2020-2021学年5.3 导数在研究函数中的应用同步训练题

这是一份2020-2021学年5.3 导数在研究函数中的应用同步训练题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．若f (x)＝exln 2x，则f ′(x)＝( )
A．exln 2x＋eq \f(ex,2x) B．exln 2x－eq \f(ex,x)
C．exln 2x＋eq \f(ex,x)D．2ex·eq \f(1,x)
C [f ′(x)＝exln 2x＋ex×eq \f(2,2x)＝exln 2x＋eq \f(ex,x).]
2．已知函数f (x)＝2ln(3x)＋8x，则eq \(lim,\s\d14(Δx→0)) eq \f(f1－2Δx－f1,Δx)的值为( )
A．10B．－10
C．－20D．20
C [∵f (x)＝2ln(3x)＋8x，∴f ′(x)＝eq \f(6,3x)＋8＝8＋eq \f(2,x).根据导数定义知eq \(lim,\s\d14(Δx→0)) eq \f(f1－2Δx－f1,Δx)＝－2eq \(lim,\s\d14(Δx→0)) eq \f(f1－2Δx－f1,－2Δx)＝－2f ′(1)＝－20.故应选C.]
3．已知f (x)＝eq \f(ln x,\r(2x))，则f ′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝( )
A．－2－ln 2B．－2＋ln 2
C．2－ln 2D．2＋ln 2
D [依题意有f ′(x)＝eq \f(\f(1,x)·\r(2x)－\r(2)·\f(1,2\r(x))·ln x,2x)，
故f ′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \f(2＋ln 2,1)＝2＋ln 2，所以选D.]
4．已知函数f (x)是偶函数，当x＞0时，f (x)＝xln x＋1则曲线y＝f (x)在x＝－1处的切线方程为( )
A．y＝－xB．y＝－x＋2
C．y＝xD．y＝x－2
A [因为x＜0，f (x)＝f (－x)＝－xln(－x)＋1，f (－1)＝1，
f ′(x)＝－ln(－x)－1，f ′(－1)＝－1，所以曲线y＝f (x)在x＝－1处的切线方程为y－1＝－(x＋1)，即y＝－x.故选A.]
5．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为( )
A．1 B．2 C．－1 D．－2
B [设切点坐标是(x0，x0＋1)，
依题意有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,x0＋a)＝1，,x0＋1＝lnx0＋a，))
由此得x0＋1＝0，x0＝－1，a＝2.]
二、填空题
6．若函数f (x)＝eq \f(ex,x＋12)，则f ′(x)＝________.
eq \f(x－1ex,x＋13) [∵f (x)＝eq \f(ex,x＋12)，∴f ′(x)＝eq \f(exx＋12－ex×2x＋1,x＋14)＝eq \f(x－1ex,x＋13).]
7．若曲线y＝xln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________．
(e，e) [设P(x0，y0)．∵y＝xln x，
∴y′＝ln x＋x·eq \f(1,x)＝1＋ln x.
∴k＝1＋ln x0.又k＝2，
∴1＋ln x0＝2，∴x0＝e.
∴y0＝eln e＝e.
∴点P的坐标是(e，e)．]
8．已知P为指数函数f (x)＝ex图象上一点，Q为直线y＝x－1上一点，则线段PQ长度的最小值是________．
eq \r(2) [设f (x)图象上斜率为1的切线的切点是P(x0，y0)，由f ′(x)＝ex，f ′(x0)＝eeq \s\up10(x0)＝1，x0＝0，f (0)＝1，即P(0，1)．P到直线y＝x－1的距离是d＝eq \f(|0－1－1|,\r(2))＝eq \r(2).]
三、解答题
9．求下列函数的导数：
(1)y＝a2x－3；(2)y＝x2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))；
(3)y＝e－xln x；(4)y＝eq \f(1,\r(1－2x)).
[解] (1)因为y＝a2x－3，
所以y′＝a2x－3ln a·(2x－3)′＝2a2x－3ln a.
(2)因为y＝x2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))，
所以y′＝2xcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))＋x2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))))′
＝2xcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))－x2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))′
＝2xcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))－2x2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3))).
(3)因为y＝e－xln x，
所以y′＝(e－x)′ln x＋e－x·eq \f(1,x)＝－e－xln x＋eq \f(e－x,x)＝eq \f(1－xln x,xex).
(4)因为y＝eq \f(1,\r(1－2x))＝(1－2x)eq \s\up10(－eq \f(1,2))，
所以y′＝－eq \f(1,2)(1－2x)eq \s\up10(－eq \f(3,2))×(－2)＝eq \f(1,1－2x\r(1－2x)).
