人教A版 (2019)必修 第二册7.3* 复数的三角表示达标测试

7.3  复数的三角表示（精练）

【题组一 复数的三角表示】

1．（2020·全国高一课时练习）将复数化成代数形式，正确的是（    ）

A．4 B．-4 C． D．

【答案】D

【解析】故选：D.

2．（2020·全国高一课时练习）画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式：

（1）6；       （2）1+i；    （3）；      （4）；

【答案】（1）,画向量见解析  （2）,画向量见解析   （3）,画向量见解析   （4）,画向量见解析

【解析】（1）6对应的向量如答图中，

，又，

.

（2）对应的向量如答图中，

，

又.

（3）对应的向量如答图中

，

又，.

（4）对应的向量如答图中，

，又，.

3．（2020·全国高一课时练习）下列复数是不是三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式.

（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）.

【答案】（4）是三角形式；（1）（2）（3）（5）不是三角形式. （1）；（2）（3）；（5）.

【解析】（1）中间是“-“号，不是三角形式. ；

（2）括号前面是负数，不是三角形式，

（3）括号内前面是正弦，后面是余弦，不是三角形式，；

（4）是三角形式．

（5）括号内前后两个角不相等，不是三角形式，

4．（2020·全国高一课时练习）把下列复数表示成代数形式：

（1）；

（2）；

（3）

（4）.

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.

【解析】（1）原式；

（2）原式；

（3）原式；

（4）原式.

5．（2020·全国高一课时练习）将下列各复数转化为三角形式（辐角取辐角主值）：

（1）；

（2）20；

（3）.

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】解：（1）∵，，，

又，∴，

∴；

（2）∵，，，

又，∴，

∴；

（3）∵，，，

又，∴，

∴．

6．（2020·全国高一课时练习）将下列各复数转化为三角形式（辐角取辐角主值）：

（1）-5i；

（2）-10；

（3）；

（4）.

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．

【解析】（1）∵，，

又，∴，∴；

（2）∵，，，

又，∴，∴；

（3）∵，，，

又，∴，∴；

（4）∵，，，

又，∴，∴．

7．（2020·全国高一课时练习）把下列复数表示成三角形式，并且画出与它们对应的向量：

（1）4；

（2）；

（3）；

（4）.

【答案】（1）；作图见解析（2）；作图见解析（3）；作图见解析（4）;作图见解析

【解析】（1）；

（2）；

（3）；

（4）.

分别对应向量，如图所示.

【题组二 复数的辅角】

1．（2020·全国高一课时练习）下列各角不是复数的辐角的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】∵，，，

∴辐角主值，故可以作为复数的辐角的是，.

∴当时，；

当时，；

当时，；

故选：C．

2．（2020·全国高一课时练习）复数的辐角主值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】∵，

，，

∴辐角主值，

故选：D．

3．（2020·全国高一课时练习）复数的辐角主值是（    ）

A． B．  C． D．

【答案】B

【解析】由辐角主值的定义，知复数的辐角主值是.故选：B.

4．（2020·大连市普兰店区第一中学高一月考）复数，则_______ .

【答案】

【解析】

复数在复平面内，对应点的坐标为，点在轴上，所以，故答案为：.

【题组三 复数的乘、除运算的三角表示及及其几何意义】

1．（2020·全国高一课时练习）（    ）

A．1 B．-1 C． D．

【答案】C

【解析】

故选：C.

2．（2020·全国高一课时练习）（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

故选：D.

3．（2020·全国高一课时练习）（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

故选：C.

4．（2020·全国高一课时练习）（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

.

故选：B.

5．（2020·全国高一课时练习）计算：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）.

【答案】（1）；  （2）；  （3）；  （4）.

【解析】（1）原式

（2）原式

；

（3）原式 ；

（4）原式 .

6．（2020·全国高一课时练习）计算：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）.

【答案】（1）（2）（3）（4）

【解析】（1）

；

（2）

；

（3）

；

（4）

.

另解

（4）题还可以这样解：

原式

.

7．（2020·全国高一课时练习）计算：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）.

【答案】（1）（2）（3）（4）

【解析】（1）

；

（2）

；

（3）

；

（4）

.

另解

第（3）题还可以这样解：

原式

.

第（4）题还可以这样解：

原式

.

【题组四 综合运用】

1．（多选）（2020·山东济南市·高一期末）任何一个复数（其中、，为虚数单位）都可以表示成：的形式，通常称之为复数的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（    ）

A．

B．当，时，

C．当，时，

D．当，时，若为偶数，则复数为纯虚数

【答案】AC

【解析】对于A选项，，则，可得，，A选项正确；

对于B选项，当，时，，B选项错误；

对于C选项，当，时，，则，C选项正确；

对于D选项，，

取，则为偶数，则不是纯虚数，D选项错误.
故选：AC.

2．（2020·全国高一）1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，有下列四个结论：①；②；③；④.其中所有正确结论的编号是（    ）

A．①②③ B．②④ C．①② D．①③

【答案】A

【解析】因为，故，故①正确.

，

所以，，故③正确，④错误.

而.

故②正确，

故选：A．

3．（2020·河南郑州市·高二期末（文））欧拉公式把自然对数的底数，虚数单位，三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥”.若复数，则（    ）.

A． B．1 C． D．

【答案】C

【解析】由题意得，，

所以，

故选：C

4．（2020·全国高一课时练习）把复数与对应的向量，分别按逆时针方向旋转和后，与向量重合且模相等，已知，求复数的代数式和它的辐角主值.

【答案】,

【解析】由复数乘法的几何意义得,

又

的辐角主值为

5．（2020·全国高一课时练习）已知，将按逆时针方向旋转得到，则Z点对应的复数为________.

【答案】

【解析】由题意得，P点对应的复数为，

由复数乘法的几何意义得：

，

故填.

故答案为：.

6．（2020·全国高一课时练习）若复数满足，则的代数形式是_____________.

【答案】

【解析】设，则，

∴，∴，解得.

故答案为：.

7.（2020·江苏省丰县中学高二期中）一般的，复数都可以表示为的形式，这也叫做复数的三角表示，17世纪的法国数学家棣莫弗结合复数的三角表示发现并证明了这样一个关系：如果，，那么，这也称为棣莫弗定理.结合以上定理计算：______.（结果表示为，的形式）

【答案】

【解析】．

故答案为：．