数学必修 第二册第六章 平面向量及其应用本章综合与测试优秀达标测试

这是一份数学必修 第二册第六章 平面向量及其应用本章综合与测试优秀达标测试，共144页。
 　 　6.1 平面向量的概念　　　6.1.1 向量的实际背景与概念6．1.2 向量的几何表示6．1.3 相等向量与共线向量 新课程标准新学法解读1.通过对力、速度、位移等物理量的分析，了解平面向量的实际背景．2.理解平面向量的几何表示和基本要素．3.了解平面向量共线和向量相等的含义.1.向量是一个既有大小又有方向的量，方向和大小是向量的两个要素，这一点必须注意．2.在向量的表示法中，字母表示向量要注意书写规范，等长且同向的有向线段表示同一个向量．3.注意向量共线与线段共线的不同. 1．有下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤路程；⑥功．其中，不是向量的个数是(　　)A．1　　　　　　　　　　 B．2C．3  D．4解析：选C　质量、路程、功只有大小，没有方向不是向量，而速度、力、加速度均是既有大小又有方向的物理量．故选C.2．已知向量a如图所示，下列说法不正确的是(　　)A．也可以用表示B．方向是由M指向NC．起点是MD．终点是M解析：选D　由向量的几何表示知，A、B、C正确，D不正确．故选D. 3.下列说法正确的个数为(　　)①零向量没有方向；②向量的模一定是正数；③与非零向量a共线的单位向量是唯一的．A．0  B．1C．2  D．3解析：选A　①错误．零向量有方向，它的方向是任意的；②错误．|0|＝0；③错误．与非零向量a共线的单位向量有两个，一个与a同向，一个与a反向．故选A.4．设O为△ABC外接圆的圆心，则，，是(　　)A．相等向量  B．平行向量C．模相等的向量  D．起点相同的向量解析：选C　根据圆的性质可知，，是模相等的向量．故选C.5．已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m＝________.解析：因为A，B，C三点不共线，所以与不共线，又因为m∥且m∥，所以m＝0.答案：01．对向量概念的认识向量是既有大小又有方向的一种量，因此，在学习时要注意思维方式的改变，既要考虑数量的大小，又要考虑方向的影响．2．关注两个“特殊”向量定义中的零向量和单位向量都是只限制大小，没有确定方向．我们规定零向量的方向是任意的；单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同．4．对相等向量与共线向量的理解(1)理解平行向量的概念时，需注意平行向量和平行直线是有区别的，平行直线不包括重合的情况，而平行向量是可以重合的．(2)共线向量就是平行向量，其中“共线”的含义不是平面几何中“共线”的含义．实际上，共线向量(平行向量)有以下四种情况：方向相同且模相等；方向相同且模不等；方向相反且模相等；方向相反且模不等．这样，也就找到了共线向量与相等向量的关系，即共线向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共线向量．(3)向量相等具有传递性，即a＝b，b＝c，则a＝c. 而向量的平行不具有传递性，若a∥b，b∥c，未必有a∥c. 因为零向量平行于任意向量．向量的有关概念 [例1]　下列说法中正确的有(　　)①单位向量的长度大于零向量的长度；②零向量与任一单位向量平行；③因为平行向量也叫作共线向量，所以平行向量所在的直线也一定共线；④因为相等向量的相等关系具有传递性，所以平行向量的平行关系也具有传递性；⑤因为相等向量一定是平行向量，所以平行向量也一定是相等向量．A．①②　　　　　　 B．①②④C．①③⑤  D．①②③[解析]　 ①正确，因为单位向量的长度为1，零向量的长度为0.②正确．③错误，平行向量所在的直线可能不共线．④错误，平行向量的平行关系不具有传递性．⑤错误，平行向量不一定是相等向量．[答案]　A解决与向量概念有关问题的方法解决与向量概念有关题目的关键是突出向量的核心——方向和长度，如：共线向量的核心是方向相同或相反，长度没有限制；相等向量的核心是方向相同且长度相等；单位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度；零向量的核心是方向没有限制，长度是0；规定零向量与任一向量平行．只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题．　　　　  [变式训练]下列说法正确的是(　　)A．若a与b平行，b与c平行，则a与c一定平行B．共线向量一定在同一直线上C．若|a|>|b|，则a>bD．单位向量的长度为1解析：选D　A中，因为零向量与任意向量平行，若b＝0，则a与c不一定平行．B中，共线向量不一定在同一直线上．C中，向量是既有大小，又有方向的量，不可以比较大小．显然D正确．故选D.向量的表示 [例2]　 (1)如图，B，C是线段AD的三等分点，分别以图中各点为起点和终点，可以写出________个向量．(2)在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：①，使||＝4，点A在点O北偏东45°；②，使||＝4，点B在点A正东；③，使||＝6，点C在点B北偏东30°.[解析]　 (1)由向量的几何表示可知，可以写出12个向量，它们分别是，，，，，，，，，，，.(2)①由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又||＝4，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量如图所示．②由于点B在点A正东方向处，且||＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量如图所示．③由于点C在点B北偏东30°处，且||＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为3≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向量如图所示．[答案]　(1)12　(2)图见解析向量的两种表示方法(1)几何表示法：先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的长度确定向量的终点．(2)字母表示法：为了便于运算可用字母a，b，c表示，为了联系平面几何中的图形性质，可用表示向量的有向线段的起点与终点表示向量，如，，等．　　　　 [变式训练]在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.(1)试以B为起点画一个向量b，使b＝a；(2)在图中画一个以A为起点的向量c，使|c|＝，并说出向量c的终点的轨迹是什么．解：(1)根据相等向量的定义，所作向量与向量a平行，且长度相等．如图中的b即为所作向量． (2)由平面几何知识可知所有这样的向量c的终点的轨迹是以A为圆心，半径为的圆(作图略).相等向量与共线向量 [例3]　如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且＝a，＝b，＝c.(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？(2)与a共线的向量有哪些？(3)请一一列出与a，b，c相等的向量．[解]　(1)与a的长度相等、方向相反的向量有，，，.(2)与a共线的向量有，，，，，，，，.(3)与a相等的向量有，，；与b相等的向量有，，；与c相等的向量有，，.寻找共线向量或相等向量的方法(1)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．(2)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是与已知向量方向相同的向量．　　　　 [变式训练]1．[变设问]本例条件不变，试写出与向量相等的向量．解：与向量相等的向量有，，.2．[变条件，变设问]在本例中，若|a|＝1，则正六边形的边长如何？解：由正六边形性质知，△FOA为等边三角形，所以边长AF＝|a|＝1.A级——学考合格性考试达标练1．下列说法中正确的个数是(　　)①身高是一个向量；②∠AOB的两条边都是向量；③温度含零上和零下温度，所以温度是向量；④物理学中的加速度是向量．A．0　　　　　　　　　 B．1C．2  D．3解析：选B　身高只有大小，没有方向，故①不是向量，同理③不是向量；对②，∠AOB的两条边只有方向，没有大小，不是向量；④是向量．故选B.2．下列说法正确的是(　　)A．若|a|＝|b|，则a＝±bB．零向量的长度是0C．长度相等的向量叫相等向量D．共线向量是在同一条直线上的向量解析：选B　对A，当|a|＝|b|时，由于a，b方向是任意的，a＝±b未必成立，所以A错误；对B，零向量的长度是0，正确；对C，长度相等的向量方向不一定相同，故C错误；对D，共线向量不一定在同一条直线上，故D错误．故选B.3．汽车以120 km/h的速度向西走了2 h，摩托车以45 km/h的速度向东北方向走了2 h，则下列命题中正确的是(　　)A．汽车的速度大于摩托车的速度B．汽车的位移大于摩托车的位移C．汽车走的路程大于摩托车走的路程D．以上都不对解析：选C　速度和位移是向量，由向量不能比较大小可知A、B错；汽车走的路程为240 km，摩托车走的路程为90 km，故C正确．故选C.4.如图，在矩形ABCD中，可以用同一条有向线段表示的向量是(　　)A.和   B.和C.和   D.和解析：选B　和方向相同且长度相等，是相等向量，故可以用同一条有向线段表示．故选B.5．若||＝||且 ＝，则四边形ABCD的形状为(　　)A．平行四边形  B．矩形C．菱形  D．等腰梯形解析：选C　∵＝，∴四边形ABCD为平行四边形．又∵||＝||，∴平行四边形ABCD相邻两边相等，故四边形ABCD为菱形．故选C.6．下列叙述：(1)单位向量都相等；(2)若一个向量的模为0，则该向量的方向不确定；(3)共线的向量，若起点不同，则终点一定不同；(4)方向不同的两个向量一定不平行．其中正确的有________．(填所有正确的序号)解析：(1)错误．单位向量模都相等，但是方向不一定相同．(2)正确．若一个向量的模为0，则该向量是零向量，其方向不确定，是任意的．(3)错误．共线的向量，若起点不同，但终点有可能相同．(4)错误．方向相反的两个向量一定平行．答案：(2)7．若a为任一非零向量，b为单位向量，下列各式：(1)|a|＞|b|；(2)a∥b；(3)|a|＞0；(4)|b|＝±1；(5)若a0是与a同向的单位向量，则a0＝b.其中正确的是________．(填序号)解析：对(1)，不一定有|a|＞|b|；对(2)，a与b方向不一定相同或相反；对(3)，非零向量的模必大于0，即|a|＞0；对(4)，向量的模非负；对(5)，a0与b方向不一定相同．综上可知(3)正确．答案：(3)8．已知||＝1，||＝2，若∠ABC＝90°，则||＝________.解析：由勾股定理可知，BC＝＝，所以||＝.答案：9.如图是4×3的矩形(每个小方格的边长都是1)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，与向量平行且模为的向量共有几个？与向量方向相同且模为3的向量共有几个？解：(1)依题意，每个小方格的两条对角线中，有一条对角线对应的向量及其相反向量都和平行且模为.因为共有12个小方格，所以满足条件的向量共有24个．(2)易知与向量方向相同且模为3的向量共有2个．10．已知四边形ABCD中，＝且||＝||，tan D＝，判断四边形ABCD的形状．解：∵在四边形ABCD中，＝，∴四边形ABCD是平行四边形．∵tan D＝，∴B＝D＝60°.又||＝||，∴△ABC是等边三角形．∴AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形．B级——面向全国卷高考高分练 1．已知在平面内点O固定，且||＝2，则A点构成的图形是(　　)A．一个点  B．一条直线C．一个圆  D．不能确定解析：选C　由于||＝2，所以A点构成一个以O为圆心，半径为2的圆．故选C.2．已知D为平行四边形ABPC两条对角线的交点，则的值为(　　)A.  B.C．1  D．2解析：选C　因为四边形ABPC是平行四边形，D为对角线BC与AP的交点，所以D为PA的中点，所以的值为1.故选C.3．[多选]如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝120°，则以下说法正确的是(　　)A．与相等的向量只有一个(不含)B．与的模相等的向量有9个(不含)C.的模恰好为的模的倍D.与不共线  解析：选ABC　与相等的向量只有，A正确；由已知条件可得||＝||＝||＝||＝||＝||＝||＝||＝||＝||，B正确；如图，过点B作DA的垂线交DA的延长线于E，因为∠DAB＝120°，四边形ABCD为菱形，所以∠BDE＝∠ABE＝30°，在Rt△BED中，||＝，在Rt△AEB中，||＝||＝||，所以||＝＝||，C正确；与方向相同，大小相等，故＝，与共线，D错误．故选A、B、C.4．给出下列命题：①若|a|＝0，则 a＝0；②若|a|＝|b|，则a＝b；③若a∥b，则|a|＝|b|.其中，正确的命题有(　　)A．0个  B．1个C．2个  D．3个解析：选A　①忽略了0与0的区别，a＝0；②混淆了两个向量的模相等和与两个向量相等的概念，|a|＝|b|只能说明它们的长度相等，它们的方向并不确定；③两个向量平行，可以得出它们的方向相同或相反，未必得到它们的模相等．故选A.5．四边形ABCD满足＝，且||＝||，则四边形ABCD是________(填四边形ABCD的形状)．解析：∵＝，∴AD∥BC且||＝||，∴四边形ABCD是平行四边形．又||＝||知该平行四边形对角线相等，故四边形ABCD是矩形．答案：矩形6.如图所示，每个小正方形的边长都是1，在其中标出了6个向量，在这6个向量中：(1)有两个向量的模相等，这两个向量是________，它们的模都等于________．(2)存在着共线向量，这些共线的向量是________，它们的模的和等于________．解析：结合图形可知，(1)||＝||＝.(2)与共线，||＝2，||＝3，故||＋||＝5.答案：(1)，　　(2)，　57.