10．曲线y＝esin x在(0，1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为eq \r(2)，求直线l的方程．
[解] ∵y＝esin x，∴y′＝esin xcs x，
∴y′|x＝0＝1.
∴曲线y＝esin x在(0，1)处的切线方程为
y－1＝x，即x－y＋1＝0.
又直线l与x－y＋1＝0平行，故可设直线l为x－y＋m＝0.
由eq \f(|m－1|,\r(1＋－12))＝eq \r(2)得m＝－1或3.
∴直线l的方程为：x－y－1＝0或x－y＋3＝0.
11．(多选题)下列结论中不正确的是( )
A．若y＝cseq \f(1,x)，则y′＝－eq \f(1,x)sineq \f(1,x)
B．若y＝sin x2，则y′＝2xcs x2
C．若y＝cs 5x，则y′＝－sin 5x
D．若y＝eq \f(1,2)xsin 2x，则y′＝xsin 2x
ACD [对于A，y＝cseq \f(1,x)，则y′＝eq \f(1,x2)sineq \f(1,x)，故错误；
对于B，y＝sin x2，则y′＝2xcs x2，故正确；
对于C，y＝cs 5x，则y′＝－5sin 5x，故错误；对于D，y＝eq \f(1,2)xsin 2x，则y′＝eq \f(1,2)sin 2x＋xcs 2x，故错误．故选ACD]
12．曲线y＝e－2x＋1在点(0，2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为( )
A．eq \f(1,3) B．eq \f(1,2) C．eq \f(2,3) D．1
A [依题意得y′＝e－2x·(－2)＝－2e－2x，y′|x＝0＝－2e－2×0＝－2.
曲线y＝e－2x＋1在点(0，2)处的切线方程是y－2＝－2x，即y＝－2x＋2.在坐标系中作出直线y＝－2x＋2、y＝0与y＝x的图象，因为直线y＝－2x＋2与y＝x的交点坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(2,3)))，直线y＝－2x＋2与x轴的交点坐标是(1，0)，结合图象可得，这三条直线所围成的三角形的面积等于eq \f(1,2)×1×eq \f(2,3)＝eq \f(1,3).]
13．(一题两空)设函数f (x)＝cs(eq \r(3)x＋φ)(0＜φ＜π)，若f ′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)π))＝eq \f(\r(3),2)，则φ＝________；若f (x)＋f ′(x)是奇函数，则φ＝________.
eq \f(π,6)或eq \f(5π,6) eq \f(π,6) [f ′(x)＝－eq \r(3)sin(eq \r(3)x＋φ)．
由条件知，f ′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)π))＝－eq \r(3)sin(π＋φ)＝eq \r(3)sin φ＝eq \f(\r(3),2)，
∴sin φ＝eq \f(1,2)，∵0＜φ＜π，∴φ＝eq \f(π,6)或eq \f(5π,6).
又f (x)＋f ′(x)
＝cs(eq \r(3)x＋φ)－eq \r(3)sin(eq \r(3)x＋φ)
＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)x＋φ＋\f(5π,6))).
若f (x)＋f ′(x)为奇函数，
则f (0)＋f ′(0)＝0，
即0＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(φ＋\f(5π,6)))，
∴φ＋eq \f(5π,6)＝kπ(k∈Z)．
又∵φ∈(0，π)，∴φ＝eq \f(π,6).]
14．设P是曲线y＝x－eq \f(1,2)x2－ln x上的一个动点，记此曲线在P点处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是________．
eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,4))) [由y＝x－eq \f(1,2)x2－ln x，得y′＝1－x－eq \f(1,x)(x＞0)，
∵1－x－eq \f(1,x)＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))≤1－2eq \r(x·\f(1,x))＝－1，
当且仅当x＝1时等号成立．
∴y′≤－1，即曲线在P点处的切线的斜率小于或等于－1，
∴tan θ≤－1，又θ∈[0，π)，
∴θ∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,4))).]
15．设函数f (x)＝aexln x＋eq \f(bex－1,x).
(1)求导函数f ′(x)；
(2)若曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线方程为y＝e(x－1)＋2，求a，b的值．
[解] (1)由f (x)＝aexln x＋eq \f(bex－1,x)，
得f ′(x)＝(aexln x)′＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(bex－1,x)))eq \s\up10(′)＝aexln x＋eq \f(aex,x)＋eq \f(bex－1x－bex－1,x2).
(2)由于切点既在曲线y＝f (x)上，又在切线y＝e(x－1)＋2上，
将x＝1代入切线方程得y＝2，将x＝1代入函数f (x)得f (1)＝b，
∴b＝2.
将x＝1代入导函数f ′(x)中，
得f ′(1)＝ae＝e，
∴a＝1.