初中数学人教版九年级上册24.1 圆的有关性质综合与测试综合训练题

这是一份初中数学人教版九年级上册24.1 圆的有关性质综合与测试综合训练题，共32页。试卷主要包含了0分），【答案】D，【答案】A，【答案】C，【答案】B等内容，欢迎下载使用。


24.2点和圆，直线和圆的关系同步练习人教版初中数学九年级上册
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1. 已知⊙O的半径为1，点P到圆心O的距离为d，若关于x的方程x2−2x+d=0有实根，则点P(    )
A. 在⊙O的内部 B. 在⊙O的外部
C. 在⊙O上 D. 在⊙O上或⊙O的内部
2. 如图，在△ABC中，O是AB边上的点，以O为圆心，OB为半径的⊙O与AC相切于点D，BD平分∠ABC，AD=3OD，AB=12，CD的长是(    )
A. 23
B. 2
C. 33
D. 43
3. 如图，BM与⊙O相切于点B，若∠MBA=140°，则∠ACB的度数为(      )
A. 40°
B. 50°
C. 60°
D. 70°
4. 如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M.给出下列四种说法：
①PA=PB；
②OP⊥AB；
③四边形OAPB有外接圆；
④M是△AOP外接圆的圆心．
其中正确说法的个数是(    )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5. 下列说法正确的是(    )
A. 与圆有公共点的直线是圆的切线
B. 到圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线
C. 垂直于圆的半径的直线是圆的切线
D. 过圆的半径外端的直线是圆的切线
6. 如图，若△ABC是⊙O的内接三角形，AB是直径，过点A作直线EF.添加下列一个条件： ①AB⊥EF; ②∠C=∠FAB; ③∠B=∠EAC; ④∠EAC=∠BAC.不能证明EF是⊙O的切线的是(    )
A.  ① B.  ② C.  ③ D.  ④
7. 如图，PA、PB切⊙O于点A、B，直线FG切⊙O于点E，交PA于F，交PB于点G，若PA=8cm，则△PFG的周长是(    )
A. 8cm
B. 12cm
C. 16cm
D. 20cm
8. 如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M.给出下列四种说法：
 ①PA=PB; ②OP⊥AB; ③四边形OAPB有外接圆; ④M是△AOP外接圆的圆心．
其中正确说法的个数是(    )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
9. 如图，点A，B，C在⊙O上，∠ABC=29∘，过点C作⊙O的切线交OA的延长线于点D，则∠D的大小为(    )
A. 29∘ B. 32∘ C. 42∘ D. 58∘
10. 如图，PA，PB，DE分别切⊙O于点A，B，C，若⊙O的半径为5，OP=13，则△PDE的周长为(    )
A. 18 B. 20 C. 24 D. 30
11. 如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA=10，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的周长是(    )
A. 10
B. 18
C. 20
D. 22
12. 如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，连结PO并延长交⊙O于点C，连结AC，AB=10，∠P=30°，则AC的长度是(    )
A. 53 B. 52 C. 5 D. 52
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
13. 如图，在Rt△AOB中，OA=OB=42.⊙O的半径为2，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ(点Q为切点)，则线段PQ长的最小值为______．



14. 如图，直线a⊥b，垂足为H，点P在直线b上，PH=4cm，O为直线b上一动点，若以1cm为半径的⊙O与直线a相切，则OP的长为______．

15. 如图，点C是⊙O的直径BA的延长线上的一点，CD与⊙O相切于点D，点E是优弧ABD上的一点(不与A，D，B重合)，若∠C=40∘，则∠DEB的度数为          ．

16. 如图，已知△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，连接OB，OD.若∠ABC=40°，则∠BOD的度数是________．


17. 直角三角形在两边长分别为16和12，则此三角形的外接圆直径是______
三、计算题（本大题共5小题，共30.0分）
18. 如图，AB是⊙O的直径，C是圆上一点，弦CD⊥AB于点E，且DC=AD.过点A作⊙O的切线，过点C作DA的平行线，两直线交于点F，FC的延长线交AB的延长线于点G．
(1)求证：FG与⊙O相切；
(2)连接EF，若AF=2，求EF的长．








19. 如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，∠BAD=∠CAD，CE//AD，CE交BA的延长线于点E，BC=8，AD=3．
(1)求CE的长；
(2)求证：△ABC为等腰三角形．
(3)求△ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离．