如图，D，E，F分别是正三角形ABC各边的中点．(1)写出图中所示与向量长度相等的向量；(2)写出图中所示与向量相等的向量；(3)分别写出图中所示向量与向量，共线的向量．解：(1)与长度相等的向量是，，，，，，，.(2)与相等的向量是，.(3)与共线的向量是，，；与共线的向量是，，.C级——拓展探索性题目应用练在直角坐标系中画出下列向量，使它们的起点都是原点O，并求终点的坐标．(1)|a|＝2，a的方向与x轴正方向的夹角为60°，与y轴正方向的夹角为30°；(2)|a|＝4，a的方向与x轴正方向的夹角为30°，与y轴正方向的夹角为120°；(3)|a|＝4，a的方向与x轴正方向、y轴正方向的夹角都是135°.解：如图所示．6．2 平面向量的运算6．2.1 向量的加法运算新课程标准新学法解读借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加法运算，理解其几何意义.向量的加法运算可类比实数的加法运算，以位移合成、力的合成两个物理模型为背景引入来理解. 1．在△ABC中，＝a，＝b，则a＋b等于(　　)A.　　　　　　　　　　　B.C.  D.解析：选D　＋＝.故选D.2．下列等式中不正确的是(　　)A．a＋0＝a  B．a＋b＝b＋aC．|a＋b|＝|a|＋|b|   D.＝＋＋解析：选C　当a与b方向不同时，|a＋b|≠|a|＋|b|.故选C.3．已知正方形ABCD的边长等于1，则|＋＋＋|等于(　　)A．1  B．2C．3  D.解析：选B　原式＝2||＝2.故选B.4.＋＋＝________.解析：＋＋＝＋＝.答案：5．在矩形ABCD中，＋＝________.解析：根据向量加法的平行四边形法则知，＋＝.答案： 1．对向量加法的三角形法则的两点说明(1)适用范围：任意向量．(2)注意事项：①两个向量一定首尾相连；②和向量的始点是第一个向量的始点，终点是第二个向量的终点；③当多个向量相加时，可以使用三角形法则．2．对向量加法的平行四边形法则的三点说明(1)适用范围：任意两个非零向量，且不共线．(2)注意事项：①两个非零向量一定要有相同的始点；②平行四边形中的一个对角线所对应的向量为和向量；③方法与步骤：第一步：先把两个已知向量a与b的始点平移到同一点；第二步：以这两个已知向量为邻边作平行四边形．3．向量加法交换律的运用向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行．求作向量的和 [例1]　(1)如图①，利用向量加法的三角形法则作出a＋b；(2)如图②，利用向量加法的平行四边形法则作出a＋b.[解]　(1)如图a所示，设＝a，∵a与b有公共点A，故过A点作＝b，连接即为a＋b.(2)如图b，设＝a，过O点作＝b，则以OA，OB为邻边作▱OACB，连接OC，则＝＋＝a＋b.应用三角形法则和平行四边形法则应注意的问题(1)三角形法则可以推广到n个向量求和，作图时要求“首尾相连”，即n个首尾相连的向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第n个向量的终点的向量．(2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和，作图时要求两个向量的起点重合．(3)求作三个或三个以上的向量的和时，用三角形法则更简单．　　　　     [变式训练]如图所示，已知向量a，b，c不共线，作向量a＋b＋c.解：法一(三角形法则)：如图(1)，在平面内作＝a，＝b，则＝a＋b；再作＝c，则＝a＋b＋c.法二(平行四边形法则)：如图(2)，在平面内作＝a，＝b，以OA与OB为邻边作平行四边形OADB，则＝a＋b；再作＝c，以OD与OC为邻边作平行四边形ODEC，则＝a＋b＋c.向量加法及运算律的应用 [例2]　化简：(1)(＋)＋(＋)；(2)＋＋＋＋.[解]　 (1)法一：(＋)＋(＋)＝(＋)＋(＋)＝＋＝.法二：(＋)＋(＋)＝＋(＋＋)＝＋0＝.(2)＋＋＋＋＝(＋)＋(＋＋)＝＋＝0.向量加法运算的几个注意点(1)解决该类题目要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母排列顺序，特别注意勿将0写成0.(2)运用多边形法则进行向量加法求和时，在图中表示“首尾相接”时，其和向量是从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点．　　　　 [变式训练] 1．在平行四边形ABCD中，＋＋等于(　　)A.　　　　　　　　　　　B.C.  D.解析：选D　原式＝＋＋＝.故选D.2.如图，在正六边形ABCDEF中，O是其中心．则：①＋＝________；②＋＋＝________；③＋＋＝________.解析：①＋＝＋＝.②＋＋＝＋＝＋＝.③＋＋＝＋＋＝.答案：①　②　③ 向量加法的实际应用 [例3]　一架执行任务的飞机从A地按北偏西30°的方向飞行300 km后到达B地，然后向C地飞行，已知C地在A地东偏北30°的方向处，且A，C两地相距300 km，求飞机从B地到C地飞行的方向及B，C间的距离．[解]　如图所示，＝＋，∠BAC＝90°，||＝||＝300 km，所以||＝300 km.又因为∠ABC＝45°，且A地在B地的东偏南60°的方向处，可知C地在B地的东偏南15°的方向处．故飞机从B地向C地飞行的方向是东偏南15°，B，C两地间的距离为300 km.利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤　　　　  [变式训练]1．若a表示“向东走8 km”，b表示“向北走8 km”，则|a＋b|＝________，a＋b的方向是________．解析：如图所示，设＝a，＝b，则＝a＋b，且△ABC为等腰直角三角形，则||＝8 km，∠BAC＝45°.答案：8 km　北偏东45°2．某人在静水中游泳，速度为4 km/h. 如要他向垂直于河对岸的方向游向河对岸，水的流速为4 km/h，他实际沿________方向前进，速度为________．解析：∵OB＝4，OA＝4，∴OC＝8，∴∠COA＝60°.即他实际沿与水流方向成60°的方向前进，速度为8 km/h.答案：与水流方向成60°的(答案不唯一)　8 km/hA级——学考合格性考试达标练1．在四边形ABCD中，＋＝，则四边形ABCD是(　　)A．梯形　　　　　　　　 B．矩形C．正方形  D．平行四边形解析：选D　由平行四边形法则可得，四边形ABCD是以AB，AD为邻边的平行四边形．故选D.2．已知a，b，c是非零向量，则(a＋c)＋b，b＋(a＋c)，b＋(c＋a)，c＋(a＋b)，c＋(b＋a)中，与向量a＋b＋c相等的向量的个数为(　　)A．5  B．4C．3  D．2解析：选A　向量加法满足交换律，所以五个向量均等于a＋b＋c.故选A.3．向量(＋)＋(＋)＋＝(　　)A.  B.C.  D.解析：选C　(＋)＋(＋)＋＝(＋)＋(＋)＋＝＋＋＝(＋)＋＝＋＝.故选C.4.如图，正六边形ABCDEF中，＋＋＝(　　)A．0  B.C.  D.解析：选B　连接BE，取BE中点O，连接OF，BF.∵＝，则＋＋＝(＋)＋＝.故选B.5．已知向量a∥b，且|a|>|b|>0，则向量a＋b的方向(　　)A．与向量a的方向相同B．与向量a的方向相反C．与向量b的方向相同D．不确定解析：选A　若a和b方向相同，则它们的和的方向应该与a(或b)的方向相同；若它们的方向相反，而a的模大于b的模，则它们的和的方向与a的方向相同．故选A.6.如图所示，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，则＋＋＝________.解析：＋＋＝＋＋＝.答案：7．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，||＝1，则|＋|＝______.解析：如图，|＋|＝||，在Rt△AOB中，AB＝1，∠OAB＝30°，AC＝2AO＝2AB·cos 30°＝.答案：8．若|a|＝|b|＝2，则|a＋b|的取值范围为________，当|a＋b|取得最大值时，向量a·b的方向________．解析：由||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|知0≤|a＋b|≤4，当|a＋b|取得最大值时，向量a，b的方向相同．答案：[0,4]　相同9.如图所示，求：(1)a＋d；(2)c＋b；(3)e＋c＋b；(4)c＋f＋b.解：(1)a＋d＝d＋a＝＋＝；(2)c＋b＝＋＝；(3)e＋c＋b＝e＋(c＋b)＝e＋＝＋＝；(4)c＋f＋b＝＋＋＝.10.如图，点D，E，F分别为△ABC的三边AB，BC，CA的中点．求证：(1)＋＝＋；(2)＋＋＝0.证明：(1)由向量加法的三角形法则，∵＋＝，＋＝，∴＋＝＋.(2)由向量加法的平行四边形法则，∵＝＋，＝＋，＝＋，∴＋＋＝＋＋＋＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋)＝0＋0＋0＝0.B级——面向全国卷高考高分练1．如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝(　　)A.  B.C.  D.解析：选C　＋＝.故选C.2．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足＋＝，则下列结论中正确的是(　　)A．P在△ABC的内部B．P在△ABC的边AB上C．P在AB边所在的直线上D．P在△ABC的外部解析：选D　＋＝，根据平行四边形法则，如图，则点P在△ABC外．故选D.3．若在△ABC中，＝a，＝b，且|a|＝|b|＝1，|a＋b|＝，则△ABC的形状是(　　)A．正三角形  B．锐角三角形C．斜三角形  D．等腰直角三角形解析：选D　由于＝|a|＝1，||＝|b|＝1，||＝|a＋b|＝，所以△ABC为等腰直角三角形．故选D.4．已知||＝10，||＝7，则||的取值范围是(　　)A．[3,17]  B．(3,17) C．(3,10)  D．[3,10]解析：选A　利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的性质及与共线时的情况求解．即||－||≤||≤||＋||，故3≤||≤17.故选A.5．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，向量||＝1，则|＋|＝________.解析： 在△ABD中，AD＝AB＝1，∠DAB＝60°，△ABC是等边三角形，则BD＝1，则|＋|＝||＝1.答案：16.如图，已知电线AO与天花板的夹角为60°，电线AO所受拉力|F1|＝24 N. 绳BO与墙壁垂直，所受拉力|F2|＝12 N，则F1与F2的合力大小为_______，方向为_______.     解析：以，为邻边作平行四边形BOAC，则F1＋F2＝F，即＋＝，则∠OAC＝60°，||＝24，||＝||＝12，∴∠ACO＝90°，∴||＝12.∴F1与F2的合力大小为12 N，方向为竖直向上．答案：12 N　竖直向上7.如图所示，∠AOB＝∠BOC＝120°，||＝||＝||，求＋＋.解：如图所示，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB，由向量加法的平行四边形法则知＋＝.由||＝||，∠AOB＝120°，知∠BOD＝60°，||＝||.又∠COB＝120°，且||＝||.∴＋＝0，故＋＋＝0.C级——拓展探索性题目应用练如图，已知向量a，b，c，d.(1)求作a＋b＋c＋d.(2)设|a|＝2，e为单位向量，试探索|a＋e|的最大值．解：(1)在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，＝d，则＝a＋b＋c＋d.(2)在平面内任取一点O，作＝a，＝e，则a＋e＝＋＝，因为e为单位向量，所以点B在以A为圆心的单位圆上(如图所示)，由图可知当点B在点B1时，即O，A，B1三点共线时，|a＋e|最大，最大值是3.6．2.2 向量的减法运算新课程标准新学法解读借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量减法运算，理解其几何意义.向量的减法运算是通过类比实数的减法运算来引入的，可依物理上力的分解为背景来理解把握. 1．下列等式：①0－a＝－a；②－(－a)＝a；③a＋(－a)＝0；④a－0＝a；⑤a－b＝a＋(－b)；⑥a＋(－a)＝0.正确的个数是(　　)A．3　　　　　　　　　 B．4C．5  D．6解析：选C　根据向量的加减运算易知①②③④⑤均正确．⑥错误．故选C.2．在△ABC中，若＝a，＝b，则＝(　　)A．a  B．a＋bC．b－a  D．a－b解析：选D　 ＝－＝a－b. 故选D.3．化简－＋所得的结果是(　　)A.  B.C．0  D.解析：选C　－＋＝＋＝0.故选C.4．在平行四边形ABCD中，－＋＝(　　)A.  B.C.  D.解析：选A　在平行四边形ABCD中，＝，所以－＋＝－＋＝＋－＝－＝.故选A.5．在四边形ABCD中，若＝，且|＋|＝|－|，则四边形ABCD的形状是(　　)A．平行四边形  B．矩形C．菱形  D．正方形解析：选B　如图，∵＝，∴四边形ABCD为平行四边形．∴＋＝，－＝.由已知|＋|＝|－|.∴||＝||.又∵对角线相等的平行四边形为矩形．故选B.1．对于相反向量的两点说明(1)相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面进行定义，相反向量必为平行向量．(2)避免一个误区：即将相反向量等同于方向相反的向量，而是方向相反且模相等的向量．2．对向量减法的三点说明(1)向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，－＝，就可以把减法转化为加法. (2)两个向量作差的前提是将两个向量移到共同的起点．(3)向量减法满足三角形法则. 在用三角形法则作向量减法时，要注意“共起点，连终点，指向被减”．解题时要结合图形，准确判断，防止混淆．向量的减法运算 [例1]　化简：(1)－－；(2)(－)－(－)．[解]　(1)法一：－－＝－＝.法二：－－＝－(＋)＝－＝.法三：－－＝＋(＋)＝＋(＋)＝＋＝＋＝.