高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用同步达标检测题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用同步达标检测题，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．将8分为两个非负数之和，使两个非负数的立方和最小，则应分为( )
A．2和6 B．4和4
C．3和5D．以上都不对
B [设一个数为x，则另一个数为8－x，则其立方和y＝x3＋(8－x)3＝83－192x＋24x2(0≤x≤8)，y′＝48x－192.令y′＝0，即48x－192＝0，解得x＝4.当0≤x400，))则总利润最大时，每年生产的产品是( )
A．100B．150
C．200D．300
D [由题意，得总成本函数为
C(x)＝20 000＋100x，总利润P(x)＝R(x)－C(x)＝
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(300x－\f(x2,2)－20 000，0≤x≤400，,60 000－100x，x>400.))
所以P′(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(300－x，0≤x≤400，,－100，x>400.))
令P′(x)＝0，得x＝300，易知x＝300时，总利润P(x)最大．]
二、填空题
6．已知函数f (x)＝x4＋9x＋5，则f (x)的图象在(－1，3)内与x轴的交点的个数为________．
1 [f ′(x)＝4x3＋9，
当x∈(－1，3)时，f ′(x)＞0，所以f (x)在(－1，3)上单调递增，
因为f (－1)＝－3＜0，f (0)＝5＞0，所以f (x)的图象在(－1，3)内与x轴只有一个交点．]
7．用总长14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5 m，那么高为________时容器的容积最大．
1．2 m [设容器底面短边长为x m，则另一边长为(x＋0.5)m，高为eq \f(1,4)[14.8－4x－4(x＋0.5)]＝(3.2－2x)m.由3.2－2x＞0及x＞0，得0＜x＜1.6.设容器容积为y，则有y＝x(x＋0.5)(3.2－2x)＝－2x3＋2.2x2＋1.6x(0＜x＜1.6)，y′＝－6x2＋4.4x＋1.6.由y′＝0及0＜x＜1.6，解得x＝1.在定义域(0，1.6)内，只有x＝1使y′＝0.由题意，若x过小(接近于0)或过大(接近于1.6)，y的值都很小(接近于0)．因此当x＝1时，y取最大值，且ymax＝－2＋2.2＋1.6＝1.8(m3)，这时高为1.2 m．]
8．若eq \f(1,3)x3＋eq \f(1,2)ax2＋1＝0有一个实数根，则实数a的取值范围为________．
(eq \r(3,－6)，＋∞) [令f (x)＝eq \f(1,3)x3＋eq \f(1,2)ax2＋1，则f ′(x)＝x2＋ax.由f (x)＝0有一个实数根，得Δ≤0(Δ是方程f ′(x)＝0的根的判别式)或f (x1)·f (x2)＞0(x1，x2是f (x)的极值点)．
①由Δ≤0，得a＝0；
②令f ′(x)＝0，得x1＝0，x2＝－a，则f (x1)·f (x2)＝－eq \f(1,3)a3＋eq \f(1,2)a3＋1＞0，即eq \f(1,6)a3＞－1，所以a＞eq \r(3,－6).
综上，实数a的取值范围是(eq \r(3,－6)，＋∞)．]
三、解答题
9．一艘轮船在航行中燃料费和它的速度的立方成正比．已知速度为每小时10千米时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1千米所需的费用总和最少？
[解] 设速度为每小时v千米时，燃料费是每小时p元，那么由题设知p＝kv3，
因为v＝10，p＝6，所以k＝eq \f(6,103)＝0.006.
于是有p＝0.006v3.
又设船的速度为每小时v千米时，行驶1千米所需的总费用为q元，那么每小时所需的总费用是(0.006v3＋96)元，而行驶1千米所用时间为eq \f(1,v)小时，所以行驶1千米的总费用为q＝eq \f(1,v)(0.006v3＋96)＝0.006v2＋eq \f(96,v).
q′＝0.012v－eq \f(96,v2)＝eq \f(0.012,v2)(v3－8 000)，
令q′＝0，解得v＝20.