20. 如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，将弧BC沿直线BC翻折，使弧BC的中点D恰好与圆心O重合，连接OC，CD，BD，过点C的切线与线段BA的延长线交于点P，连接AD，在PB的另一侧作∠MPB=∠ADC．

(1)判断PM与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若PC=3，求四边形OCDB的面积．







21. 如图，⊙O是△ABD的外接圆，AB为直径，点C是弧AD的中点，连接OC，BC分别交AD于点F，E．
(1)求证：∠ABD=2∠C．
(2)若AB=10，BC=8，求BD的长．








22. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE切⊙O于点A，AE与直径BD的延长线相交于点E．
(Ⅰ)如图①，若∠C=71°，求∠E的大小；
(Ⅱ)如图②，当AE=AB，DE=2时，求∠E的大小和⊙O的半径．








四、解答题（本大题共4小题，共32.0分）
23. 如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上不同于A，B的两点，AD=BC，AC与BD相交于点F.BE是半圆O所在圆的切线，与AC的延长线相交于点E．
(1)求证：△CBA≌△DAB；
(2)若BE=BF，求证：AC平分∠DAB．







24. 如图，一块等腰三角形钢板的底边长为80cm，腰长为50cm．
(1)求能从这块钢板上截得的最大圆的半径；
(2)用一个圆完整覆盖这块钢板，这个圆的最小半径是多少cm？







25. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AC上，以OA为半径的半圆O交AB于点D，交AC于点E，过点D作半圆O的切线DF，交BC于点F．
(1)求证：BF=DF；
(2)若AC=4，BC=3，CF=1，求半圆O的半径长．










26. 如图，点D是以AB为直径的⊙O上一点，过点B作⊙O的切线，交AD的延长线于点C，E是BC的中点，连接DE并延长与AB的延长线交于点F．
(1)求证：DF是⊙O的切线；
(2)若OB=BF，EF=4，求AD的长．










答案和解析
1.【答案】D

【解析】解：∵关于x的方程x2−2x+d=0有实根，
∴根的判别式△=(−2)2−4×d≥0，
解得d≤1，
∴点在圆内或在圆上，
故选：D．
首先根据关于x的方程有实数根求得d的取值范围，然后利用d与半径的大小关系判断点与圆的位置关系．
本题考查了对点与圆的位置关系的判断．设点到圆心的距离为d，则当d=R时，点在圆上；当d>R时，点在圆外；当d
2.【答案】A

【解析】解：∵⊙O与AC相切于点D，
∴AC⊥OD，
∴∠ADO=90°，
∵AD=3OD，
∴tanA=ODAD=33，
∴∠A=30°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD=∠CBD，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠ODB=∠CBD，
∴OD//BC，
∴∠C=∠ADO=90°，
∴∠ABC=60°，BC=12AB=6，AC=3BC=63，
∴∠CBD=30°，
∴CD=33BC=33×6=23；
故选：A．
由切线的性质得出AC⊥OD，求出∠A=30°，证出∠ODB=∠CBD，得出OD//BC，得出∠C=∠ADO=90°，由直角三角形的性质得出∠ABC=60°，BC=12AB=6，AC=3BC=63，得出∠CBD=30°，再由直角三角形的性质即可得出结果．
本题考查的是切线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、锐角三角函数的定义等知识，熟练掌握圆的切线和直角三角形的性质，证出OD//BC是解题的关键．

3.【答案】A

【解析】
【分析】
连接OA、OB，由切线的性质知∠OBM=90°，从而得∠ABO=∠BAO=50°，由内角和定理知∠AOB=80°，根据圆周角定理可得答案．
本题主要考查切线的性质，解题的关键是掌握切线的性质：①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
【解答】
解：如图，连接OA、OB，

∵BM是⊙O的切线，
∴∠OBM=90°，
∵∠MBA=140°，
∴∠ABO=50°，
∵OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO=50°，
∴∠AOB=80°，
∴∠ACB=12∠AOB=40°，
故选：A．  
4.【答案】C

【解析】解：∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，
∴PA=PB，所以①正确；
∵OA=OB，PA=PB，
∴OP垂直平分AB，所以②正确；
∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴点A、B在以OP为直径的圆上，
∴四边形OAPB有外接圆，所以③正确；
∵只有当∠APO=30°时，OP=2OA，此时PM=OM，
∴M不一定为△AOP外接圆的圆心，所以④错误．
故选：C．
利用切线长定理对①进行判断；利用线段的垂直平分线定理的逆定理对②进行判断；利用切线的性质和圆周角定理可对③进行判断；由于只有当∠APO=30°时，OP=2OA，此时PM=OM，则可对④进行判断．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了切线长定理．