(2)法一：(－)－(－)＝－－＋＝＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝0.法二：(－)－(－)＝－－＋＝(－)－(－)－(－)＋(－)＝－－＋－＋＋－＝0.法三：(－)－(－)＝－－＋＝(－)＋(－)＝＋＝0.1．向量减法运算的常用方法2．向量加减法化简的两种形式(1)首尾相连且为和；(2)起点相同且为差．做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用．　　　　      [变式训练]化简：(1)－－＋＋；(2)(＋＋)－(－－)．解：(1)－－＋＋＝＋＋＋＋＝＋＝.(2)(＋＋)－(－－)＝＋＋－＋＋＝(＋)＋(－)＋(＋)＝＋＋0＝0.向量减法及其几何意义 [例2]　如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.[解]　法一：如图①所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c.法二：如图②所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，连接OC，则＝a＋b－c.求作两个向量的差向量的两种思路(1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可．(2)也可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．　　　　  [变式训练] 如图所示，O为△ABC内一点，＝a，＝b，＝c，求作：(1)向量b＋c－a；(2)向量a－b－c.解：(1)以，为邻边作▱OBDC，如图，连接OD，AD，则＝＋＝b＋c，＝－＝b＋c－a.(2)由a－b－c＝a－(b＋c)，如图，作▱OBEC，连接OE，则＝＋＝b＋c，连接AE，则＝a－(b＋c)＝a－b－c.用已知向量表示其他向量      [例3]　如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形内一点，且＝a，＝b，＝c，试用向量a，b，c表示向量，，.[解]　因为四边形ACDE是平行四边形，所以＝＝c，＝－＝b－a，故＝＋＝b－a＋c.利用已知向量表示其他向量的一个关键及三点注意(1)一个关键一个关键是确定已知向量与被表示向量的转化渠道．(2)三点注意①注意相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形三向量之间的关系；②注意应用向量加法、减法的几何意义以及它们的运算律；③注意在封闭图形中利用多边形法则．　　　　 [变式训练]1．[变设问]本例条件不变，试用向量a，b，c表示与.解：＝－＝c－a，＝－＝c－b.2．[变条件]本例中的条件“点B是该平行四边形ACDE内一点”若换为“点B是该平行四边形ACDE外一点”，其他条件不变，其结论又如何呢？解：因为四边形ACDE是平行四边形，所以＝＝c，＝－＝b－a，＝＋＝b－a＋c. A级——学考合格性考试达标练 1．设b是a的相反向量，则下列说法错误的是(　　)A．a与b的长度必相等　 B．a∥bC．a与b一定不相等  D．a是b的相反向量解析：选C　根据相反向量的定义可知，C错误，因为0与0互为相反向量，但0与0相等．故选C.2.如图，＋－等于(　　)A.  B.C.  D.解析：选B　＋－＝－＋＝＋＝.故选B.3．[多选]下列结果为零向量的是(　　)A.－(＋)  B.－＋－C.－＋  D.＋＋－解析：选BCD　A项，－(＋)＝－＝2；B项，－＋－＝＋＝0；C项，－＋＝＋＝0；D项，＋＋－＝＋＝0.故选B、C、D.4．已知O是平面上一点，＝a，＝b，＝c，＝d，且四边形ABCD为平行四边形，则(　　)A．a＋b＋c＋d＝0  B．a－b＋c－d＝0C．a＋b－c－d＝0  D．a－b－c＋d＝0解析：选B　易知－＝，－＝，而在平行四边形ABCD中有＝，所以－＝－，即b－a＝c－d，也即a－b＋c－d＝0.故选B.5．边长为1的正三角形ABC中，|－|的值为(　　)A．1  B．2C.  D.     解析：选D　如图延长AB到D.使AB＝BD.∴＝∴|－|＝|－|＝||因△ABC为边长为1的正三角形．∴∠ABC＝60°，∴∠D＝∠BCD＝30°，∴△ABD为直角三角形，∴||＝ ＝，∴|－|＝.故选D.6．下列四个等式：①a＋b＝b＋a；②－(－a)＝a；③＋＋＝0；④a＋(－a)＝0.其中正确的是______(填序号)．解析：由向量的运算律及相反向量的性质可知①②④是正确的，③符合向量的加法法则，也是正确的．答案：①②③④7.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于O点，则－－＋＋＝________.解析：由题图知－－＋＋＝－＋＝.答案：8．若a，b为相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________.解析：若a，b为相反向量，则a＋b＝0，∴|a＋b|＝0，又a＝－b，∴|a|＝|－b|＝1，∵a与b共线，∴|a－b|＝2.答案：0　29．已知菱形ABCD的边长为2，求向量－＋的模．解：如图，∵－＋＝＋＋＝，∴|－＋|＝||＝2.10．如图，已知向量a和向量b，用三角形法则作出a－b＋a.解：作法：作向量＝a，向量＝b，则向量＝a－b.如图所示；作向量＝a，则＝a－b＋a. B级——面向全国卷高考高分练1.在如图所示的四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则＝(　　)A．a－b＋cB．b－(a＋c)C．a＋b＋cD．b－a＋c解析：选A　＝－＋＋＝－b＋a＋c＝a－b＋c.故选A.2．在平面上有A，B，C三点，设m＝＋，n＝－，若m与n的长度恰好相等，则有(　　)A．A，B，C三点必在一条直线上B．△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角C．△ABC必为直角三角形且∠B为直角D．△ABC必为等腰直角三角形解析：选C　以，为邻边作平行四边形，则m＝＋＝，n＝－＝－＝，由m，n的长度相等可知，两对角线相等，因此平行四边形一定是矩形．故选C.3．已知向量|a|＝2，|b|＝4，且a，b不是方向相反的向量，则|a－b|的取值范围是(　　)A．(2,6)  B．[2,6)C．(2,6]  D．[2,6]解析：选B　由已知必有||a|－|b||≤|a－b|＜|a|＋|b|，则所求的取值范围是[2, 6)．故选B.4．若O是△ABC内一点，＋＋＝0，则O是△ABC的(　　)A．内心  B．外心C．重心  D．垂心解析：选C　如图，以，为邻边作平行四边形OBDC，则＝＋. 又＋＋＝0，∴＋＝－，∴＝－，∴A，O，D三点共线．设OD与BC的交点为E，则E是BC的中点，∴AE是△ABC的中线．同理可证BO，CO都在△ABC的中线上，∴O是△ABC的重心．故选C.5.如图，在△ABC中，若D是边BC的中点，E是边AB上一点，则－＋＝________.解析：－＋＝＋＋＝＋，因为＋＝0，所以－＋＝0.答案：06．设平面向量a1，a2，a3满足a1－a2＋a3＝0，如果平面向量b1，b2，b3满足|bi|＝2|ai|，且ai顺时针旋转30°后与bi同向，其中i＝1,2,3，则b1－b2＋b3＝________.解析：将ai顺时针旋转30°后得ai′，则a1′－a2′＋a3′＝0.又∵bi与ai′同向，且|bi|＝2|ai|，∴b1－b2＋b3＝0.答案：07.如图，在▱ABCD中，＝a，＝b.(1)当a，b满足什么条件时，a＋b与a－b所在的直线互相垂直？(2)a＋b与a－b有可能为相等向量吗？为什么？解：(1)＝＋＝a＋b，＝－＝a－b.若a＋b与a－b所在的直线互相垂直，则AC⊥BD.因为当|a|＝|b|时，四边形ABCD为菱形，此时AC⊥BD，故当a，b满足|a|＝|b|时，a＋b与a－b所在的直线互相垂直．(2)不可能．因为▱ABCD的两对角线不可能平行，所以a＋b与a－b不可能为共线向量，更不可能为相等向量．C级——拓展探索性题目应用练三个大小相同的力a，b，c作用在同一物体P上，使物体P沿a方向做匀速运动，设＝a，＝b，＝c，判断△ABC的形状．解：由题意得|a|＝|b|＝|c|，由于合力作用后做匀速运动，故合力为0，即a＋b＋c＝0.所以a＋c＝－b.如图，作平行四边形APCD为菱形．＝a＋c＝－b，所以∠APC＝120°.同理∠APB＝∠BPC＝120°.又因为|a|＝|b|＝|c|，所以△ABC为等边三角形．6．2.3 向量的数乘运算新课程标准新学法解读1.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算法则，理解其几何意义．2.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义．3.理解两个向量共线的含义.1.与实数乘法的运算类似，向量数乘也有“结合律”、“分配律”．运用向量的数乘运算时，要注意其几何意义．2.向量共线的条件实际上是有向量数乘推出的，它可以判断几何中三点共线和两直线平行等问题. 1．下列运算正确的个数是(　　)①(－3)·2a＝－6a；②2(a＋b)－(2b－a)＝3a；③(a＋2b)－(2b＋a)＝0.A．0　　　　　　　　　　　 B．1C．2  D．3解析：选C　根据向量数乘运算和加减运算规律知①②正确；③(a＋2b)－(2b＋a)＝a＋2b－2b－a＝0，是零向量，而不是0，所以该运算错误. 所以运算正确的个数为2.故选C.2.a＋b＋a－4b等于(　　)A．2a＋3b  B．a－3bC．2a－3b  D．2a－2b解析：选C　原式＝a＋(1－4)b＝2a－3b.故选C.3.如图，已知AM是△ABC的边BC上的中线，若＝a，＝b，则等于(　　)A.(a－b)B．－(a－b)C.(a＋b)D．－(a＋b)解析：选C　因为M是BC的中点，所以＝(a＋b)．故选C.4．已知a与b共线，且方向相同，若|a|＝8|b|，则a＝________b.解析：∵a与b共线，且方向相同，∴a＝λb(λ>0)．∴|a|＝|λb|＝|λ||b|. 又|a|＝8|b|，∴|λ|＝8.∴λ＝8.答案：81．从两个角度理解向量数乘(1)代数角度实数与向量的乘积λa仍然是一个向量；λa＝0⇔λ＝0或a＝0.(2)几何角度|λ|>1 λ>1在原方向上伸长到原来的λ倍λ<－1在反方向上伸长到原来的－λ倍0<|λ|<1 0<λ<1在原方向上缩短到原来的λ倍－1<λ<0在反方向上缩短到原来的－λ倍 2．关于向量的线性运算向量的线性运算类似于多项式的运算，具有实数与多个向量和的乘积形式，计算时应先去括号．共线向量可以“合并同类项”“提取公因式”，这里的“同类项”“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数．3．关于向量共线定理(1)向量共线定理中规定向量a≠0，因为如果a＝0，当b＝0时，0＝λ0，λ可以是任意实数；当b≠0时，b＝λ0，λ值不存在．(2)当向量a，b同向时，λ>0，当向量a，b反向时，λ<0.向量的线性运算 [例1]　化简下列各式：(1)3(6a＋b)－9； (2)－2；(3)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a.[解]　(1)原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a.(2)原式＝－a－b＝a＋b－a－b＝0.(3)原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c.向量线性运算的基本方法向量的线性运算形式上类似于实数加减法与乘法满足的运算法则，实数运算中去括号、移项、合并同类项等变形手段在向量的线性运算中均可使用．　　　　  [变式训练] 1．设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求－＋(2b－a)．解：原式＝a－b－a＋b＋2b－a＝a＋b＝－a＋b＝－(3i＋2j)＋(2i－j)＝－i－5j.2．已知a与b，且5x＋2y＝a,3x－y＝b，求x，y.解：联立方程组解得用已知向量表示未知向量 [例2]　在△ABC中，已知D是BC上的点，且CD＝2BD，设＝a，＝b，试用a和b表示.[解]　∵B，C，D三点共线，且CD＝2BD，∴＝.法一：＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b.法二：∵－＝＝＝(－)，∴＝＋(－)＝＋＝a＋b.  用已知向量表示未知向量的求解思路将待表示的向量通常放在三角形或平行四边形中，利用向量的加法、减法、数乘的几何意义向已知向量转化．　　　　  [变式训练] 1．在平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，BE与AC的交点为F，设＝a，＝b，则向量＝(　　)A.a＋b　　　　　　　　 B．－a－bC．－a＋b  D.a－b解析：选C　如图，因为点E为CD的中点，CD∥AB，所以＝＝2，所以＝＝(＋)＝＝－a＋b，故选C.2．[变条件]若将本例中的“CD＝2BD”改为“CD＝BD”，你能用两种方法解答吗？解：法一：如图，∵＝－，又CD＝BD，∴＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝(a＋b)．、法二：如图，以AB，AC为邻边作平行四边形ABEC，则＝＋.∵CD＝BD，∴D是AE的中点．∴＝＝(＋)＝(a＋b)．向量共线定理的应用 [例3]　(1)已知e1，e2是两个不共线的向量，若＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，求证：A，B，D三点共线．(2)已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若＝x＋y，求证：x＋y＝1.[证明]　(1)∵＝e1＋3e2，＝2e1－e2，∴＝－＝e1－4e2.又＝2e1－8e2＝2(e1－4e2)，∴＝2，∴∥.∵AB与BD有交点B，∴A，B，D三点共线．(2)由于A，B，P三点共线，所以向量，在同一直线上，由向量共线定理可知，必定存在实数λ使 ＝λ，即－＝λ(－)，所以＝(1－λ)＋λ，故x＝1－λ，y＝λ，即x＋y＝1.