第15讲 圆的有关性质-讲义2021-2022学年九年级数学人教版上册学案

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第二十四章  《圆》第15讲      圆的有关性质 知识导航1. 与圆有关的概念；到定点的距离等于定长的点在以定点为圆心，定长为半径的圆上；2. 垂径定理及推论；弦、弧、圆心角关系定理；圆周角定理及推论；圆内接四边形性质定理。 【板块一】  半径的运用方法技巧利用半径相等作等量代换或利用半径构造等腰三角形及全等三角形。 ▶题型一  利用半径相等作等量代换 【例1】 如图，MN是半圆O的直径，正方形ABCD和正方形DEFG彼此相邻(点A，D，E在直径MN上，点B，C,F在半圆上，点G在CD上)，若正方形DEFG的面积为9，求⊙O的半径。      【例2】 如图，点P是⊙O外的一点，直线PO交⊙O于A，B两点，点C为⊙O上的任意一点(不与点A，B重合).求证：PA＜PC＜PB.      ▶题型二  连半径，构等腰(构构全等)【例3】 如图，AB是⊙O的直径，AD，BE的延长线交于点C，若∠C＝60°，试探究DE与AB的数量关系.    【例4】 如图，AB，CD是⊙O的两条弦，且交于点P，当四边形OAPC为平行四边形时，求证：AB＝CD.     针对练习11. 如图，点A，D，G，M在半圆上(点O是圆心)，四边形ABOC，DEOF，HMNO均为矩形，设BC＝a，EF＝b，NH＝c，则a，b，c的大小关系为         ．      2. 图，AB为⊙O的一固定直径，它把⊙O分成上下两个半圆，过上半圆上的一点C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P，当点C在半圆上移动时，(不与A，B重合)，点P（    ）．A．C到CD的距离保持不变 B．位置不变C．等分弧AB D．随C点移动而移动    3. 如图，⊙O的弦CD与直径AB的延长线相交于点E，且AB＝2DE，若∠E＝13°，则∠AOC＝         ．    4. 如图，扇形MON的半径为7，∠MON＝60°，点A，B，C分别在OM，ON及弧MN上，且△ABC使等边三角形.若AB⊥ON，求BC的长.         5. 如图，点P是⊙O内的一定点，直线PO交⊙O于A，B两点，点C为⊙O上的任意一点(不与A，B两点重合)，求证：PA＜PC＜PB.  6. 如图，点P是△ABC的边AB的中点，分别以AC，BC为直径作半圆O1,O2,在半圆上分别取点E，F，使∠AO1E＝∠BO2F，求证：PE＝PF.  
【板块二】  回到“圆的定义”中去方法技巧若O是一个定点，且OP＝r，则点P在以O为圆心，r为半径的圆上；共斜边的直角三角形的顶点在同一个圆上.利用半径相等作等量代换或利用半径构造等腰三角形及全等三角形.▶题型一  四点共圆【例1】 如图，点E，F，G，H分别是菱形ABCD的四条边的中点，求证：E，F，G，H四点在同一个圆上.   【例2】 如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝5，BC＝8，CD＝6，AD＝5.(1)求证：A，B，C，D四点在同一个圆上；(2)求(1)中圆的面积.  ▶题型二  求定点到动点的距离的最值(或范围)【例3】 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点D在以1为半径的⊙B上，连接CD，并将CD绕点C顺时针旋转90°，得到对应线段CE，连接BE，求BE的长度的最小值.        【例4】 如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，点M时边AD的中点，点N时边AB上的一动点，将△AMN沿直线MN翻折得到△A’MN，连接A’N，求A’C的最小值.    针对练习21. 下列图形中，四个顶点一定在同一个圆上的是 A．矩形，平行四边形 B．菱形，正方形 C．正方形，直角梯形 D．矩形，正方形2. 在同一个平面上，点P到院上的点的最大距离为10，最小距离为8，则该圆的半径为         ．3. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，点D是BC的中点，点E是边AB上的一动点，把△BDE沿直线DE翻折，得到△FDE，连接AF，求AF的最小值.    4. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D是AC上的一点，且DC＝2，点E是边BC上的一动点，把△CDE沿直线DE翻折，得到△C’DE，求点C’到AB的最小距离.         5. 如图，线段OB＝5，点A在OB上，OA＝2，点P是以2为半径的⊙A上的一动点，连接PB，以PB为边作等边△PBM(P，B，M按逆时针方向排列)，连接AM，求AM的取值范围.     6. 如图，点D时等边△ABC的边BC的中点，BC＝2，点F是一动点，DE⊥DF，且DE＝DF＝，指点AE与CF相交于点M.(1)求证：A，D，C，M在同一个圆上；(2)连接BM，求线段BM的长的最大值和最小值. 