5.【答案】B

【解析】解：A、与圆只有一个交点的直线是圆的切线，故本选项错误；
B、到圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线，故本选项正确；
C、经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故本选项错误；
D、经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故本选项错误．
故选：B．
根据切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，可判定C、D错误；由切线的定义：到圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线，可判定A错误，B正确．注意排除法在解选择题中的应用．
此题考查了切线的判定．此题难度不大，注意掌握切线的判定定理与切线的定义是解此题的关键．

6.【答案】D

【解析】
【分析】
本题考查了切线的判定和圆周角定理的应用，主要考查学生的推理能力．根据切线的判定和圆周角定理推出即可．
【解答】
解：A项，因为AB是⊙O的直径，AB⊥EF，所以EF是⊙O的切线;
B项，因为AB是⊙O的直径，所以∠C=90∘，
所以∠FAB=∠C=90∘，所以EF是⊙O的切线;
C项，因为AB是⊙O的直径，所以∠C=90∘，所以∠B+∠BAC=90∘，
因为∠B=∠EAC，所以∠BAC+∠EAC=∠BAE=90∘，
所以EF是⊙O的切线;
D项，添加∠EAC=∠BAC不能证明EF是⊙O的切线．
故选D．  
7.【答案】C

【解析】解：根据切线长定理可得：PA=PB，FA=FE，GE=GB；
所以△PFG的周长=PF+FG+PG，
=PF+FE+EG+PB，
=PF+FA+GB+PG，
=PA+PB=16cm，
故选：C．
由于PA、FG、PB都是⊙O的切线，可根据切线长定理，将△ABC的周长转化为切线长求解．
此题主要考查的是切线长定理，图中提供了许多等量线段，分析图形时关键是要仔细探索，找出图形的各对相等切线长．

8.【答案】C

【解析】解：  ∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，
∴PA=PB，故 ①正确; 
∵OA=OB，PA=PB，
∴OP垂直平分AB，故 ②正确;
∵PA，PB是⊙O 的两条切线，A，B为切点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP=∠OBP= 90∘，
∴点A、B在以OP为直径的圆上，
∴四边形OAPB有外接圆，故 ③正确;
∵只有当∠APO=30∘时，点M到△APO各顶点的距离相等， 
∴M不一定为△AOP外接圆的圆心，故 ④错误．
故选 C．

9.【答案】B

【解析】
【分析】
本题主要考查的是切线的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角的性质、三角形的内角和定理，求得∠ABC=∠OAB′=29°是解题的关键．作直径B′C，交⊙O于B′，连接AB′，则∠AB′C=∠ABC=29°，由等腰三角形的性质和三角形的外角的性质可求得∠DOC=54°，接下来，由切线的性质可证明∠OCD=90°，最后在Rt△OCD中根据两锐角互余可求得∠D的度数．
【解答】
解：如图，作直径B′C，交⊙O于点B′，连接AB′，
则∠AB′C=∠ABC=29∘，
∵OA=OB′，∴∠AB′C=∠OAB′=29∘，
∴∠DOC=∠AB′C+∠OAB′=58∘．
∵CD是⊙O的切线，
∴∠OCD=90∘，∴∠D=90∘−58∘=32∘．
故选B．

  
10.【答案】C

【解析】
【分析】
本题考查了切线长定理，切线的性质，勾股定理.利用切线长定理得到AD=CD，CE=BE，PA=PB，根据切线的性质得到OA⊥PA，即可利用勾股定理得到AP=12，进而得到△PDE的周长．
【解答】
解： ∵PA，PB，DE分别切⊙O于点A，B，C，
∴AD=CD，CE=BE，PA=PB，OA⊥AP．
在Rt△OAP中，根据勾股定理，得AP=OP2−OA2=12，
∴△PDE的周长为PD+PE+DE=AP−AD+PB−BE+DC+CE=AP+BP=2AP=24．
故选C．
  