用向量共线的条件证明两条直线平行或重合的思路(1)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线无公共点，则这两条直线平行；(2)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，若向量＝λ，则，共线，又与有公共点A，从而A，B，C三点共线，这是证明三点共线的重要方法．　　　　  [变式训练]1．已知P，A，B，C是平面内四点，且＋＋＝，则下列向量一定共线的是(　　)A.与  B.与C.与  D.与解析：选B　因为＋＋＝，所以＋＋＋＝0，即－2＝，所以与共线．故选B.2．如图所示，正三角形ABC的边长为15，＝＋，＝＋.求证：四边形APQB为梯形．证明：因为＝＋＋＝－－＋＋＋＝，所以∥.又||＝15，所以||＝13，故||≠||，于是四边形APQB为梯形． A级——学考合格性考试达标练1．下列各式计算正确的个数是(　　)①(－7)×6a＝－42a；②a－2b＋2(a＋b)＝3a；③a＋b－(a＋b)＝0.A．0　　　　　　　　　 B．1C．2  D．3解析：选C　根据向量数乘的运算律可验证①②正确；③错误，因为向量的和、差及数乘运算的结果仍为一个向量，而不是实数．故选C.2．[多选]向量a＝2e，b＝－6e，则下列说法正确的是(　　)A．a∥b  B．向量a，b方向相反C．|a|＝3|b|  D．b＝－3a解析：选ABD　因a＝2e，b＝－6e，所以b＝－3a，故D正确；由向量共线定理知，A正确；－3<0，a与b方向相反，故B正确；由上可知|b|＝3|a|.故C错误．故选A、B、D.3．已知＝a＋5b，＝－2a＋8b，＝3(a－b)，则(　　)A．A，B，C三点共线  B．A，B，D三点共线C．A，C，D三点共线  D．B，C，D三点共线解析：选B　＝＋＝－2a＋8b＋3(a－b)＝a＋5b＝，又∵与有公共点B，∴A，B，D三点共线．故选B.4．设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则(　　)A.＝－＋  B.＝－C.＝＋  D.＝－解析：选A　由题意得＝＋＝＋＝＋－＝－＋.故选A.5．已知e1，e2是不共线向量，则下列各组向量中是共线向量的有(　　)①a＝5e1，b＝7e1；②a＝e1－e2，b＝3e1－2e2；③a＝e1＋e2，b＝3e1－3e2.A．①②  B．①③C．②③  D．①②③解析：选A　①中，a与b显然共线；②中，因为b＝3e1－2e2＝6＝6a，故a与b共线；③中，设b＝3e1－3e2＝k(e1＋e2)，得无解，故a与b不共线．故选A.6．化简(a－b)－(2a＋4b)＋(2a＋13b)＝________.解析：原式＝a－b－a－b＋a＋b＝a＋b＝0a＋0b＝0.答案：07．已知x，y是实数，向量a，b不共线，若(x＋y－1)a＋(x－y)b＝0，则x＝________，y＝________.解析：由已知得解得x＝y＝.答案：　8．设a，b是两个不共线的非零向量，若向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，则k＝________.解析：由题意知，ka＋2b＝λ(8a＋kb)(λ＜0)．∴(k－8λ)a＋(2－λk)b＝0.又a，b不共线，∴解得λ＝－，k＝－4.答案：－49．已知e1，e2是两个非零不共线的向量，a＝2e1－e2，b＝ke1＋e2，若a与b是共线向量，求实数k的值．解：∵a与b是共线向量，∴a＝λb，∴2e1－e2＝λ(ke1＋e2)＝λke1＋λe2，∴解得∴k＝－2.10.如图，在边长为a的正方形ABCD中，E，F分别为边BC，CD中点，设＝a，＝b，试用a，b表示向量，.解：因为＝＋＝a，＝＋＝b，所以解得＝a－b，＝b－a. B级——面向全国卷高考高分练 1．设e1，e2是两个不共线的向量，则向量a＝2e1－e2，与向量b＝e1＋λe2(λ∈R)共线，当且仅当λ的值为(　　)A．0  B．－1C．－2  D．－解析：选D　∵向量a与b共线，∴存在唯一实数u，使b＝ua成立．即e1＋λe2＝u(2e1－e2)＝2ue1－ue2.∴解得λ＝－.故选D.  2．如图，在△ABC中，＝a，＝b，＝3，＝2，则＝(　　)A．－a＋b  B.a－bC.a＋b  D．－a＋b解析：选D　由平面向量的三角形法则，可知＝＋＝＋＝(－)－＝－＋＝－a＋b.故选D.3．已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定可以使a，b共线的是(　　)①2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e；②存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0；③xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)；④已知梯形ABCD，其中＝a，＝b.A．①②  B．①③C．②  D．③④解析：选A　由2a－3b＝－2(a＋2b)得到b＝－4a，故①可以；λa－μb＝0，λa＝μb，故②可以；x＝y＝0，有x a＋yb＝0，但b与a不一定共线，故③不可以；梯形ABCD中，没有说明哪组对边平行，故④不可以．故选A.4．在△ABC中，∠ACB＝90°，＝a，＝b，点D是△ABC的外心，E是AC的中点，则＋＝(　　)A.a－b  B．－a－bC．2a－b  D．－a＋b解析：选D　因为点D是△ABC的外心，且∠ACB＝90°，所以点D是Rt△ACB的斜边AB的中点，所以＝(＋)＝a＋b.又E是AC的中点，所以＝＋＝－a＋b，所以＋＝－a＋b.故选D.5．如图，在△ABC中，D，E分别在AB，AC上，且＝＝，则＝________.解析：∵＝＝，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC.∴＝. 又与同向，∴＝.答案：6．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ＝________.解析：由图知＝＋，①＝＋，　　　　　②且＋2＝0.①＋②×2得3＝＋2，∴＝＋.∴λ＝.答案：7．设两个不共线的向量e1，e2，若向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，向量c＝2e1－9e2，问是否存在这样的实数λ，μ，使向量d＝λ a＋μ b与向量c共线？解：∵d＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(3μ－3λ)e2，要使d与c共线，则存在实数k使d＝k·c，即：(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke2－9ke2.由得λ＝－2μ，故存在这样的实数λ和μ，只要λ＝－2μ，就能使d与c共线． C级——拓展探索性题目应用练已知△ABC中，＝a，＝b.对于平面ABC上任意一点O，动点P满足＝＋λa＋λb，λ∈[0，＋∞)．试问动点P的轨迹是否过△ABC内的某一个定点？说明理由．解：以AB，AC为邻边作▱ABDC，设对角线AD，BC交于点E，＝＝(a＋b)．由＝＋λa＋λb得到－＝＝2λ·(a＋b)＝2λ，λ∈[0，＋∞)，∴与共线．由λ∈[0，＋∞)知，动点P的轨迹是射线AE，∴必过△ABC的重心．6．2.4 向量的数量积 新课程标准新学法解读1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积．2.通过几何直观了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义．3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.本节重点是平面向量的数量积的概念、向量的模及夹角的表示，难点是平面向量数量积的运算律的理解及数量积的应用．另外，向量的数量积与数的乘法既有区别又有联系，学习时注意对比. 1．已知|a|＝2，|b|＝，a与b的夹角为，则a·b＝________.解析：a·b＝|a||b|cos＝2××＝3.答案：32．已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为，则b在a方向上的投影向量为________．解析：b在a方向上的投影向量为|b|cos＝2×a＝a.答案：a3．已知向量a，b均为单位向量，a·b＝，则a与b的夹角为________．解析：设a与b的夹角为θ，由题意知|a|＝|b|＝1，则cos θ＝＝，又∵0≤θ≤π，∴θ＝.答案：4．已知平面向量a，b满足|a|＝，|b|＝2，a·b＝－3，则|a＋2b|＝________.解析：根据题意，得|a＋2b|＝ ＝.答案：5．下面给出的关系式中正确的序号是________．①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2；④|a·b|≤a·b；⑤(a·b)2＝a2·b2.解析：①②③正确，④⑤错误，|a·b|＝|a||b||cos θ|≥a·b，(a·b)2＝(|a||b|cos θ)2＝a2·b2cos2θ≠a2·b2.答案：①②③1．关于数量积的结果(1)非零向量数量积的运算结果是一个数量，当0°≤θ<90°时，a·b>0；当90°<θ≤180°时，a·b<0；当θ＝90°时，a·b＝0.(2)特别地，如若a或b等于零，则a·b＝0.2．关于投影向量(1)向量a在b方向上的投影向量为|a|cos θ e(其中e为与b同向的单位向量)，它是一个向量，且与b共线，其方向由向量a和b夹角θ的余弦决定．(2)向量a在b方向上的投影向量·.(3)注意：a在b方向上的投影向量与b在a方向上的投影向量不同，即向量b在a上的投影向量可表示为|b|cos θ.3．向量数量积的运算律(1)向量的数量积不满足消去律：若a，b，c均为非零向量，且a·c＝b·c，但得不到a＝b.(2)(a·b)·c≠a·(b·c)，因为a·b，b·c是数量积，是实数，不是向量，所以(a·b)·c与向量c共线，a·(b·c)与向量a共线，因此，(a·b)·c＝a·(b·c)在一般情况下不成立. 向量数量积的运算 [例1]　(1)已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：①a·b；②(a＋b)·(a－2b)．(2)如图，正三角形ABC的边长为，＝c，＝a，＝b，求a·b＋b·c＋c·a.[解]　(1)①由已知得a·b＝|a||b|·cos θ＝4×2×cos 120°＝－4.②(a＋b)·(a－2b)＝a2－a·b－2b2＝16－(－4)－2×4＝12.(2)∵|a|＝|b|＝|c|＝，且a与b，b与c，c与a的夹角均为120°，∴a·b＋b·c＋c·a＝××cos 120°×3＝－3.向量数量积的求法(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键．(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．　　　　  [变式训练] 1．在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝4，则·＝________，·＝________，·＝________.解析：由题意，得||＝4，||＝4，||＝4，所以·＝4×4×cos 90°＝0，·＝4×4×cos 135°＝－16，·＝4×4×cos 135°＝－16.答案：0　－16　－162．△ABC的外接圆圆心为O，AB＝2，AC＝3，求·.解：·＝·(－)＝·－·，如图，过O作OE⊥AC于E，OF⊥AB于F.根据数量积的定义，得·－·＝3|AE|－2|AF|＝3×－2＝.向量的模[例2]　已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋b|.[解]　(1)由(2a－3b)·(2a＋b)＝61，得4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.将|a|＝4，|b|＝3代入上式，得a·b＝－6，所以cos θ＝＝＝－.又0≤θ≤π，所以θ＝.(2)因为|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝13，所以|a＋b|＝.  求向量模的一般思路及常用公式(1)求向量模的常见思路(2)常用公式①(a－b)·(a＋b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2；②|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.　　　　  [变式训练] 1．已知e1，e2是平面单位向量，且e1·e2＝.若平面向量b满足b·e1＝b·e2＝1，则|b|＝________.解析：令e1与e2的夹角为θ，∴e1·e2＝|e1||e2|cos θ＝cos θ＝.又0°≤θ≤180°，∴θ＝60°.∵b·(e1－e2)＝0，∴b与e1，e2的夹角均为30°，∴b·e1＝|b||e1|cos 30°＝1，从而|b|＝＝.答案：2．已知向量a，b的夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝________.解析：∵a，b的夹角为45°，|a|＝1，∴a·b＝|a||b|cos 45°＝|b|，|2a－b|2＝4－4×|b|＋|b|2＝10，∴|b|＝3.答案：3向量的夹角与垂直问题 [例3]　(1)(2019·全国卷Ⅰ)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为(　　)A.　　　　　　　　　　 B.C.  D.(2)已知非零向量a，b满足a＋3b与7a－5b互相垂直，a－4b与7a－2b互相垂直，求a与b的夹角．[解析]　(1)因为(a－b)⊥b，所以(a－b)·b＝a·b－b2＝0，所以a·b＝b2，所以cos θ＝＝＝，因为0≤θ ≤π，所以a与b的夹角为，故选B.[答案]　B(2)由已知条件得即②－①得23b2－46a·b＝0，∴2a·b＝b2，代入①得a2＝b2，∴|a|＝|b|，∴cos θ＝＝＝.∵θ∈[0，π]，∴θ＝.