高中数学第七章 复数本章综合与测试练习题

第七章  知识总结及测试

一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，8题共40分）

1．（2020·全国高一课时练习）已知复数z对应的向量为（O为坐标原点），与实轴正方向的夹角为，且复数z的模为2，则复数z为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】设复数在复平面内对应的点的坐标为，根据题意可画图形如图所示，

，且与x轴正方向的夹角为，，，

即点Z的坐标为或.或.

故选：D

2．（2020·全国高一课时练习）已知i是虚数单位，复数的虚部是（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】C

【解析】由复数的概念知，复数的虚部是，故选：C.

3．（2020·全国高一课时练习）.已知，对应的复数为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题可知，故对应的复数为，则，故选：D.

4．（2020·全国高一课时练习）已知为实数，若复数为纯虚数，则复数的虚部为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由已知，解得，故，其虚部为，

故选：D.

5．（2020·全国高一课时练习）设是虚数单位，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设,

可得：，

则，

，

可得：，

可得：，

故选：B.

6．（2020·全国专题））若z=1+i，则|z2–2z|=（    ）

A．0 B．1 C． D．2

【答案】D

【解析】由题意可得：，则.

故.故选：D.

7．（2020·全国高一课时练习）复数(其中，为虚数单位)，若复数的共轭复数的虚部为，则复数在复平面内对应的点位于(   )

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【解析】由题意得，

∴，又复数的共轭复数的虚部为，

∴，解得.

∴，∴复数在复平面内对应的点位于第一象限. 故选A.

8．（2020·全国高一课时练习）计算1+i+i2+i3+…+i89的值为（    ）

A．1 B．i C．﹣i D．1+i

【答案】D

【解析】由等比数列的求和公式可得：1+i+i2+i3+…+i89，

而i90＝i88•i2＝i2＝﹣1，故1+i+i2+i3+…+i891+i，

故选：D.

二、多选题（每题不止一个选项为正确答案，每题5分，共4题20分）

9．（2020·全国高一课时练习）若复数满足（其中是虚数单位），复数的共轭复数为，则（    ）

A． B．的实部是

C．的虚部是 D．复数在复平面内对应的点在第一象限

【答案】ABD

【解析】，

，

，故选项正确，

的实部是，故选项正确，

的虚部是，故选项错误，

复数在复平面内对应的点为，在第一象限，故选项正确.

故选：.

10．（2020·全国高三专题练习）设i为虚数单位，复数，则下列命题正确的是（    ）

A．若为纯虚数，则实数a的值为2

B．若在复平面内对应的点在第三象限，则实数a的取值范围是

C．实数是（为的共轭复数）的充要条件

D．若，则实数a的值为2

【答案】ACD

【解析】

∴选项A：为纯虚数，有可得，故正确

选项B：在复平面内对应的点在第三象限，有解得，故错误

选项C：时，；时，即，它们互为充要条件，故正确

选项D：时，有，即，故正确

故选：ACD

11．（2020·山东枣庄市·滕州市第一中学新校高二开学考试）下面关于复数的四个命题中，结论正确的是（    ）

A．若复数，则 B．若复数满足，则

C．若复数满足，则 D．若复数，满足，则

【答案】AC

【解析】A选项，设复数，则，因为，所以，因此，即A正确；

B选项，设复数，则，

因为，所，若，则；故B错；

C选项，设复数，则，

因为，所以，即，所以；故C正确；

D选项，设复数，，

则，

因为，所以，若，能满足，但，故D错误.

故选：AC.

12．（2020·全国高一课时练习）下列关于复数的说法，其中正确的是（    ）

A．复数是实数的充要条件是

B．复数是纯虚数的充要条件是

C．若，互为共轭复数，则是实数

D．若，互为共轭复数，则在复平面内它们所对应的点关于轴对称

【答案】AC

【解析】对于：复数是实数的充要条件是，显然成立，故正确；

对于：若复数是纯虚数则且，故错误；

对于：若，互为共轭复数，设，则，所以是实数，故正确；

对于：若，互为共轭复数，设，则，所对应的坐标分别为，，这两点关于轴对称，故错误；

故选：AC

三、填空题（每题5分，4题共20分）

13．（2020·全国高一课时练习）已知复数，那么_____________.

【答案】

【解析】，，故.

故答案为：.

14．（2020·上海浦东新区）已知、，为虚数单位，且，则____________．

【答案】2

【解析】

故答案为：2

15．（2020·全国高一课时练习）已知i为虚数单位，复数z满足，则z的共轭复数为_____________.

【答案】i

【解析】由，得，则.故答案为：i.

16．（2020·全国高一课时练习）如果向量对应复数，绕点按逆时针方向旋转后再把模变为原来的倍得到向量，那么与对应的复数是_____________（用代数形式表示）.

【答案】

【解析】.

所求复数为.

故答案为：.

四、解答题（第17题10分，其余每题12分，共70分）

17．（2020·全国高一课时练习）已知复数（i为虚数单位），试求实数m分别取什么值时，z分别为：

（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】（1）由，得，当时，z是实数；

（2）由，得且，当时，z是虚数；

（3）由题意得，.即，解得.当时，z是纯虚数.

18．（2020·全国高一课时练习）实数取什么值时,复数

(1)与复数相等 

 (2) 与复数互为共轭复数 

 (3)对应的点在轴上方.

【答案】（1）m＝－1

（2）m＝1

（3）m<－3或m>5.

【解析】(1)根据复数相等的充要条件得

解得m＝－1.

(2)根据共轭复数的定义得

解得m＝1.

(3)根据复数z的对应点在x轴的上方可得m2－2m－15>0，解得m<－3或m>5.

19．（2020·全国高一课时练习）已知i是虚数单位，O为坐标原点，向量对应的复数为，将向量向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，将得到的向量记为，分别写出：

（1）向量对应的复数；

（2）点对应的复数；

（3）向量对应的复数.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】如图所示，O为原点，点A的坐标为，向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度后，点的坐标为，点的坐标为，坐标平移不改变的方向和模，

（1）向量对应的复数为；

（2）点对应的复数为；

（3）向量对应的复数为.

20．（2020·全国高一课时练习）已知复数（i为虚数单位）.

（1）求及；

（2）当复数z满足时，求的最大值与最小值.

【答案】（1），；（2）最大值为，最小值为.

【解析】复数.

（1），.

（2）设复数，，，

它表示复数z对应的点到的距离为1，构成的图形是圆心为，半径为1的圆，画出图形，如图所示，

所对应的点为，则圆心P到点A的距离为.

因为表示圆P上的点到点A的距离，所以的最大值为，最小值为.

21．（2020·全国高一课时练习）已知复数，（），且.

（1）若且，求的值；

（2）设；

①求的最小正周期和单调递减区间；

②已知当时，，试求的值.

【答案】（1），；（2）①周期，单调减区间，；②

【解析】由于，所以，故.

（1）当时，，则，由于所以，所以或，所以或.

（2）由于，故.

①函数的最小正周期为.由，解得，所以函数的单调递减区间为，.

②依题意，所以.所以.

22．（2020·全国高一课时练习）在复平面内，平行四边形的顶点，，，对应复数分别为，，．

（1）求，及，；

（2）设，求．

【答案】（1），；，；（2）.

【解析】（1）因为

所以所对应的复数

所以，

因为

所以所对应的复数

所以，

（2）由题

因为，

所以，

，

所以