高中数学7.3* 复数的三角表示课堂检测

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1 .复数的辐角
以x轴的正半轴为始边、向量OZ所在的射线为终边的角，叫做复数z=a+bi的辐角。
适合于 0≤θ<2π的辐角θ的值，叫辐角的主值。记作：argz,即 0≤arg z<2π.
2.复数的三角表达式
一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(csθ+isinθ)的形式．其中，r是复数的模；θ是复数z＝a＋bi的辐角．r(csθ+isinθ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．为了与三角形式区分开来a+bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式．
注意：复数三角形式的特点
模非负，角相同，余弦前，加号连
3、两个用三角形式表示的复数相等的充要条件：
两个非零复数相等当且仅当它们模与辐角的主值分别相等．
4、复数三角形式的乘法及其几何意义
设的三角形式分别是：
简记为 ：模数相乘，幅角相加
几何意义：把复数对应的向量绕原点逆时针旋转的一个辐角，长度乘以的模，所得向量对应的复数就是．
5、复数三角形式的除法及其几何意义
设的三角形式分别是：
简记为 ：模数相除，幅角相减
几何意义：把复数对应的向量绕原点顺时针旋转的一个辐角，长度除以的模，所得向量对应的复数就是．
【典型例题】
题型一 复数的三角形式
例1．（2021·全国·高一课时练习）下列各式中已表示成三角形式的复数是（ ）.
A．B．
C．D．
例2．（2021·全国·高一课时练习）已知的三角形式为，则的三角形式是（ ）.
A．B．
C．D．
例3．（2021·全国·高一课时练习）复数的三角形式是（ ）
A．B．
C．D．
题型二 复数的代数形式表示成三角形式
例4．（2021·全国·高一课时练习）复数的三角形式是______．
例5．（2021·全国·）复数的三角形式是______．
例6．（2022·全国·）将复数z=-2+2i化成三角形式是_____.
题型三 把复数表示成代数形式
例7．（2021·全国·高一课时练习）求复数的模与辐角．
例8．（2021·全国·高一课时练习）设复数，那么的共轭复数的代数形式是______．
题型四 复数的三角形式乘法运算
例9．（2021·江苏省丹阳高级中学高一阶段练习）已知复数z1＝，z2＝，则z1z2的代数形式是（ ）
A．B．
C．－iD．＋i
例10．（2021·上海·高一课时练习）______（用代数形式表示）.
例11．（2021·全国·高一课时练习）计算：
（1）
（2）
题型五 复数的三角形式除法运算
例12．（2021·全国·高一课时练习）计算：
（1）
（2）
例13．（2021·全国·高一课时练习）计算:4(cs 80°+isin 80°)÷[2(cs 320°+isin 320°)].
题型六 复数的三角形式乘、除运算的几何意义
例14．（2021·重庆八中高三阶段练习）在复平面上，一个正方形的四个顶点按逆时针方向依次为，，，(其中是原点)，已知对应复数.则和对应的复数的乘积___________.
例15．（2021·福建省漳州第一中学高一期末）如果向量对应复数绕原点按顺时针方向旋转后再把模变为原来的倍得到向量，则对应的复数是___________.
例16．（2021·全国·高一课时练习）在复平面内，把与复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转，求与所得的向量对应的复数（用代数形式表示）．
例17．（2021·福建福州·高一期中）如图，向量对应的复数为，把绕点O按逆时针方向旋转，得到，求向量对应的复数（用代数形式表示）.

【同步练习】
一、单选题
1．（2021·全国·高一课时练习）设，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·全国·高二课时练习）复数的辐角主值是（ ）
A．－40°B．310°C．50°D．130°
3．（2021·吉林·长春外国语学校高二期末（理））若复数，则（ ）
A．B．
C．D．
4．（2020·河北正中实验中学高三阶段练习）棣莫弗定理：若两个复数，，则，已知，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5．（2021·全国·高三阶段练习）欧拉公式是指以欧拉命名的诸多公式，有拓扑学中的欧拉多面体公式、初等数论中的欧拉数论公式等其中最著名的是复变函数中的欧拉幅角公式——把复数、指数函数与三角函数联系起来（，自然对数的底数，虚数单位）．若复数满足，则的虚部为（ ）
A．B．
C．D．
6．（2021·福建省漳州第一中学高一期中）若（为虚数单位），则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
7．（2021·福建安溪·高三期中）任意复数（、，为虚数单位）都可以写成的形式，其中该形式为复数的三角形式，其中称为复数的辐角主值.若复数，则的辐角主值为（ ）
A．B．C．D．
8．（2021·广东惠州·高一期中）已知，则（ ）
A．B．C．D．
9．（2021·吉林·长春十一高高一阶段练习）任何一个复数 (其中为虚数单位)都可以表示成：的形式，通常称之为复数z的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法中正确的个数是（ ）
（1）
（2）当时，
（3）当时，
（4）当时，若n为偶数，则复数为纯虚数
A．1B．2C．3D．4
二、多选题
10．（2021·湖南·高二期末）著名的欧拉公式为：，其中，为自然对数的底数，它使用了几个基本的数学常数描述了实数集和复数集的联系．其广义一般式是，该复数在复平面内对应的向量坐标为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若复数满足，则
C．若复数与复数在复平面内表示的向量相互垂直，则
D．复数与复数在复平面内表示的向量相互垂直
11．（2021·全国·高一课时练习）是著名的欧拉公式，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系.若，，恒成立且，则表示的复数不可能位于复平面中的（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
12．（2021·江苏仪征·高一期中）瑞士数学家欧拉是史上最伟大的数学家之一，他发现了被人们称为“世界上最完美的公式”——欧拉公式：（其中是虚数单位，是自然对数的底数），它也满足实数范围内指数的运算性质，下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．若复数的虚部为，，则的实部为
D．已知，，复数，在复平面内对应的点分别为，，则三角形面积的最大值为
13．（2021·江苏·南京市第二十九中学高一期末）欧拉公式（其中是虚数单位，）是由瑞典著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天骄，依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ）
A．复数对应的点位于第一象限B．复数的模长等于
C．为纯虚数D．
三、填空题
14．（2021·全国·高一课时练习）在复平面上，A、B表示复数、对应的点，若，则______．
15．（2021·全国·高一课时练习）计算：．
16．（2021·全国·高一课时练习）÷()=_____.
17．（2022·上海·复旦附中高二期末）已知复数､满足，若和的幅角之差为，则___________.
四、解答题
18．（2021·全国·高一课时练习）若复数的辐角主值是，求实数a的值．
19．（2021·全国·高一课时练习）计算：．
20．（2021·全国·高一课时练习）已知，，其中，且，，求的值．
21．（2021·全国·高一课时练习）求证：
（1）
（2）
22．（2021·全国·高一课时练习）已知复数．
（1）求及；
（2）当复数z满足，求的最大值．
23．（2021·全国·高一课时练习）（1）计算：；
（2）若复数z满足，，求复数的三角形式.
（3）利用复数证明余弦定理.
24．（2021·全国·高一课时练习）在复数范围内，验证，，1，2，…，为方程的n个根，并给出几何解释．
25．（2021·全国·高一课时练习）设．
（1）求证：
（2）求证：
（3）在复数范围内，解方程