求向量a，b的夹角θ的思路(1)求向量的夹角的关键是计算a·b及|a||b|，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cos θ＝，最后借助θ∈[0，π]，求出θ值．(2)在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系式中，常利用消元思想计算cos θ的值．　　　　  [变式训练]1．已知a，b是非零向量，且满足(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a与b的夹角是(　　)A.  B.C.  D.解析：选B　由题可得(a－2b)·a＝0，即a2＝2a·b，(b－2a)·b＝0，即b2＝2a·b，所以a2＝b2，|a|＝|b|. 设a，b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝. 因为θ∈[0，π]，所以a与b的夹角为.2. 已知|a|＝3，|b|＝2，向量a，b的夹角为60°，c＝3a＋5b，d＝ma－3b，求当m为何值时，c与d垂直？解：由已知得a·b＝3×2×cos 60°＝3.由c⊥d，得c·d＝0，即c·d＝(3a＋5b)·(m a－3b)＝3m a2＋(5m－9)a·b－15b2＝27m＋3(5m－9)－60＝42m－87＝0，∴m＝，即m＝时，c与d垂直．A级——学考合格性考试达标练 1．[多选]下列说法正确的是(　　)A．向量b在向量a上的投影是向量B．若a·b<0，则a与b的夹角θ的范围是C．(a·b)·c＝a·(b·c)D．a·b＝0，则a⊥b解析：选AB　对于选项A，根据投影向量的定义，故A正确；对于选项B，∵a·b＝|a||b|cos θ<0，则cos θ<0，又∵0≤θ≤π，∴θ∈，故B正确；对于选项C，∵(a·b)·c与c是共线向量，a·(b·c)与a是共线向量，故(a·b)·c≠a·(b·c)，故C错误；对于选项D，a·b＝0⇒a⊥b或a＝0或b＝0，故D错误．故选A、B.2．已知|a|＝，|b|＝2，a与b的夹角是120°，则a·b等于(　　)A．3　　　　　　　　　　 B．－3C．－3  D．3解析：选B　由数量积的定义，得a·b＝|a||b|cos 120°＝×2×＝－3.故选B.3．(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝(　　)A．4  B．3C．2  D．0解析：选B　a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－a·b.∵|a|＝1，a·b＝－1，∴原式＝2×12＋1＝3.故选B.4．设e1和e2是互相垂直的单位向量，且a＝3e1＋2e2，b＝－3e1＋4e2，则a·b等于(　　)A．－2  B．－1C．1  D．2解析：选B　因为|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，所以a·b＝(3e1＋2e2)·(－3e1＋4e2)＝－9|e1|2＋8|e2|2＋6e1·e2＝－9×12＋8×12＋6×0＝－1.故选B.5．已知|a|＝3，|b|＝2，且a，b的夹角为60°，如果(3a＋5b)⊥(m a－b)，那么m的值为(　　)A.  B.C.  D.解析：选C　由题意知(3a＋5b)·(ma－b)＝0，即3m a2＋(5m－3)a·b－5b2＝0,3m×32＋(5m－3)×3×2cos 60°－5×22＝0，解得m＝.故选C.6．已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝12，则向量a在向量b方向上的投影向量为________．解析：∵a·b＝|a||b|cos θ＝12，又|b|＝5，∴|a|cos θ＝，＝，即a在b方向上的投影向量为b.答案：b7．(2019·全国卷Ⅲ)已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－b，则cos〈a，c〉＝________.解析：由题意，得cos〈a，c〉＝＝＝＝.答案：8．已知向量a，b，其中|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则向量a和b的夹角是________，a·(a＋b)＝________.解析：由题意，设向量a，b的夹角为θ.因为|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，所以(a－b)·a＝|a|2－a·b＝|a|2－|a||b|cos θ＝3－2 ·cos θ＝0，解得cos θ＝.又因为0≤θ≤π，所以θ＝.则a·(a＋b)＝|a|2＋|a||b|·cos θ＝3＋2 ×＝6.答案：　69．已知向量a，b的夹角为30°，且|a|＝，|b|＝1，求向量p＝a＋b与q＝a－b的夹角θ的余弦值．解：p·q＝(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝3－1＝2.∵|p|＝|a＋b|＝ ＝ ＝，|q|＝|a－b|＝ ＝ ＝1，∴cos θ＝＝＝.10．已知|a|＝2，|b|＝1，a与b的夹角为，若向量2a＋kb与a＋b垂直，求实数k的值．解：a·b＝|a||b|cos＝2×1×＝1.因为2a＋kb与a＋b垂直，所以(2a＋kb)·(a＋b)＝0.所以2a2＋2a·b＋ka·b＋k  b2＝0.所以2×22＋2＋k＋k＝0.所以k＝－5.B级——面向全国卷高考高分练1．如图，e1，e2为互相垂直的两个单位向量，则|a＋b|＝(　　)A．20  B.C．2  D.解析：选C　由题意，知a＝－e1－e2，b＝－e1－e2，所以a＋b＝－2e1－4e2，所以|a＋b|＝＝＝＝2.故选C.2．已知向量a，b满足|a|＝1，a⊥b，则向量a－2b在向量a方向上的投影向量为(　　)A．a  B．1C．－1  D．－a解析：选A　设θ为向量a－2b与向量a的夹角，则向量a－2b在向量a方向上的投影向量为|a－2b|cos θ  .又cos θ＝＝＝，故|a－2b|cos θ ＝|a－2b|·＝a.故选A.3．定义：|a×b|＝|a||b|sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|等于(　　)A．8  B．－8C．8或－8  D．6解析：选A　cos θ＝＝＝－，∵θ∈[0，π]，∴sin θ＝.∴|a×b|＝2×5×＝8.故选A.4.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD边上的中点，则·＋·＝(　　)A.  B．－C.  D．－解析：选A　易知四边形EFGH为平行四边形，连接HF(图略)，取HF的中点为O，则·＝·＝(－)·(＋)＝2－2＝1－2＝，·＝·＝2－2＝1－2＝，因此·＋·＝.故选A.5．(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.解析：法一：易知|a＋2b|＝＝＝2.法二：(数形结合法)由|a|＝|2b|＝2，知以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，则|a＋2b|＝||.又∠AOB＝60°，所以|a＋2b|＝2.答案：26．若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b且c⊥a，则向量a与b的夹角为________．解析：由c⊥a得，a·c＝0，所以a·c＝a·(a＋b)＝0，即a2＋a·b＝0.设向量a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－，所以向量a与b的夹角θ＝120°.答案：120°7．已知a，b是非零向量，t为实数，设u＝a＋tb.(1)当|u|取最小值时，求实数t的值；(2)当|u|取最小值时，向量b与u是否垂直？解：(1)|u|2＝|a＋tb|2＝(a＋tb)·(a＋tb)＝|b|2t2＋2(a·b)t＋|a|2＝|b|22＋|a|2－.∵b是非零向量，∴|b|≠0，∴当t＝－时，|u|＝|a＋tb|的值最小．(2)∵b·(a＋tb)＝a·b＋t|b|2＝a·b＋＝a·b－a·b＝0，∴b⊥(a＋tb)，即b⊥u.C级——拓展探索性题目应用练如图，扇形AOB的弧的中点为M，动点C，D分别在OA，OB上，且OC＝BD，OA＝1，∠AOB＝120°.(1)若点D是线段OB靠近点O的四分之一分点，用，表示向量；(2)求·的取值范围．解：(1)由已知可得＝，＝－，易得OAMB是菱形，则＝＋，所以＝－＝－(＋)＝－－.(2)易知∠DMC＝60°，且||＝||，那么只需求MC的最大值与最小值即可．当MC⊥OA时，MC最小，此时MC＝，则·＝××cos 60°＝.当MC与MO重合时，MC最大，此时MC＝1，则·＝cos 60°＝.所以·的取值范围为.6．3 平面向量基本定理及坐标表示6．3.1 平面向量基本定理新课程标准新学法解读理解平面向量基本定理及其意义.平面向量基本定理是本节的重点又是难点. 为了更好地理解平面向量基本定理，可以通过改变向量的方向及模的大小作图观察λ1，λ2，取不同值时的图形特征，得到平面上任一向量都可以由这个平面内不共线的向量来表示.1．下列关于基底的说法正确的序号是(　　)①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底；②基底中的向量可以是零向量；③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的．A．①②　　　　　　　　 B．①③C．②③  D．①②③解析：选B　由基底的定义可知①③正确. 故选B.2．已知向量a，b不共线，若λ1a＋b＝－a＋μ1b，则λ1＝________，μ1＝________.解析：∵λ1a＋b＝－a＋μ1b，∴(λ1＋1)a＋(1－μ1)b＝0，又∵a，b不共线，∴λ1＋1＝0且1－μ1＝0，即λ1＝－1，μ1＝1.答案：－1　13.如图，M，N是△ABC的一边BC上的两个三等分点，若＝a，＝b，则＝________.解析：由题意知，＝，而＝－＝b－a，所以＝(b－a)＝b－a.答案：b－a4．已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则x－y的值为________．解析：∵e1，e2不共线，∴由平面向量基本定理可得 ⇒x－y＝3.答案：31．平面向量基本定理的作用平面内任何一个向量都可以沿着两个不共线的方向分解成两个向量的和，并且这种分解是唯一的．2．基底的性质(1)不共线性平面内两个不共线的向量才可以作为一组基底. 由于零向量与任何向量共线，所以零向量不可以作为基底．(2)不唯一性对基底的选取不唯一，平面内任一向量a都可被这个平面的一组基底{e1，e2}线性表示．对基向量概念的理解 [例1]　(1)如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是(　　)①a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个；③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则＝；④若存在实数λ，μ，使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.A．①②　　　　　　　　 B．②③C．③④  D．①④(2)设e1，e2是平面内的一组基底，则下面四组向量不能作为基底的是(　　)A．e1＋e2和e1－e2  B．3e1－2e2和4e2－6e1C．e1＋2e2和e2＋2e1  D．e2和e2＋e1[解析]　(1)由平面向量的基本定理可知，①④是正确的．对于②，由平面向量的基本定理可知，若平面的基底确定，那么同一平面内任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．对于③，当λ1＝λ2＝0或μ1＝μ2＝0时，结论不成立．故选B.(2)∵4e2－6e1＝－2(3e1－2e2)，∴3e1－2e2和4e2－6e1共线，不能作为平面向量的一组基底．[答案]　(1)B　(2)B对基底的理解(1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底．(2)一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基底唯一线性表示出来. 设向量a与b是平面内两个不共线的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则x1＝x2且y1＝y2.提醒：一个平面的基底不是唯一的，同一个向量用不同的基底表示，其线性表示是不同的．　　　　 [变式训练]1.如图所示，点O为正六边形ABCDEF的中心，则可作为基底的一对向量是(　　)A.，　　　　　　　 B.，C.，  D.，解析：选B　由题中图形可知与，与，与共线，不能作为基底向量，与不共线，可作为基底向量．故选B.2．设向量e1，e2是平面内的一组基底，若向量a＝－3e1－e2与b＝e1－λe2共线，则λ＝(　　)A.  B．－C．－3  D．3解析：选B　因为a与b共线，所以存在μ∈R，使得a＝μb，即－3e1－e2＝μ(e1－λe2)．故μ＝－3，－λμ＝－1，解得λ＝－.故选B.平面向量基本定理的应用 [例2]　如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN的值．[解]　设＝e1，＝e2，则＝＋＝－3e2－e1，＝＋＝2e1＋e2.∵A，P，M和B，P，N分别共线，∴存在实数λ，μ使得＝λ＝－λe1－3λe2，＝μ＝2μe1＋μe2.故＝＋＝－＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2.而＝＋＝2e1＋3e2，由平面向量基本定理，得解得∴＝，＝，∴AP∶PM＝4，BP∶PN＝.1．用基向量表示向量的三个依据(1)向量加法的三角形法则和平行四边形法则；(2)向量减法的几何意义；(3)数乘向量的几何意义．2．关于基底的一个结论设e1，e2是平面内的一个基底，当λ1e1＋λ2e2＝0时，恒有λ1＝λ2＝0.　　　　 [变式训练]1．[变设问]在本例条件下，若＝a，＝b，试用a，b表示.