人教版九年级上册24.1 圆的有关性质综合与测试教案

这是一份人教版九年级上册24.1 圆的有关性质综合与测试教案，共10页。
第一节：圆的概念和性质
知识结构导图

高频核心考点
知识点一：圆的概念
1、定义：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中，定点为圆心，定长为半径。
2、确定圆的条件；圆心和半径
①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；②不在同一条直线上的三点确定一个圆
3、相关概念：
（1）同心圆：圆心相等、半径不同的两个圆。
（2）等圆：半径相同、圆心不同的两个圆。
4、圆的对称性：圆既是轴对称图形（经过圆心的任一条直线都是对称轴），又是中心对称图形（圆心是对称中心）。
5、圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．
6、圆周角：顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点的角叫做圆周角．
7、弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧；大于半圆的弧称为优弧；小于半圆的弧称为劣弧；在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
8、弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。
例题1、已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于E，若AB=2DE，∠E=18°， 则∠C= ，∠AOC= ．

知识巩固：
（1）如图，若∠A=40°，则∠ABO= ，∠C= ， ∠ABC= 。
（2）下列语句中，不正确的个数是 ()
①弦是直径；②半圆是弧；③长度相等的弧是等弧；④经过圆内一点可以作无数条直径.
A.1 B.2 C.3 D.4
知识点二：垂径定理（重点）
1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
2、推论：
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
（4）圆的两条平行线所夹的弧相等
总结：经过圆心的直线，垂直圆的一条弦或平分圆的一条弦或弧，那么这条直线垂直平分这条弦且平分弦所对的两条弧。
例2、如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，连接OC，若OC=5，CD=8，则AE的长度为（ ）
A. 2 B. 1 C. 3 D. 4
知识巩固：
（1）如图，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，那么弦AB的长是（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
（2）如图所示,弦 CD 垂直于⊙O 的直径 AB，垂足为 E,且 CD=，BD=,则 AB 的长为

知识点三：圆周角定理
圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心 角的一半
推论:
（1）同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等
（2）同圆或等圆中，两个圆心角之比等于圆心角所对的弧长之比
（3）半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径
3、圆的内接多边形概念：如果多边形所有的顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做内接多边形，这个圆叫做多边形的外接圆
4、圆内接四边形的性质:圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角
5、圆内接平行四边形是矩形，圆内接菱形是正方形，圆内接梯形是等腰梯形
例4、如图,在⊙O中,AB是直径,CD是弦,AB⊥CD.
（1）P是 弧CAD 上一点(不与C、D重合),试判断∠CPD与∠COB的大小关系？并说明理由.
（2）点P′在 弧CD上(不与C、D重合),∠CP′D与∠COB有什么数量关系？证明你的结论
例5、如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=90∘，AD=10，CD=5，则⊙O的半径长为

知识巩固:
（1）如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB,∠CAB=20°，则∠AOD等于
（2）如图，若 AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ABD=55°，则∠BCD 的度数为（ ）
A.35° B.45° C.55° D.75°
（3）如图,ABCD 在同一个圆上,四边形 ABCD 的两条对角线把四个内角分成 8 个角中,相等角共有（ ）
A.2 对 B.3 对 C.4 对 D.5 对
（4）如图，P为正三角形ABC外接圆上一点，则∠APB=( )
A: 150∘ B: 135∘ C: 115∘ D: 120∘
知识点四：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距相等
推论：
（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角、所对的弦也分别相等 。
（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角、所对的弧也分别相等。
综上所述，同圆或等圆中，两个圆心角、两个圆周角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等，就可以推出它们所对应的其余各组量也相等。
例3、如图，OA、OB是⊙O的两条半径，P是弧AB的中点，点C是OA的中点，点D是OB的中点.求证：PC＝PD
知识巩固:
(1)已知 AB 是⊙O 的直径,C、D 是弧 BE 上的三等分点,∠AOE=60°,则∠COE 是（ ）
A.40 B.60° C.80° D.120°
（2）下列命题中正确的命题有( )个
(1)等弧所对的圆周角相等．
(2)过圆心与弦所对一条弧的中点的直线必垂直于这条弦
(3)同弦所对的圆周角相等
(4)相等的圆心角所对的弧相等．
A: 3 B: 2 C: 1 D: 0
方法技巧提炼
1、注意等角的使用（包括等弦、等弧、等弦心距的运用） 分析：特别要分析图中相等的角的关系，看图中有没有相等有弦、相等的弧、相等的弦心距等，还要注意有没有垂径定理的情况。通过分析找出图中相等的角，为以后寻找相似埋下伏笔。
2、注意圆心角与圆周角的使用 分析：对于圆心角和圆周角的2倍关系，一定要特别注意。已知圆心角度数就要寻找相应的圆周角的度数；反之，已知圆周角的度数也要寻找相应的圆心角的度数。
3、注意一些特殊角度的运用 分析：图中一些特殊角度特别要引起注意，常见的如15°、30°、45°、60°、120°、150°等。这些角度都可以和直角组成特殊的直角三角形，从而解决问题。
4、直径对直角的运用 分析：一般直径常连接90°的圆周角，使图中出现直角三角形，便于思考。特别是配合一些特殊角度（30°、45°、60°）使用，能使计算更为便捷。
5、垂径定理的运用 分析：对于直径上作垂线（或高），特别要注意垂径定理的运用。这样就会出现相等的弧，也会产生相等的弦，进而出现相等的角。
出门考：
日期：_______ 姓名：
1.下列说法中，正确的有( )
①同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等；②同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等；③等弧所对的圆周角相等；④圆心角等于2倍的圆周角．
A:1个 B:2个 C:3个 D:4个
2.如图，A，B，C是上的三个点，若，则( )
A: B: C: D:
3..如图，内接于，于D，，则的度数是( )
．
A: B: C: D:
4.AB是的直径，C是上一点，，则的度数为________
5、如图，A、B、C是的圆周上三点，若，则是的_____倍．
课后作业
1、在同圆中同弦所对的圆周角( )
A:相等 B:互补 C:相等或互补 D:互余
2、如图，CD为的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，若的度数是，则的度数是( )．
A: B: C: D:
3、如图，点A、B、C在上，，，则 )
A: B: C: D:
5.如图，平行四边形内接于，则( )
A: B: C: D:
6、如图，若，且，则________．
7、如图，AB是的直径，点C在上，动点P在弦BC上，则的度数范围是________．
8、如图，AB，CD是的两条弦，延长AB，CD交于点P，连接AD，BC交于点，，求与的度数．
9、如图，AB是的直径，D是上一点，C是的中点，AD，BC相交于E，，F为垂足，CF交AD于G，求证：．
10、如图，四边形内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC．
(1)若∠CBD=39°，求∠BAD的度数；
(2)求证：．