初中数学9上《圆》第1节 垂直于弦的直径导学案

《圆》第一节 垂直于弦的直径导学案1

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学习目标：

【知识与技能】

1理解圆的轴对称性，掌握垂径定理及其他结论

2学会运用垂径定理及其推论解决一些有关证明、计算和作图问题

3了解拱高、弦心距等概念

【过程与方法】

经历探索发现圆的对称性，证明垂径定理及其他结论的过程，锻炼思维品质，学习证明的方法

【情感、态度与价值观】

在学生通过观察、操作、变换、探究出图形的性质后，还要求对发现的性质进行证明，培养学生的

新意识，良好的运用数学

【重点】

垂径定理及其推论

【难点】

垂径定理及其推论

学习过程:

一、自主学习

（一）复习巩固

  判断：

1、直径是弦，弦是直径。       （     ） 2、半圆是弧，弧是半圆。       （     ）

3、周长相等的两个圆是等圆。   （     ） 4、长度相等的两条弧是等弧。   （     ）

5、同一条弦所对的两条弧是等弧。（     ） 6、在同圆中，优弧一定比劣弧长。（     ）

7、请在图上画出弦CD，直径AB.并说明___________________________叫做弦；

_________________________________                         叫做直径.

8、在图上画出弧、半圆、优弧与劣弧并填出概念及表示方法.弧：___                   _              

半圆：_________________________   优弧：________________  _    表示方法：__             

劣弧：______________________________       _,表示方法：______                   

9、同心圆: __________________      _   _等圆: __________________________   _.         

10、同圆或等圆的半径_______.等弧: _______________________                                

（二）自主探究

请同学按下面要求完成下题：

如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M．

（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？

圆是      对称图形，其对称轴是任意一条过        的直线．     

（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？

   相等的线段：                                

相等的弧：                                  

 这样，我们就得到垂径定理：

垂直于        的直径平分弦，并且平分弦所对的两条          ．

表达式：                                                        

下面我们用逻辑思维给它证明一下：

    已知：直径CD、弦AB且CD⊥AB垂足为M

    求证：AM=BM，弧AC=BC，弧AD=BD.

    分析：要证AM=BM，只要证AM、BM构成的两个三角形全等．因此，只要连结OA、OB或AC、BC即可．

证明：如图，连结OA、OB，则OA=OB

在Rt△OAM和Rt△OBM中

    ∴Rt△OAM≌Rt△OBM(          )

    ∴AM=      

    ∴点        和点     关于CD对称

    ∵⊙O关于CD对称

    ∴当圆沿着直线CD对折时，点A与点B重合，弧AC与BC重合，AD与CD重合．

∴               ，              ，             

    进一步，我们还可以得到结论：

平分弦（         ）的直径垂直于      ，并且平分弦所对的两条       ．

表达式：                                                             

（三）、归纳总结：

   1．圆是        图形，任何一条        所在直线都是它的对称轴．

2．垂径定理                                                                   

推论                                                             ．

（四）自我尝试：

1、辨析题：下列各图，能否得到AE=BE的结论？为什么？

2、赵州桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m，你能求出赵州桥的主桥拱的半径吗？

注：在半径r,弦a，弦心距d,拱高h四个量中，任意知道其中的        个量中，

利用             定理，就可以求出其余的量。

3、如图，两圆都以点O为圆心，求证AC=BD

二、教师点拔

1、圆是轴对称图形，经过圆心的         都是它的对称轴。由此可得出垂径定理：垂直于弦的直径     弦，并且     弦所对的两条弧。平分弦（不是直径）的直径     于弦，并且      弦所对的两条弧。如果具备垂径定理五个条件中的任何两个，那么也就具备其他三个及其推论，可以概括如下，对于一个圆和一条直线来说，如果一条直线具备① 经过圆心，② 垂直于弦， ③平分弦（不是直径），④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧，五个条件中的任何两个，那么也就具备了其他三个。在圆的有关计算和证明中，常作圆心到    的垂线段，这样不仅为利用垂径定理创造条件，而且为构造直角三角形利用勾股定理，沟通已知与未知量之间的关系创造条件。

 2、本节学习的数学方法是数形结合和转化思想。

三、课堂检测

1、如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。

2、如图，在⊙O中，AB，AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形。

四、课外训练

1．P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为________；最长弦长为_______．

2．如图5，OE、OF分别为⊙O的弦AB、CD的弦心距，如果OE=OF，那么_______（只需写一个正确的结论）

           (5)                                   （6）

3．如图6，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，则弦CD长         

4.如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中CD，点O是CD弧所在圆的圆心，其中CD=300m，E为CD弧上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=45m，求这段弯路的半径．

5.AB和CD分别是⊙O上的两条弦，圆心O到它们的距离分别是OM和ON，如果AB＞CD，OM和ON的大小有什么关系？为什么？