解：由本例解析知BP∶PN＝，则＝，＝＋＝＋＝b＋(－)＝b＋a－b＝b＋a.2．[变条件]若本例中的点N为AC的中点，其他条件不变，求AP∶PM与BP∶PN的值．解：如图，设＝e1，＝e2，则＝＋＝－2e2－e1，＝＋＝2e1＋e2.∵A，P，M和B，P，N分别共线，∴存在实数λ，μ使得＝λ＝－λe1－2λe2，＝μ＝2μe1＋μe2.故＝＋＝－＝(λ＋2μ)e1＋(2λ＋μ)e2.而＝＋＝2e1＋2e2，由平面向量基本定理，得解得∴＝，＝，∴AP∶PM＝2，BP∶PN＝2.A级——学考合格性考试达标练1．若k1a＋k2b＝0，则k1＝k2＝0，那么下列对a，b的判断正确的是(　　)A．a与b一定共线　　　　 B．a与b一定不共线C．a与b一定垂直  D．a与b中至少一个为0解析：选B　由平面向量基本定理知，当a，b不共线时，k1＝k2＝0.故选B.2．如果e1，e2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是(　　)A．e1与e1＋e2  B．e1－2e2与e1＋2e2C．e1＋e2与e1－e2  D．e1－2e2与－e1＋2e2解析：选D　由e1，e2为不共线向量，可知e1与e1＋e2，e1－2e2与e1＋2e2，e1＋e2与e1－e2必不共线，都可作为平面向量的基底，而e1－2e2＝－(－e1＋2e2)，故e1－2e2与－e1＋2e2共线，不能作为该平面所有向量的基底．故选D.3．在△ABC中，＝c，＝b，若点D满足＝2，以b与c作为基底，则＝(　　)A.b＋c  B.c－bC.b－c  D.b＋c解析：选A　∵＝2，∴－＝2(－)，∴－c＝2(b－)，∴＝c＋b.故选A.4．设向量e1与e2不共线，若3xe1＋(10－y)e2＝(4y－7)e1＋2xe2，则实数x，y的值分别为(　　)A．0,0  B．1,1C．3,0  D．3,4解析：选D　∵向量e1与e2不共线，∴解得故选D.5.如图所示，||＝||＝1，||＝，∠AOB＝60°，OB⊥OC，设＝x＋y，则(　　)A．x＝－2，y＝－1  B．x＝－2，y＝1C．x＝2，y＝－1  D．x＝2，y＝1解析：选B　过点C作CD∥OB交AO的延长线于点D，连接BC(图略)．由||＝1，||＝，∠AOB＝60°，OB⊥OC，知∠COD＝30°.在Rt△ODC中，可得OD＝2CD＝2，则＝＋＝－2＋.故选B.6.如图，平行四边形ABCD中，＝a，＝b，M是DC的中点，以a，b为基底表示向量＝________.解析：＝＋＝＋＝＋＝b＋a.答案：b＋a7．已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(2x＋y)e1＋(3x＋2y)e2＝0，则x＋y＝________.解析：∵e1，e2不共线，∴解得∴x＋y＝0.答案：08.如图，已知E，F分别是矩形ABCD的边BC，CD的中点，EF与AC交于点G，若＝a，＝b，用a，b表示＝________.解析：＝＋＋＝a＋b＋＝a＋b＋b－a＝a＋b.答案：a＋b9.如图所示，D是BC边的一个四等分点．试用基底，表示.解：∵D是BC边的四等分点，∴＝＝(－)，∴＝＋＝＋(－)＝＋.10.如图所示，已知在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，DC边上的中点．若＝a，＝b，试以a，b为基底表示，.解：∵四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是BC，DC边上的中点，∴＝＝2，＝＝2，∴＝＝b，＝＝＝－＝－a.∴＝＋＋＝－＋＋＝－b＋a＋b＝a－b，＝＋＝＋＝b－a.B级——面向全国卷高考高分练1．(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝(　　)A.－  B.－C.＋  D.＋解析：选A　作出示意图如图所示．＝＋＝＋＝×(＋)＋(－)＝－.故选A.2．[多选]设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，给出下列向量组，可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是(　　)A.与  B.与C.与  D.与解析：选AC　由题意作平行四边形ABCD，如图．因为与不共线，与不共线，所以它们均可作为这个平行四边形所在平面的一组基底，与共线，与共线，故这两组向量不能作为该平面的一组基底，故选A、C.3．若＝a，＝b，＝λ，则＝(　　)A．a＋λb  B．λa＋bC．λa＋(1＋λ)b  D.解析：选D　∵＝λ，∴－＝λ(－)，(1＋λ)＝λ＋，∴＝.故选D.4.如图，平面内的两条相交直线OP1和OP2将平面分割成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包含边界)四个部分，若＝a＋b，且点P落在第Ⅲ部分， 则实数a，b满足(　　)A．a>0，b>0  B．a>0，b<0C．a<0，b>0  D．a<0，b<0解析：选B　如图，过点P作PA∥OP2交直线OP1于点A，过点P作PB∥OP1交直线OP2于点B，则＝＋，又＝a＋b，所以＝a，＝b.又与方向相同，与方向相反，所以a>0，b<0.故选B.5.如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O,7＝5，＝4，EF交AC于点K，＝λ，则实数λ的值为________．解析：因为＝λ＝－λ＝－(＋)，所以＝－. 又E，F，K三点共线，所以－＝1，解得λ＝－.答案：－6．设e1，e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为以a，b为基向量的线性组合，即e1＋e2＝________.解析：设e1＋e2＝m a＋n b(m，n∈R)，∵a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，∴e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋n(－e1＋e2)＝(m－n)e1＋(2m＋n)e2.∵e1与e2不共线，∴解得∴e1＋e2＝a－b.答案：a－b7．在梯形ABCD中，AB∥CD，M，N分别是，的中点，且＝k(k≠1)．设＝e1，＝e2，选择基底{e1，e2}，试写出下列向量在此基底下的分解式，，.解：如图所示，∵＝e2，且＝k，∴＝k＝ke2，又＋＋＋＝0，∴＝－－－＝－＋＋＝－e2＋ke2＋e1＝e1＋(k－1)e2.而＋＋＋＝0，∴＝－－－＝＋－＝＋e2－＝[e1＋(k－1)e2]＋e2－e1＝e2.C级——拓展探索性题目应用练　如图，在△ABC中，F是BC中点，直线l分别交AB，AF，AC于点D，G，E.如果＝λ，＝μ，λ，μ∈R.求证：G为△ABC重心的充要条件是＋＝3.证明：充分性：若G为△ABC重心，则＝＝×(＋)＝，又因点D，G，E共线，所以＝t＋(1－t)＝，因，不共线，所以＝t且＝1－t，两式相加即得＋＝3.必要性：若＋＝3，则＝x＝(＋)＝＝t＋(1－t)，所以＝t且＝1－t，相加即得x＝，即G为△ABC重心．故G为△ABC重心的充要条件是＋＝3.6．3.2 平面向量的正交分解及坐标表示6．3.3 平面向量加、减运算的坐标表示6．3.4 平面向量数乘运算的坐标表示 新课程标准新学法解读1.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示．2.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算.1.向量的正交分解实际上是平面向量基本定理的特例．2.向量的坐标运算是一种代数运算，其加、减及数乘的实质是同名坐标之间的运算. 1．下列说法正确的有(　　)①向量的坐标即此向量终点的坐标；②位置不同的向量其坐标可能相同；③一个向量的坐标等于它的终点坐标减去它的起点坐标；④相等向量的坐标一定相同．A．1个　　　　　　　　　　 B．2个C．3个  D．4个解析：选C　向量的坐标是其终点坐标减去起点坐标，故①错误，②③④正确．故选C.2．已知＝(2,3)，则点N位于(　　)A．第一象限  B．第二象限C．第三象限  D．不确定解析：选D　因为点M的位置不确定，所以点N的位置也不确定．故选D.3．已知向量a＝(2,4)，b＝(－1,1)，则2a－b＝(　　)A．(5,7)  B．(5,9)C．(3,7)  D．(3,9)解析：选A　因为a＝(2,4)，b＝(－1,1)，所以2a－b＝(2×2－(－1)，2×4－1)＝(5,7)．故选A.4．已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与相等，其中A(1,2)，B(3,2)，则x的值为(　　)A．－1  B．－1或4C．4  D．1或－4解析：选A　∵＝(2,0)，又∵a＝，∴解得x＝－1.故选A.5．如果向量a＝(k, 1)，b＝(4, k)共线且方向相反，则k等于(　　)A．±2  B．2C．－2  D．0解析：选C　由a，b共线得k2＝4，所以k＝±2，又两个向量的方向相反，故k＝－2. 故选C. 1．关于平面向量的坐标表示(1)向量的坐标只与向量的起点、终点有关，而与向量的具体位置无关．(2)当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变．2．点的坐标与向量的坐标(1)区别：(ⅰ)表达形式：向量a＝(x，y)，点A(x，y)；(ⅱ)意义不同：点A(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位置；向量a＝(x，y)表示向量的大小、方向．(2)联系：当平面向量的起点在原点时，向量的坐标与终点的坐标相同．3．关于平面向量的坐标运算(1)平面向量的加、减、数乘运算结果仍然是向量，坐标运算的结果仍然是坐标．(2)进行向量的坐标运算时，要结合向量运算的三角形法则和平行四边形法则，先化简向量，再进行坐标运算．4．要正确理解向量平行的条件(1)a∥b(b≠0)⇔a＝λb. 这是几何运算，体现了向量a与b的长度及方向之间的关系．(2)a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．这是代数运算，由于不需引进参数λ，从而简化代数运算．(3)a∥b⇔＝，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)且y1≠0，y2≠0. 即两向量的对应坐标成比例．通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误．
平面向量的坐标表示[例1]　(1)已知向量a在射线y＝x(x≥0)上，且起点为坐标原点O，又|a|＝，分别取与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量{i，j}作为基底，则向量a的坐标为(　　)A．(1, 1)　　　　　　　 B．(－1，－1)C．(，)  D．(－，－)(2)如图所示，在平面直角坐标系中，i，j分别为与两个坐标轴正方向同向的单位向量，，a是平面内的向量，且A点坐标为(x，y)，则下列说法正确的是________．(填序号)①向量a可以表示为a＝mi＋nj；②只有当a的起点在原点时a＝(x，y)；③若a＝，则终点A的坐标就是向量a的坐标．[解析]　(1)由题意，a＝(cos 45°)i＋(sin 45°)j＝i＋j＝(1,1)．(2)由平面向量的基本定理知，有且只有一对实数m，n，使得a＝mi＋nj，所以①正确．当a＝时，均有a＝(x，y)，所以②错，③正确．[答案]　(1)A　(2)①③求点和向量坐标的常用方法(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．(2)在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．　　　　 [变式训练] 1．如图，向量a，b，c的坐标分别是________，________，________.解析：将各向量分别向基底i，j所在直线分解，则a＝－4i＋0j，∴a＝(－4,0)，b＝0i＋6j，∴b＝(0,6)，c＝－2i－5j，∴c＝(－2，－5)．答案：(－4,0)　(0,6)　(－2，－5)2．已知O是坐标原点，点A在第一象限，||＝4，∠xOA＝60°，(1)求向量的坐标；(2)若B(，－1)，求的坐标．解：(1)设点A(x，y)，则x＝4cos 60°＝2，y＝4sin 60°＝6，即A(2， 6)，＝(2， 6)．(2)＝－＝(2， 6)－(， －1)＝(， 7).平面向量的坐标运算 [例2]　(1)已知向量a，b的坐标分别是(－1,2)，(3，－5)，求a＋b，a－b,3a,2a＋3b的坐标；(2)已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且＝3，＝2，求M，N及的坐标．[解]　 (1)a＋b＝(－1,2)＋(3，－5)＝(2，－3)，a－b＝(－1,2)－(3，－5)＝(－4,7)，3a＝3(－1,2)＝(－3,6)，2a＋3b＝2(－1,2)＋3(3，－5)＝(－2,4)＋(9，－15)＝(7，－11)．(2)法一：由A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，可得＝(－2,4)－(－3，－4)＝(1,8)，＝(3，－1)－(－3，－4)＝(6,3)，所以＝3＝3(1,8)＝(3,24)，＝2＝2(6,3)＝(12,6)．设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则＝(x1＋3，y1＋4)＝(3,24)，x1＝0，y1＝20；＝(x2＋3，y2＋4)＝(12,6)，x2＝9，y2＝2，所以M(0,20)，N(9,2)，＝(9,2)－(0,20)＝(9，－18)．法二：设点O为坐标原点，则由＝3，＝2，可得－＝3(－)，－＝2(－)，从而＝3－2，＝2－，所以＝3(－2,4)－2(－3，－4)＝(0,20)，＝2(3，－1)－(－3，－4)＝(9,2)，即点M(0,20)，N(9,2)，故＝(9,2)－(0,20)＝(9，－18)．平面向量坐标运算的技巧(1)进行平面向量坐标运算前，先要分清向量坐标与向量起点、终点的关系．