11.【答案】C

【解析】解：∵PA、PB切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，
∴PA=PB=10，CA=CE，DE=DB，
∴△PCD的周长是PC+CD+PD
=PC+AC+DB+PD
=PA+PB
=10+10
=20．
故选：C．
根据切线长定理得出PA=PB=10，CA=CE，DE=DB，求出△PCD的周长是PC+CD+PD=PA+PB，代入求出即可．
本题考查了切线长定理的应用，关键是求出△PCD的周长=PA+PB．

12.【答案】A

【解析】
【分析】
本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质以及勾股定理的运用，熟记切线的性质定理是解题的关键．
方法1、过点O作OD⊥AC于点D，由已知条件和圆的性质易求OD的长，再根据勾股定理即可求出AD的长，进而可求出AC的长．
方法2、先求出∠AOP=60°，进而求出∠ACP=∠P，即可得出AC=AP，求出AC即可．
【解答】
解：方法1、过点O作OD⊥AC于点D，

∵AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，
∴AB⊥AP，
∴∠BAP=90°，
∵∠P=30°，
∴∠AOP=60°，
∴∠AOC=120°，
∵OA=OC，
∴∠OAD=30°，
∵AB=10，
∴OA=5，
∴OD=12AO=2.5，
∴AD=AO2−OD2=532，
∴AC=2AD=53，
故选A，

方法2、如图，

连接BC，∵AP是⊙O的切线，
∴∠BAP=90°，
∵∠P=30°，
∴∠AOP=60°，
∴∠BOC=60°，
∴∠ACP=∠BAC=12∠BOC=30°=∠P，
∴AP=AC，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，∠BAC=30°，AB=10，
∴AC=53，
故选：A．  
13.【答案】23

【解析】解：连接OQ．
∵PQ是⊙O的切线，
∴OQ⊥PQ；
根据勾股定理知PQ2=OP2−OQ2，
∴当PO⊥AB时，线段PQ最短，
∵在Rt△AOB中，OA=OB=42，
∴AB=2OA=8，
∴OP=OA⋅OBAB=4，
∴PQ=OP2−OQ2=23．
故答案为23．
首先连接OQ，根据勾股定理知PQ2=OP2−OQ2，可得当OP⊥AB时，即线段PQ最短，然后由勾股定理即可求得答案．
本题考查了切线的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意得到当PO⊥AB时，线段PQ最短是关键．

14.【答案】3cm或5cm

【解析】解：∵直线a⊥b，O为直线b上一动点，
∴⊙O与直线a相切时，切点为H，
∴OH=1cm，
当点O在点H的左侧，⊙O与直线a相切时，如图1所示：

OP=PH−OH=4−1=3(cm)；
当点O在点H的右侧，⊙O与直线a相切时，如图2所示：

OP=PH+OH=4+1=5(cm)；
∴⊙O与直线a相切，OP的长为3cm或5cm，
故答案为：3cm或5cm．
当点O在点H的左侧⊙O与直线a相切时，OP=PH−OH；当点O在点H的右侧⊙O与直线a相切时，OP=PH+OH，即可得出结果．
本题考查了切线的性质以及分类讨论；熟练掌握切线的性质是解题的关键．

15.【答案】115°或65∘

【解析】
【分析】
本题主要考查了圆周角定理和切线的性质，能根据切线的性质求出∠CDO的度数是解此题的关键.本题分两种情况，当点E在BD和AD上时，分别连接OD、DE、BE，根据切线的性质求出∠CDO，然后根据外角的性质求出∠DOB，再由圆周角定理即可求出答案．
【解答】
解：当点E在BD上时，如图，连结OD、DE、BE，

∵DC切⊙O于点D，
∴∠CDO=90∘，
∵∠C=40∘，
∴∠DOB=∠C+∠CDO=130∘，
∴DEB的度数是130∘，
∴DAB的度数是360∘−130∘=230∘，
∴∠DEB=12×230∘=115∘；
当点E在AD上时，如图，连结OD、DE、BE，

∵DC切⊙O于点D，
∴∠CDO=90∘，
∵∠C=40∘，
∴∠DOB=∠C+∠CDO=130∘，
∴∠DEB=12∠DOB=12×130°=65°．
  
16.【答案】70°

【解析】解：∵△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，
∴OB平分∠ABC，OD⊥BC，
∴∠OBD=12∠ABC=12×40°=20°，
∴∠BOD=90°−∠OBD=70°．
故答案为70°．
先根据三角形内心的性质和切线的性质得到OB平分∠ABC，OD⊥BC，则∠OBD=12∠ABC=20°，然后利用互余计算∠BOD的度数．
本题考查了三角形角平分线的定义、内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．