【板块三】  垂直于弦的直径方法技巧(1)过圆心作弦的垂线段(弦心距)，构建垂直定理的应用模型；(2)弦(非直径)的中点与圆心相连，构造垂直关系.▶题型一  过圆心作弦的垂线段(作弦心距)【例1】 如图，在O中，已知直径AB的长为2R，弦CD交AB于点P，当点P在AB上运动时，始终保持∠APC＝45°，问：的值是够变化？若不变，请求其值；若变化，请说明理由.      【例2】 (1)如图1，点P是⊙O内的一点，弦AB⊥OP，垂足为点P，弦CD经过点P，求证：CD＞AB； (2)如图2，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的的圆经过点A(13,0),直线y＝kx－3k＋4与⊙O交于B，C两点，求弦BC的长的最小值.           ▶题型二  连接圆心与弦(非直径)的中点【例3】 (1)如图1，点A时O上的一定点，B是⊙O上的一动点，点M时弦AB的中点，求证：点M在OA为直径的圆上；(2)如图2，点A，B，C都在半径为6的⊙O上，且∠AOC＝120°，点M是弦AB的中点，求CM的长度的最大值.        针对练习31.如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点P，且∠APC＝45°．若PC2＋PD2＝8，⊙O的半径长为_______.  2.如图，已知点B，C在⊙O上，点A在⊙O内，∠CBA＝∠OAB＝60°，AB＝8，BC＝12，则⊙O的半径长为______.   3．在半径为6的⊙O中有一条长为8的弦AB，点P是AB的中点，当弦AB的端点A，B在⊙O上运动一周时，点P运动所形成的图形是____________________.     4．如图，在半径为2的⊙O中，弦AB与弦CD垂直相交于点P连接OP，若CP＝1，求AB2＋CD2的值.    5．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D.(1)求证：AC＝DB；(2)若AC·BC＝7，求圆环的面积S的值.   6．如图正方形ABCD的顶点A，D和正方形EFGH的顶点E，F在以5为半径的⊙O上，点G．H在线段EC上，若正方形ABCD的边长为6，求正方形EGH的边长.    【板块四】圆中角方法技巧圆中的角主要有圆心角、圆周角：圆心角、弧、弦关系定理，圆周角定理及推论等定理的运用都是以“弧”为中介，把圆中的角，圆中不同名称的量联系起来.题型一利用直径构直角，遇直角连直径【例1】如图，在半径为R的⊙O的内接四边形ABCD中，对角线AC⊥BD于点P，求证：AP2＋BP2＋CP2＋DP2为定值.    【例2】如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过A，C两点作⊙O．分别交BC，AB于点D，E，若CD＝1、AC＝3，且E为AB的中点，求BD的长.     题型二利用圆内接四边形转化与有关的角【例3】如图，AB是⊙O的直径，＝， CE⊥DB于点E，求的值.    【例4】如图，⊙O1与⊙O2都经过A，B两点，点P是⊙O1上的一点，直线PA，PB分别与⊙O2交于C，D两点，连接CD，PO，求证：PO1⊥CD.      针对练习41.如图、AB，AC，AD都是⊙O的弦，∠BAC＝60°，∠DAC＝30°，AB＝4，AD＝6，则CD的长为______.    2.如图，△ABC内接于⊙O， AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD，BE相交于点H，若BC＝6，AH＝4，则⊙O的半径长为__________.         3.如图，四边形ABCD是半径为R的⊙O的内接正方形、点P是上的一动点(不与A，D重合)，连接PA，PB，PC，PD.(1)分别求，的值(2)求证：PA2＋PB2＋PC2＋PD2为定值.       4.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，∠ABC＝60°，BA＝BC，经过A，D，C三点的⊙0交BC于点E，连接DE并延长，交AB的廷长线于点F，连接CF，DB.(1)求证：CF＝DB；(2)当AD＝时，求点E到CF的距离.               【板块五】弧的中点方法技巧弧的中点有三种常见的处理方法：①弧的中点与圆心相连，构建垂直关系；②弧的中点与弧所对的弦的端点相连，构建等腰三角形：③弧的中点与圆上的另一点相连，构建内(外)角平分线.题型一   弧的中点与圆心相连，垂直平分弧所对的弦【例1】如图，在⊙O中，AD是直径，CD为弦，点B是的中点，若AB＝8，CD＝12．求AD的长.       题型二   弧的中点与弧所对的弦的端点相连，构建等腰三角形【例2】如图，AB是⊙O的直径，点D是AB的中点，DC是⊙O的弦，AM⊥CD于点M，BN⊥CD于点N，(AM＜BN)(1)求证：CM＝AM＝DN；(2)若⊙O的半径为5，CD＝7，求的值.(3)在(2)的条件下，求ON的长.         题型三弧的中点与圆上另一点相连，构建内（外）角平分线【例3】已知PA，PB是⊙O的弦，弦CD⊥PA于点E．(1)如图1，若点C是劣弧的中点，求证：AE＝PE＋PB(2)如图2，若点C是优弧的中点，试判断线段AE，PE与PB之间存在怎样的数量关系？证明你的结论.             针对练习51.如图，AB是⊙O的，BC是⊙O的直径，点D是的中点，弦CD交AB于点P，若AB＝4，BC＝5，求DP的长．         2.如图，△ABC内接于⊙0，点D是的中点，DE⊥AB于点E，求的值.    3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E是⊙O上的一点，且∠BAC＝2∠ECA(1)求证：＝；(2)连接BE，AE，若AD＝6，CE＝4，求△ABE的面积.    4.如图，四边形AECD内接于⊙O，∠ABD＝∠CAD＝45°，BD＝7，设点B关于CD的对称为E，连接AE，若BC＝8，求AE的长.