(2)在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的坐标运算法则进行计算．(3)在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和数形结合思想的运用．　　　　 [变式训练]已知点A(－1,2)，B(2,8)及＝，＝－.求点C，D和的坐标．解：∵A(－1,2)，B(2,8)，∴＝(2,8)－(－1,2)＝(3,6)，＝＝(1,2)，＝－＝＝(1,2)．则＝＋＝(－1,2)＋(1,2)＝(0,4)，＝＋＝－＝(－1,2)－(1,2)＝(－2,0)．∴C，D的坐标分别为(0,4)和(－2,0)．因此＝－＝(－2,0)－(0,4)＝(－2，－4).向量共线坐标表示的简单运用 [例3]　(1)下列各组向量是平行向量的有________．(填序号)①a＝，b＝(－2，－3)；②a＝(0.5,4)，b＝(－8,64)；③a＝(2,3)，b＝(3,4)；④a＝(2,3)，b＝.(2)已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)，判断与是否共线？如果共线，它们的方向是相同还是相反？[解析]　(1)①(－3)－(－2)＝－＋＝0，∴a∥b.②0.5×64－4(－8)＝32＋32＝64≠0，∴a，b不平行．③2×4－3×3＝8－9＝－1≠0，∴a，b不平行．④2×2－3＝4＋4＝8≠0，∴a，b不平行．[答案]　①(2)＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)，＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)．法一：∵(－2)(－6)－3×4＝0，∴与共线，通过观察可知，和方向相反．法二：∵＝－2，∴与共线且方向相反．1．向量共线的判定方法(1)利用向量共线定理，由a＝λb(b≠0)推出a∥b.(2)利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0直接求解．2．三点共线的实质与证明步骤(1)实质：三点共线问题的实质是向量共线问题．两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的．(2)证明步骤：利用向量平行证明三点共线需分两步完成：①证明向量平行；②证明两个向量有公共点．　　　　  [变式训练]已知点A(x,0)，B(2x,1)，C(2，x)，D(6,2x)．(1)求实数x的值，使向量与共线；(2)当向量与共线时，点A，B，C，D是否在一条直线上？解： (1)＝(x,1)，＝(4，x)．∵∥，∴x2＝4，x＝±2.(2)由已知得＝(2－2x，x－1)，当x＝2时，＝(－2,1)，＝(2,1)，∴和不平行，此时A，B，C，D不在一条直线上；当x＝－2时，＝(6，－3)，＝(－2,1)，∴∥，此时A，B，C三点共线．又∥，∴A，B，C，D四点在一条直线上．综上，当x＝－2时，A，B，C，D四点在一条直线上．A级——学考合格性考试达标练1．若O(0,0)，A(1,2)，且＝2，则A′点坐标为(　　)A．(1,4)　　　　　　　 B．(2,2)C．(2,4)  D．(4,2)解析：选C　设A′(x，y)，＝(x，y)，＝(1,2)，∴(x，y)＝(2,4)．故选C.2．已知向量a＝(－2,4)，b＝(1，－2)，则a与b的关系是(　　)A．不共线  B．相等C．方向相同  D．方向相反解析：选D　∵a＝－2b，∴a与b方向相反．故选D.3．已知向量a＝(1,2)，2a＋b＝(3,2)，则b＝(　　)A．(1，－2)  B．(1,2)C．(5,6)  D．(2,0)解析：选A　b＝(3,2)－2a＝(3,2)－(2,4)＝(1，－2)．故选A.4．若向量a＝(，1)，b＝(0，－2)，则与a＋2b共线的向量可以是(　　)A．(，－1)  B．(－1，－)C．(－，－1)  D．(－1，)解析：选D　法一：∵a＋2b＝(，－3)，∴×－(－1)×(－3)＝0.∴(－1，)与a＋2b是共线向量．故选D.法二：∵a＋2b＝(，－3)＝－(－1，)，∴向量a＋2b与(－1，)是共线向量．故选D.5．在平行四边形ABCD中，A(1,2)，B(3,5)，＝(－1,2)，则＋＝(　　)A．(－2,4)  B．(4,6)C．(－6，－2)  D．(－1,9)解析：选A　在平行四边形ABCD中，因为A(1,2)，B(3，5)，所以＝(2,3)．又＝(－1,2)，所以＝＋＝(1,5)，＝－＝(－3，－1)，所以＋＝(－2,4)．故选A.6．已知向量a＝(3x－1,4)与b＝(1,2)共线，则实数x的值为________．解析：∵向量a＝(3x－1,4)与b＝(1,2)共线，∴2(3x－1)－4×1＝0，解得x＝1.答案：17．若A(2，－1)，B(4,2)，C(1,5)，则＋2＝________.解析：∵A(2，－1)，B(4,2)，C(1,5)，∴＝(2,3)，＝(－3,3)．∴＋2＝(2,3)＋2(－3，3)＝(2,3)＋(－6,6)＝(－4,9)．答案：(－4,9)8．已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k,7)．若(a－c)∥b，则k＝________.解析：a－c＝(3－k，－6)，∵(a－c)∥b，∴3(3－k)＋6＝0，解得k＝5.答案：59．已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，且u∥v，求实数x的值．解：因为a＝(1,2)，b＝(x,1)，所以u＝a＋2b＝(1,2)＋2(x,1)＝(2x＋1,4)，v＝2a－b＝2(1,2)－(x,1)＝(2－x,3)．又因为u∥v，所以3(2x＋1)－4(2－x)＝0，解得x＝.10．已知a＝，B点坐标为(1,0)，b＝(－3,4)，c＝(－1,1)，且a＝3b－2c，求点A的坐标．解：∵b＝(－3,4)，c＝(－1,1)，∴3b－2c＝3(－3,4)－2(－1,1)＝(－9,12)－(－2,2)＝(－7,10)，即a＝(－7,10)＝.又B(1,0)，设A点坐标为(x，y)，则＝(1－x,0－y)＝(－7,10)，∴解得∴A点坐标为(8，－10)．B级——面向全国卷高考高分练1．已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝(　　)A.  B.C．1  D．2解析：选B　由题意可得a＋λb＝(1＋λ，2)．由(a＋λb)∥c，得(1＋λ)4－3×2＝0，解得λ＝.故选B.2．已知三点A(－1,1)，B(0,2)，C(2,0)，若和是相反向量，则D点坐标是(　　)A．(1,0)  B．(－1,0)C．(1，－1)  D．(－1,1)解析：选C　∵与是相反向量，∴＝－. 又＝(1,1)，∴＝(－1，－1)．设D(x，y)，则＝(x－2，y)＝(－1，－1)．从而x＝1，y＝－1，即D(1，－1)．故选C.3．已知四边形ABCD为平行四边形，其中A(5，－1)，B(－1，7)，C(1,2)，则顶点D的坐标为(　　)A．(－7,6)  B．(7,6)C．(6,7)  D．(7，－6)解析：选D　设D(x，y)，由＝，得(x－5，y＋1)＝(2，－5)，∴x＝7，y＝－6，∴D(7，－6)．故选D.4．[多选]已知向量i＝(1,0)，j＝(0,1)，对坐标平面内的任一向量a，下列说法错误的是(　　)A．存在唯一的一对实数x，y，使得a＝(x，y)B．若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2，且y1≠y2C．若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，则a的起点是原点OD．若x，y∈R，a≠0，且a的终点坐标是(x，y)，则a＝(x，y)解析：选BCD　由平面向量基本定理，可知A正确；例如，a＝(1,0)≠(1,3)，但1＝1，故B错误；因为向量可以平移，所以a＝(x，y)与a的起点是不是原点无关，故C错误；当a的终点坐标是(x，y)时，a＝(x，y)是以a的始点是原点为前提的，故D错误．故选B、C、D.5．设向量a＝(1,2)，b＝(－3,5)，c＝(4，x)，若a＋b＝λc(λ∈R)，则λ＋x＝________.解析：由已知，可得(1,2)＋(－3,5)＝λ(4，x)，所以解得所以λ＋x＝－.答案：－6．已知A，B，C三点共线，＝－，点A，B的纵坐标分别为2,5，则点C的纵坐标为________．解析：设点C的纵坐标为y，∵A，B，C三点共线，＝－，A，B的纵坐标分别为2,5，∴2－5＝－(y－2)．∴y＝10.答案：107．已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－x，－3－y)．(1)若点A，B，C不能构成三角形，求x，y满足的条件；(2)若＝2，求x，y的值．解：(1)因为点A，B，C不能构成三角形，则A，B，C三点共线．由＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－x，－3－y)得＝(3,1)，＝(2－x,1－y)，所以3(1－y)＝2－x.所以x，y满足的条件为x－3y＋1＝0.(2)由＝(6，－3)，＝(5－x，－3－y)，得＝(－x－1，－y)，由＝2得(2－x,1－y)＝2(－x－1，－y)，所以解得C级——拓展探索性题目应用练已知A(1，－2)，B(2,1)，C(3,2)和D(－2,3)，以，为一组基底来表示＋＋.解：∵＝(1,3)，＝(2,4)，＝(－3,5)，＝(－4,2)，＝(－5,1)，∴＋＋＝(－3,5)＋(－4,2)＋(－5,1)＝(－12，8)．根据平面向量基本定理，一定存在实数m，n，使得＋＋＝m＋n，∴(－12,8)＝m(1,3)＋n(2,4)，即(－12,8)＝(m＋2n,3m＋4n)，∴解得∴＋＋＝32－22.6．3.5 平面向量数量积的坐标表示 新课程标准新学法解读1.能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角．1.通过本节课的学习，在用向量处理平面几何问题时就有了两种方法，通过一题两法，体会基底法和坐标法的优劣及选择依据．2.能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件.2.通过数形结合，对向量平行与垂直条件的坐标表示的类比，培养学生联想的记忆方法.1．已知向量a＝(x－5,3)，b＝(2，x)，且a⊥b，则由x的值构成的集合是(　　)A．{2,3}　　　　　　　 B．{－1,6}C．{2}  D．{6}解析：选C　∵a⊥b，∴2(x－5)＋3x＝0，∴x＝2.故选C.2．设a＝(1，－2)，b＝(3,1)，c＝(－1,1)，则(a＋b)·(a－c)等于(　　)A．11  B．5C．－14  D．10解析：选A　a＋b＝(4，－1)，a－c＝(2，－3). 所以(a＋b)·(a－c)＝4×2＋(－1)×(－3)＝11.故选A.3．已知向量m＝(1,1)，向量n与向量m的夹角为，且m·n＝－1，则|n|＝(　　)A．－1  B．1C．2  D．－2解析：选B　cos＝＝＝－，|n|＝1.故选B.4．已知向量＝(4,0)，＝(2,2)，则与的夹角的大小为________．解析：＝－＝(2,2)－(4,0)＝(－2,2)，所以·＝2×(－2)＋2×2＝0. 所以⊥. 即与的夹角为90°.答案：90°5．已知向量a＝(1，k)，b＝(2,2)，且a＋b与a共线，那么a·b＝________.解析：依题意得a＋b＝(3, k＋2)，由a＋b与a共线，得3×k－1×(k＋2)＝0，解得k＝1，所以a·b＝2＋2k＝4.答案：41．关于平面向量数量积的坐标表示(1)两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a≠0，b≠0,0°≤θ＜90°时)，也可以为负(当a≠0，b≠0,90°＜θ≤180°时)，还可以为0(当a＝0或b＝0或θ＝90°时)．(2)公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉与a·b＝x1x2＋y1y2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导．(3)若题目中给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解；若已知两向量的坐标，则可选用公式a·b＝x1x2＋y1y2求解．2．向量垂直与向量平行的坐标表示向量垂直与向量平行的条件容易混淆，注意以下特点 坐标表示记忆口诀垂直a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0对应相乘和为0平行a∥b⇔x1y2－x2y1＝0交叉相乘差为0 平面向量数量积的坐标运算[例1]　(1)设a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，则(a＋2b)·c＝(　　)A．12　　　　　　　　 B．0C．－3  D．－11(2)已知a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，若(8a－b)·c＝30，则x＝(　　)A．6  B．5C．4  D．3(3)已知a＝(2，－1)，a＋2b＝(6,3)，若b·c＝14，|c|＝5，则向量c的坐标为________．[解析]　(1)∵a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，∴a＋2b＝(－5,6)，∴(a＋2b)·c＝(－5)×3＋6×2＝－3.(2)由题意可得，8a－b＝(6,3)，又(8a－b)·c＝30，c＝(3，x)，∴18＋3x＝30，解得x＝4.(3)因为2b＝(a＋2b)－a＝(6,3)－(2，－1)＝(4,4)，所以b＝(2,2)．设c＝(x，y)，则由题可知解得或所以c＝(3,4)或c＝(4,3)．[答案]　(1)C　(2)C　(3)(3,4)或(4,3)平面向量数量积坐标运算的两条途径进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．　　　　 [变式训练] 1．