17.【答案】16或20

【解析】解：由勾股定理可知：
①当直角三角形的斜边长为16时，这个三角形的外接圆直径为16；
②当两条直角边长分别为16和12，则直角三角形的斜边长=162+122=20，
因此这个三角形的外接圆直径为20．
综上所述：这个三角形的外接圆直径等于16或20．
故答案为：16或20．
分两种情况：①16为斜边长；②16和12为两条直角边长，由勾股定理易求得此直角三角形的斜边长，进而可求得外接圆的直径．
本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长为直径的圆是解题的关键．

18.【答案】解：(1)如图1，连接OC，AC．

∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴CE=DE，AD=AC．
∵DC=AD，
∴DC=AD=AC．
∴△ACD为等边三角形．
∴∠D=∠DCA=∠DAC=60°．
∴∠DCO=12∠DCA=30°
∵FG//DA，
∴∠DCF+∠D=180°．
∴∠DCF=180°−∠D=120°．
∴∠OCF=∠DCF−∠DCO=90°
∴FG⊥OC．
∴FG与⊙O相切
(2)如图2，作EH⊥FG于点H．

∵AF与⊙O相切，
∴AF⊥AG．
又∵DC⊥AG，
可得AF//DC．
又∵FG//DA，
∴四边形AFCD为平行四边形．
∵DC=AD，AD=2，
∴四边形AFCD为菱形．
∴AF=FC=AD=2，∠AFC=∠D=60°．
∴CE=DE=1，
由(1)得∠DCG=60°，
∴EH=CE⋅sin60°=32，CH=CE⋅cos60°=12．
∴FH=CH+CF=12+2=52．
∵在Rt△EFH中，∠EHF=90，
∴EF=EH2+FH2=(32)2+(52)2=7．

【解析】(1)连接OC，AC.易证△ACD为等边三角形，所以∠D=∠DCA=∠DAC=60°，从而可知∠DCO=12∠DCA=30°，由于FG//DA，易知∠OCF=∠DCF−∠DCO=90°，所以FG与⊙O相切．
(2)作EH⊥FG于点H.易证四边形AFCD为平行四边形．因为DC=AD，AD=2，所以四边形AFCD为菱形，由(1)得∠DCG=60°，从而可求出EH、CH的值，从而可知FH的长度，则EF的长可求出．
本题考查圆的综合问题，涉及切线的判定与性质，菱形的判定与性质，等边三角形的性质，考查学生综合运用知识的能力．

19.【答案】(1)解：∵AD是边BC上的中线，
∴BD=CD，
∵CE//AD，
∴AD为△BCE的中位线，
∴CE=2AD=6；
(2)证明：∵CE//AD，
∴∠BAD=∠E，∠CAD=∠ACE，
而∠BAD=∠CAD，
∴∠ACE=∠E，
∴AE=AC，
而AB=AE，
∴AB=AC，
∴△ABC为等腰三角形．
(3)如图，连接BP、BQ、CQ，
在Rt△ABD中，AB=32+42=5，
设⊙P的半径为R，⊙Q的半径为r，
在Rt△PBD中，(R−3)2+42=R2，解得R=256，
∴PD=PA−AD=256−3=76，
∵S△ABQ+S△BCQ+S△ACQ=S△ABC，
∴12⋅r⋅5+12⋅r⋅8+12⋅r⋅5=12⋅3⋅8，解得r=43，
即QD=43，
∴PQ=PD+QD=76+43=52．
答：△ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离为52．

【解析】(1)证明AD为△BCE的中位线得到CE=2AD=6；
(2)通过证明AC=AE得到AB=AC；
(3)如图，连接BP、BQ、CQ，先利用勾股定理计算出AB=5，设⊙P的半径为R，⊙Q的半径为r，在Rt△PBD中利用勾股定理得到(R−3)2+42=R2，解得R=256，则PD=76，再利用面积法求出r=43，即QD=43，然后计算PD+QD即可．
本题考查了三角形内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了等腰三角形的判定与性质和三角形的外接圆．

