|－4≤α≤π}

C．{α|0≤α≤π}

D．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}

【解析】选D.集合A限制了角α终边只能落在x轴上方或x轴上．而集合A中满足集合B范围的只有k＝0或k＝－1的一部分，即只有D选项满足．

4．若＝2kπ＋(k∈Z)，则的终边在(　　)

A．第一象限　    B．第四象限

C．x轴上　　     D．y轴上　

【解析】选D.因为＝2kπ＋(k∈Z)，所以α＝6kπ＋π(k∈Z)，

所以＝3kπ＋(k∈Z).

当k为奇数时，的终边在y轴的非正半轴上；

当k为偶数时，的终边在y轴的非负半轴上．

综上，的终边在y轴上．

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．在直径为10 cm的轮子上有一条长为6 cm的弦，P为弦的中点，轮子以每秒5弧度的角速度旋转，则经过5 s后P转过的弧长为________cm.

【解析】P到圆心O的距离OP＝＝4(cm)，又P点转过的角的弧度数α＝5×5＝25(rad)，所以所求弧长为α·OP＝25×4＝100(cm).

答案：100

6．“一湾如月弦初上，半壁澄波镜比明”描述的是敦煌八景之一的月牙泉．某中学开展暑期社会实践活动，学生通过测量绘制出月牙泉的平面图，如图所示．其中，圆弧QRT是一个以O点为圆心、QT为直径的半圆，QT＝60

m．圆弧QST的圆心为P点，PQ＝60 m，圆弧QRT与圆弧QST所围成的阴影部分为月牙泉的形状，则该月牙泉的面积为________ m2.

【解析】连接PO，可得PO⊥QT，

因为sin ∠QPO＝，所以∠QPO＝，∠QPT＝，

所以月牙泉的面积为S＝×π×(30)2－

＝150π＋900(m2).

答案：150π＋900

三、解答题(每小题10分，共30分)

7.如图是一个半径为R的扇形，它的周长为4R，求这个扇形所含弓形(阴影区域)的面积．

【解析】因为弧长l＝4R－2R＝2R，所以圆心角α＝＝2，

所以S弓形＝S扇形－S三角形

＝αR2－·

＝×2×R2－R2sin 1·cos 1

＝R2(1－sin 1cos 1).

8．将下列各角化成弧度制下的角，并指出是第几象限角．

(1)－1 725°；(2)－60°＋360°·k(k∈Z).

【解析】(1)－1 725°＝75°－5×360°＝－5×2π＋＝－10π＋，是第一象限角．

(2)－60°＋360°·k＝－×60＋2π·k

＝－＋2kπ(k∈Z)，是第四象限角．

9．如图，动点P，Q从点A(4，0)出发，沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，求P，Q第一次相遇时所用的时间及P，Q点各自走过的弧长．

【解析】设P，Q第一次相遇时所用的时间是t，

则t·＋t·＝2π.解得t＝4.

所以第一次相遇时所用的时间是4秒．

第一次相遇时点P已经运动到角·4＝的终边与圆交点的位置，点Q已经运动到角－的终边与圆交点的位置，所以点P走过的弧长为×4＝，

点Q走过的弧长为×4＝×4＝.