当v＜20时，q′＜0；
当v＞20时，q′＞0，
所以当v＝20时，q取得最小值．
即当速度为20千米/小时时，航行1千米所需的费用总和最少．
10．用长为18 m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？
[解] 设长方体的宽为x m，则长为2x m，
高为h＝eq \f(18－12x,4)＝(4.5－3x)meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0＜x＜\f(3,2))).
故长方体的体积为
V(x)＝2x2(4.5－3x)＝(9x2－6x3)m3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0＜x＜\f(3,2))).
从而V′(x)＝18x－18x2＝18x(1－x)．
令V′(x)＝0，解得x＝0(舍去)或x＝1，
因此x＝1.
当0＜x＜1时，V′(x)＞0；
当1＜x＜eq \f(3,2)时，V′(x)＜0，
故在x＝1处V(x)取得极大值，并且这个极大值就是V(x)的最大值．
从而最大体积V＝V(1)＝9×12－6×13＝3(m3)，此时长方体的长为2 m，高为1.5 m.
故当长方体的长为2 m，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m3.
11．(多选题)设x3＋ax＋b＝0(a，b∈R)，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是( )
A．a＝－3，b＝2 B．a＝－3，b＝－3
C．a＝－3，b＞2D．a＝1，b＝2
BCD [记f (x)＝x3＋ax＋b，
a＝－3，b＝2时，f (x)＝x3－3x＋2＝(x－1)2(x＋2)＝0，x＝1或x＝－2，不满足题意；
a＝－3，b＝－3时，f (x)＝x3－3x－3，f ′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，
f (x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)是递增，在(－1，1)上递减，而f (x)极大值＝f (－1)＝－1＜0，f (x)只有一个零点，即f (x)＝0只有一个实根；同理a＝－3，b＞2时，f (x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)是递增，在(－1，1)上递减，而f (x)极小值＝f (1)＝b－2＞0，f (x)只有一个零点，即f (x)＝0只有一个实根；a＝1，b＝2时，f (x)＝x3＋x＋2＝(x＋1)(x2－x＋2)＝0，只有一个实根－1，故选BCD.]
12．已知函数f (x)＝ax3－3x2＋1，若f (x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是( )
A．(2，＋∞)B．(－∞，－2)
C．(1，＋∞)D．(－∞，－1)
B [由a≠0，f ′(x)＝3ax2－6x＝0，得x＝0或x＝eq \f(2,a).①若a＞0，则f (x)在(－∞，0)上是增函数，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2,a)))上是减函数，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,a)，＋∞))上是增函数．又因为f (0)＝1＞0，所以f (x)在(－∞，0)上存在一个零点，与已知矛盾，a＞0舍去；②若a＜0，则f (x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(2,a)))上是减函数，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,a)，0))上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数．又因为f (0)＝1＞0，所以f (x)在(0，＋∞)存在一个零点x0，且x0＞0.f (x)存在唯一的零点x0，只需f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,a)))＝1－eq \f(4,a2)＞0，即a＞2或a＜－2.又a＜0，所以a＜－2，所以a的取值范围是(－∞，－2)．故选B.]
13．海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比，已知某海轮的最大航速为30 n mile/h，当速度为10 n mile/h时，它的燃料费是每小时25元，其余费用(无论速度如何)都是每小时400元．如果甲乙两地相距800 n mile，则要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低，它的航速应为________．
20 n mile/h [由题意设燃料费y1与航速v间满足y1＝av3(0≤v≤30)，
又∵25＝a·103，∴a＝eq \f(1,40).
设从甲地到乙地海轮的航速为v n mile/h，总费用为y元，
则y＝av3×eq \f(800,v)＋eq \f(800,v)×400＝20v2＋eq \f(320 000,v).
由y′＝40v－eq \f(320 000,v2)＝0，得v＝20