20.【答案】解：(1)PM与⊙O相切．
理由如下：
连接DO并延长交PM于E，如图，

∵弧BC沿直线BC翻折，使弧BC的中点D恰好与圆心O重合，
∴OC=DC，BO=BD，
∴OC=DC=BO=BD，
∴四边形OBDC为菱形，
∴OD⊥BC，
∴△OCD和△OBD都是等边三角形，
∴∠COD=∠BOD=60°，
∴∠COP=∠EOP=60°，
∵∠MPB=∠ADC，
而∠ADC=∠ABC，
∴∠ABC=∠MPB，
∴PM//BC，
∴OE⊥PM，
∴OE=12OP，
∵PC为⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∴OC=12OP，
∴OE=OC，
而OE⊥PM，
∴PM是⊙O的切线；
(2)在Rt△OPC中，OC=33PC=33×3=1，
∴四边形OCDB的面积=2S△OCD=2×34×12=32．

【解析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了直线与圆的关系、圆周角定理和折叠的性质．
(1)连接DO并延长交PM于E，如图，利用折叠的性质得OC=DC，BO=BD，则可判断四边形OBDC为菱形，所以OD⊥BC，△OCD和△OBD都是等边三角形，从而计算出∠COP=∠EOP=60°，接着证明PM//BC得到OE⊥PM，所以OE=12OP，根据切线的性质得到OC⊥PC，则OC=12OP，从而可判定PM是⊙O的切线；
(2)先在Rt△OPC中计算出OC=1，然后根据等边三角形的面积公式计算四边形OCDB的面积．

21.【答案】(1)证明：∵C是AD的中点，
∴AC=DC，
∴∠ABC=∠CBD，点F是AD的中点，
∵OB=OC，
∴∠ABC=∠C，
∴∠ABC=∠CBD=∠C，
∴∠ABD=∠ABC+CBD=2∠C；
(2)解：连接AC，

∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴AC=AB2−BC2=6，
∵C是AD的中点，
∴OC⊥AD，
∴OA2−OF2=AF2=AC2−CF2，
∴52−OF2=62−(5−OF)2，
∴OF=1.4，
又∵O是AB的中点，F是AD的中点，
∴OF是△ABD的中位线，
∴BD=2OF=2.8．

【解析】(1)由圆周角定理得出∠ABC=∠CBD，由等腰三角形的性质得出∠ABC=∠C，则可得出结论；
(2)连接AC，由勾股定理求出AC=6，得出52−OF2=62−(5−OF)2，求出OF=1.4，则可得出答案．
本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系定理，勾股定理，以及三角形的外接圆与圆心，熟练掌握性质及定理是解决本题的关键．

22.【答案】解：(Ⅰ)连接OA．

∵AE切⊙O于点A，
∴OA⊥AE，
∴∠OAE=90°，
∵∠C=71°，
∴∠AOB=2∠C=2×71°=142°，
又∵∠AOB+∠AOE=180°，
∴∠AOE=38°，
∵∠AOE+∠E=90°，
∴∠E=90°−38°=52°．
(Ⅱ)连接OA，

设∠E=x．
∵AB=AE，
∴∠ABE=∠E=x，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠ABO=x，
∴∠AOE=∠ABO+∠BAO=2x．
∵AE是⊙O的切线，
∴OA⊥AE，即∠OAE=90°，
在△OAE中，∠AOE+∠E=90°，
即2x+x=90°，
解得x=30°，
∴∠E=30°．
在Rt△OAE中，OA=12OE，
∵OA=OD，
∴OA=OD=DE，
∵DE=2，
∴OA=2，即⊙O的半径为2．

【解析】(Ⅰ)连接OA，先由切线的性质得∠OAE的度数，求出∠AOB=2∠C=142°，进而得∠AOE，则可求出答案；
(Ⅱ)连接OA，由等腰三角形的性质求出∠E=30°，根据含30°解的直角三角形的性质求解即可．
本题主要考查了切线的性质，等腰三角形的性质，圆周角的性质，三角形内角和的性质，含30°角的直角三角形的性质，用方程思想解决几何问题，关键是熟悉掌握这些性质．

23.【答案】(1)证明：∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
在Rt△CBA与Rt△DAB中，BC=ADBA=AB，
∴Rt△CBA≌Rt△DAB(HL)；
(2)解：∵BE=BF，由(1)知BC⊥EF，
∴∠E=∠BFE，
∵BE是半圆O所在圆的切线，
∴∠ABE=90°，
∴∠E+∠BAE=90°，
由(1)知∠D=90°，
∴∠DAF+∠AFD=90°，
∵∠AFD=∠BFE，
∴∠AFD=∠E，
∴∠DAF=90°−∠AFD，∠BAF=90°−∠E，
∴∠DAF=∠BAF，
∴AC平分∠DAB．

