2021学年8.2.2 两角和与差的正弦、正切学案设计

8.2.2 两角和与差的正弦、正切

【学习重点】

两角和与差的正弦、正切公式的推导、逆用、变形及其应用

【学习难点】

两角和与差的正弦、正切公式的应用

问题1：两角和与差的正弦

根据两角和与差的余弦公式可推出两角和与差的正弦公式：

Sα＋β：sin(α＋β)＝                                         

Sα－β：sin(α－β)＝                                         

证明：由诱导公式以及两角和与差的余弦公式可知：

=                                         

而且：

=                                         

例如,

=                                         

=                                         

【对点快练】

1．sin 75°＝____________.

2．若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin＝____________.

例1.(1)sin 21°cos 39°＋cos 21°sin 39°等于(　　)

A．　　　 B．　　　

C．　　　 D．1

 (2)已知＜α＜，0＜β＜，cos＝－，sin＝，求sin(α＋β)的值．

【变式练习】

已知α∈，β∈且sin(α＋β)＝，cos β＝－，求sin α.

例2.已知向量，如图所示，将向量绕原点沿逆时针方向旋转到的位置，求点的坐标。

例3.求证：

例4.在求函数的最小值时，下面的说法正确吗？

“因为的最小值为-1，的最小值为-1，所以的最小值为-2“

如果不对，指出原因，并求的周期，最小值和最小值点.

由例4可以看出，当都是不为零的常数时，为了求出函数

的周期、最值等，关键是要将函数化为的形式，也就是说，要找到合适的和，使得   ①   恒成立。

如果①式恒成立，则将①式的右边用展开可得

因此，从而可知

，

因此，如果取 则有

                      （2）

由（2）式和任意角的余弦、正弦的定义可知，若记平面直角坐标系中坐标为的点为P，而是以射线OP为终边的角，如图所示，则一定满足（2）式。

这就是说，满足（1）式的和一定存在，因此

，其中满足（2）式。

例5.已知函数，求的周期，最小值及最小值点。

【变式练习1】

将下列各式写成Asin(ωx＋φ)的形式：

(1)sin x－cos x；

(2)sin＋cos.

【变式练习2】

sin＝，则cos x＋cos的值为(　　)

A．－　　 B．　　　

C．－　　 D．

问题2：两角和与差的正切

一般地，可以证明如下地两角和与差地正切公式：

其中的取值应使各项有意义。

事实上，因为

==                                         

==                              

【对点快练】

1．若tan α＝3，tan β＝，则tan(α－β)等于(　　)

A．　　　 B．－　　

C．3　　　 D．－3

2．tan 75°＝____________.

例6.求下列各式的值。

（1） ；    （2） ；   （3）

【变式练习1】

已知sin α＝，α是第二象限的角，且tan(α＋β)＝－，则tan β的值为(　　)

A．－　　 B．　　　

C．－　　 D．

【变式练习2】

若α＋β＝，则(1－tan α)(1－tan β)等于(　　)

A．1　　　 B．－1　　

C．2　　　 D．－2

例7. 已知函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x.

(1)求f(x)的最大值，以及取得最大值时x的取值集合；

(2)求f(x)的单调递增区间．

【变式练习1】　本例中，若加条件“x∈”，再求函数f(x)的最小值．

【变式练习2】函数f(x)＝sin x－cos的值域为(　　)

A．[－2,2]　　 B．[－， ]　　

C．[－1,1]　　 D．