【解析】本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，正确的识别图形是解题的关键．
(1)根据圆周角定理得到∠ACB=∠ADB=90°，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
(2)根据等腰三角形的性质得到∠E=∠BFE，根据切线的性质得到∠ABE=90°，根据三角形的内角和以及角平分线的定义即可得到结论．

24.【答案】解：(1)如图，过A作AD⊥BC于D
则AD=30，BD=CD=40，
设最大圆半径为r，
则S△ABC=S△ABO+S△BOC+S△AOC，
∴S△ABC=12BC⋅AD=12(AB+BC+CA)r，
解得：r=403；
(2)设覆盖圆的半径为R，圆心为O′，
∵△ABC是等腰三角形，过A作AD⊥BC于D，
∴BD=CD=40，AD=502−402=30，
∴O′在AD直线上，连接O′C，
在Rt△O′DC中，
由R2=402+(R−30)2，
∴R=1253；
若以BD长为半径为40cm，也可以覆盖，
∴最小为40cm．

【解析】(1)由于三角形ABC是等腰三角形，过A作AD⊥BC于D，那么根据勾股定理得到AD=30，又从这块钢板上截得的最大圆就是三角形的内切圆，根据内切圆的圆心的性质知道其圆心在AD上，分别连接AO、BO、CO，然后利用三角形的面积公式即可求解；
(2)由于一个圆完整覆盖这块钢板，那么这个圆是三个三角形的外接圆，设覆盖圆的半径为R，根据垂径定理和勾股定理即可求解．
此题分别考查了三角形的外接圆与外心、内切圆与内心、等腰三角形的性质，综合性比较强，解题的关键是熟练掌握外心与内心的性质与等腰三角形的特殊性．

25.【答案】解：(1)连接OD，如图1，
∵过点D作半圆O的切线DF，交BC于点F，
∴∠ODF=90°，
∴∠ADO+∠BDF=90°，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠OAD+∠BDF=90°，
∵∠C=90°，
∴∠OAD+∠B=90°，
∴∠B=∠BDF，
∴BF=DF；


(2)连接OF，OD，如图2，
设圆的半径为r，则OD=OE=r，
∵AC=4，BC=3，CF=1，
∴OC=4−r，DF=BF=3−1=2，

∵OD2+DF2=OF2=OC2+CF2，
∴r2+22=(4−r)2+12，
∴r=138．
故圆的半径为138．

【解析】(1)连接OD，由切线性质得∠ODF=90°，进而证明∠BDF+∠A=∠A+∠B=90°，得∠B=∠BDF，便可得BF=DF；
(2)设半径为r，连接OD，OF，则OC=4−r，求得DF，再由勾股定理，利用OF为中间变量列出r的方程便可求得结果．
本题主要考查了切线的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，已知切线，往往连接半径为辅助线，第(2)题关键是由勾股定理列出方程．

26.【答案】解：(1)如图，连接OD，BD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=∠BDC=90°，
在Rt△BDC中，∵BE=EC，
∴DE=EC=BE，
∴∠1=∠3，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠3+∠4=90°，
∴∠1+∠4=90°，
又∵∠2=∠4，
∴∠1+∠2=90°，
∴DF为⊙O的切线；
(2)∵OB=BF，
∴OF=2OD，
∴∠F=30°，
∵∠FBE=90°，
∴BE=12EF=2，
∴DE=BE=2，
∴DF=6，
∵∠F=30°，∠ODF=90°，
∴∠FOD=60°，
∵OD=OA，
∴∠A=∠ADO=12∠BOD=30°，
∴∠A=∠F，
∴AD=DF=6．

【解析】(1)连接OD，由AB为⊙O的直径得∠BDC=90°，根据BE=EC知∠1=∠3、由OD=OB知∠2=∠4，根据BC是⊙O的切线得∠3+∠4=90°，即∠1+∠2=90°，得证；
(2)根据直角三角形的性质得到∠F=30°，BE=12EF=2，求得DE=BE=2，得到DF=6，根据三角形的内角和得到OD=OA，求得∠A=∠ADO=12∠BOD=30°，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
本题考查了切线的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．