在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的对角线OB的两端点坐标分别为O(0,0)，B(1,1)，则·＝________.解析：如图所示，在正方形OABC中，A(0,1)，C(1,0)(当然两者位置可互换，不影响最终结果)，则＝(1,0)，＝(1，－1)，从而·＝(1,0)·(1，－1)＝1×1＋0×(－1)＝1.答案：12．在平行四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－3,2)，则·＝________.解析：设AC，BD相交于点O，则＝＋＝＋＝＋＝(－1,2)．又＝(1,2)，∴·＝(－1,2)·(1,2)＝－1＋4＝3.答案：3 与平面向量模有关的问题[例2]　(1)设平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|等于(　　)A.  B.C.  D.(2)已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(，0)，则|2a－b|的最大值为________．[解析]　(1)∵a∥b，∴1×y－2×(－2)＝0，解得y＝－4，从而3a＋b＝(1,2)，|3a＋b|＝.(2)2a－b＝(2cos θ－，2sin θ)，|2a－b|＝ ＝ ＝ ，当且仅当cos θ＝－1时，|2a－b|取最大值2＋.[答案]　(1)A　 (2)2＋求向量的模的两种基本策略(1)字母表示下的运算：利用|a|2＝a2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．(2)坐标表示下的运算：若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝ .　　　　 [变式训练]1．已知向量a＝(1,2)，b＝(－3,4)，c＝a＋λb(λ∈R)，则|c|取最小值时，λ的值为________．解析：由a＝(1,2)，b＝(－3,4)，c＝a＋λb＝(1－3λ，2＋4λ)∴|c|2＝c2＝(1－3λ)2＋(2＋4λ)2＝25λ2＋10λ＋5＝252＋4.当λ＝－时，|c|min＝2.答案：－2．已知|a|＝10，b＝(1,2)，且a∥b，求a的坐标．解：设a的坐标为(x，y)，由题意得解得或所以a＝(2，4)或a＝(－2，－4)．向量夹角和垂直问题[例3]　设平面上向量a＝(cos α，sin α)(0°≤α≤90°)，b＝.(1)求a与b的夹角θ.(2)求证：a＋b与a－b垂直．[解]　(1)由题意知，|a|＝1，|b|＝1，a·b＝－cos α＋sin α，则cos θ＝＝＝－cos α＋sin α＝cos(120°－α)．∵0°≤α≤90°，∴30°≤120°－α≤120°.又0°≤θ≤180°，∴θ＝120°－α，即两向量的夹角为120°－α.(2)证明：∵(a＋b)·(a－b)＝cos α－，sin α＋·＝cos α－cos α＋＋sin α＋·＝cos2α－＋sin2α－＝1－－＝0，∴(a＋b)⊥(a－b)．利用数量积的坐标运算求两向量夹角的步骤(1)利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积．(2)利用|a|＝ 计算出这两个向量的模．(3)由公式cos θ＝直接求出cos θ的值．(4)在[0，π]内，由cos θ的值求角θ.　　　　 [变式训练]1．设向量a＝(3,3)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a－λb)，则实数λ＝________.解析：(a＋λb)⊥(a－λb)⇒(a＋λb)·(a－λb)＝a2－λ2b2＝0⇒18－2λ2＝0⇒λ＝±3.答案：±32．已知向量a与b的夹角为60°，且a＝(－2，－6)，|b|＝，则a·b＝________.解析：因为a＝(－2，－6)，所以|a|＝ ＝2. 又|b|＝，向量a与b的夹角为60°，所以a·b＝|a||b|cos 60°＝2××＝10.答案：10A级——学考合格性考试达标练1．a＝(－4,3)，b＝(5,6)，则3|a|2－4a·b等于(　　)A．23　　　　　　　　　 B．57C．63  D．83解析：选D　3|a|2－4a·b＝3[(－4)2＋32]－4(－4×5＋3×6)＝83.故选D.2．已知A(2,1)，B(3,2)，C(－1,4)，则△ABC是(　　)A．锐角三角形  B．直角三角形C．钝角三角形  D．任意三角形解析：选B　cos A＝＝＝0，则A＝.故选B.3．若a＝(2，－3)，则与向量a垂直的单位向量的坐标为(　　)A．(3,2)B.C.或D．以上都不对解析：选C　设与a垂直的向量为单位向量(x，y)，∵(x，y)是单位向量，∴＝1，即x2＋y2＝1，①而且(x，y)表示的向量垂直于a.∴2x－3y＝0，②由①②得或故选C.4．已知a＝(1，n)，b＝(－1，n)．若2a－b与b垂直，则|a|＝(　　)A．1  B.C．2  D．4解析：选C　由2a－b与b垂直，得(2a－b)·b＝0，即2a·b－b2＝0.故2(－1＋n2)－(1＋n2)＝0，解得n2＝3.所以，|a|＝ ＝＝2.故选C.5．已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k的值为(　　)A．－  B．0C．3  D.解析：选C　∵2a－3b＝(2k－3，－6)．又(2a－3b)⊥c，∴(2a－3b)·c＝0，即(2k－3)×2＋(－6)＝0，解得k＝3.故选C.6．已知a＝(1，)，b＝(－2,0)，则|a＋b|＝________.解析： 因为a＋b＝(－1，)，所以|a＋b|＝＝2.答案：27．若a＝(3，－1)，b＝(x，－2)，且〈a，b〉＝，则x＝________.解析：cos＝，解得x＝1或x＝－4(舍)．答案：18．已知平面向量a＝(2,4)，b＝(－1,2)，若c＝a－(a·b)·b，则|c|等于________．解析：易得a·b＝2×(－1)＋4×2＝6，所以c＝(2,4)－6(－1,2)＝(8，－8)，所以|c|＝ ＝8.答案：89．已知a＝(1,2)，b＝(1，－1)．(1)若θ为2a＋b与a－b的夹角，求θ的值；(2)若2a＋b与ka－b垂直，求k的值．解：(1)因为a＝(1,2)，b＝(1，－1)，所以2a＋b＝(3,3)，a－b＝(0,3)．所以cos θ＝＝＝.因为θ∈[0，π]，所以θ＝.(2)ka－b＝(k－1,2k＋1)，依题意(3,3)·(k－1,2k＋1)＝0，所以3k－3＋6k＋3＝0. 所以k＝0.10．设平面三点A(1,0)，B(0,1)，C(2,5)，(1)试求向量2＋的模；(2)若向量与的夹角为θ，求cos θ.解：(1)因为A(1,0)，B(0,1)，C(2,5)，所以＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，＝(2,5)－(1,0)＝(1,5)．所以2＋＝2(－1,1)＋(1,5)＝(－1,7)．所以|2＋|＝ ＝5.(2)由(1)知＝(－1,1)，＝(1,5)，所以cos θ＝＝.B级——面向全国卷高考高分练1．(2019·全国卷Ⅱ)已知向量a＝(2,3)，b＝(3,2)，则|a－b|＝(　　)A.  B．2C．5  D．50解析：选A　∵ a－b＝(2,3)－(3,2)＝(－1,1)，∴ |a－b|＝ ＝.故选A.2．若a＝(x,2)，b＝(－3,5)，且a与b的夹角是钝角，则实数x的取值范围是(　　)A.  B.C.  D.解析：选C　x应满足(x,2)·(－3,5)＜0且a，b不共线，解得x＞，且x≠－，∴x＞.故选C.3．已知向量a＝(1,0)，b＝(cos θ，sin θ)，θ∈，则|a＋b|的取值范围是(　　)A．[0， ]  B．[0,2 ]C．[1,2]  D．[，2]解析：选D　|a＋b|＝＝. ∵θ∈，∴cos θ∈[0,1]．∴|a＋b|∈[，2]．故选D.4．已知O为坐标原点，向量＝(2,2)，＝(4,1)，在x轴上有一点P，使·有最小值，则点P的坐标是(　　)A．(－3,0)  B．(2,0)C．(3,0)  D．(4,0)解析：选C　设P(x,0)，则＝(x－2，－2)，＝(x－4，－1)，∴·＝(x－2)(x－4)＋2＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，故当x＝3时，·最小，此时点P的坐标为(3,0)．故选C.5．(2019·全国卷Ⅲ)已知向量a＝(2,2)，b＝(－8,6)，则cos〈a，b〉＝________.解析：∵ a＝(2,2)，b＝(－8,6)，∴ a·b＝2×(－8)＋2×6＝－4，|a|＝ ＝2，|b|＝ ＝10.∴ cos〈a，b〉＝＝＝－.答案：－6．如果正方形OABC的边长为1，点D，E分别为AB，BC的中点，那么cos∠DOE的值为________．解析：法一：以O为坐标原点，OA，OC所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则由已知条件，可得＝，＝.故cos∠DOE＝＝＝.法二：∵＝＋＝＋，＝＋＝＋，∴||＝，||＝，·＝2＋2＝1，∴cos∠DOE＝＝.答案：7．已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2)．(1)若|c|＝2，且c∥a，求c的坐标；(2)若|b|＝，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.解：(1)设c＝(x，y)，∵|c|＝2，∴＝2，∴x2＋y2＝20.由c∥a和|c|＝2，可得解得或故c＝(2,4)或c＝(－2，－4)．(2)∵(a＋2b)⊥(2a－b)，∴(a＋2b)·(2a－b)＝0，即2a2＋3a·b－2b2＝0，∴2×5＋3a·b－2×＝0，整理得a·b＝－，∴cos θ＝＝－1.又θ∈[0，π]，∴θ＝π.C级——拓展探索性题目应用练已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，＝(4,0)，＝(2,2)，＝(1－λ)＋λ (λ2≠λ)．(1)求·及在上的投影向量；(2)证明A，B，C三点共线，且当＝时，求λ的值；(3)求||的最小值．解：(1)·＝4×2＋0×2＝8，设与的夹角为θ，则cos θ＝＝＝，∴在上的投影向量为||cos θ＝4××＝(1，)．(2)证明：∵＝－＝(－2,2)，＝－＝(1－λ)－(1－λ)＝(λ－1)，且λ2≠λ，∴A，B，C三点共线．当＝时，λ－1＝1，所以λ＝2.(3)||2＝(1－λ)22＋2λ(1－λ)·＋λ22＝16λ2－16λ＋16＝162＋12，∴当λ＝时，||取得最小值，为2.6．4 平面向量的应用6．4.1 平面几何中的向量方法6．4.2 向量在物理中的应用举例 新课程标准新学法解读1.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题．2.体会向量在解决数学和实际问题中的作用.1.通过训练，体会几何中向量方法的解题思路是“形到向量→向量的运算→向量和数到形”．2.向量在物理中的运用，需注意两个方面：一是体会如何把物理量之间的关系抽象成数学模型，二是如何用向量来解决这个数学模型. 1．在△ABC中，已知A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，则BC边的中线AD的长是(　　)A．2　　　　　　　　 B.C．3  D.解析：选B　BC中点为D，＝，所以||＝.2．当两人提起重量为G的旅行包时，夹角为θ，两人用力大小都为|F|，若|F|＝|G|，则θ的值为(　　)A．30°  B．60°C．90°  D．120°解析：选D　作＝F1，＝F2，＝－G，则＝＋，当|F1|＝|F2|＝|G|时，△OAC为正三角形，所以∠AOC＝60°. 从而∠AOB＝120°.3．已知力F的大小|F|＝10，在F的作用下产生的位移s的大小|s|＝14，F与s的夹角为60°，则F做的功为(　　)A．7  B．10C．14  D．70解析：选D　F做的功为F·s＝|F||s|cos 60°＝10×14×＝70.4．已知向量a＝(1,1)，b＝(1，m)，其中m为实数，则当a与b的夹角在内变动时，实数m的取值范围是________．解析：如图：令＝a，则A的坐标为(1,1)．作如图所示的，，使∠AOB1＝∠AOB2＝，则∠B1Ox＝－＝，∠B2Ox＝＋＝，可知B1，B2(1，)，又a与b的夹角不为0，所以m≠1，结合图形可知，实数m的取值范围是∪(1，)．答案：∪(1，) 1．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系．2．向量在物理中的应用(1)物理问题中常见的向量有力、速度、位移等．(2)向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解中．(3)动量mv是向量的数乘运算．(4)功是力F与位移s的数量积．　向量在平面几何证明问题中的应用 [例1]　如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.[证明]　法一：设＝a，＝b，则|a|＝|b|，a·b＝0，又＝＋＝－a＋b，＝＋＝b＋a，所以·＝·＝－a2－a·b＋b2＝－|a|2＋|b|2＝0.故⊥，即AF⊥DE.法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，＝(2,1)，＝(1，－2)．因为·＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0，所以⊥，即AF⊥DE.用向量证明平面几何问题的两种基本思路(1)向量的线性运算法的四个步骤：①选取基底；②用基底表示相关向量；③利用向量的线性运算或数量积找到相应关系；④把计算所得结果转化为几何问题．(2)向量的坐标运算法的四个步骤：①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化；③用向量的坐标运算找到相应关系；④利用向量关系回答几何问题．　　　　  [变式训练]1．试用向量方法证明：平行四边形对角线的平方和等于其各边平方的和．证明：如图所示，在▱OACB中，设＝a，＝b，则＝a＋b，＝a－b.由于2＝·＝(a＋b)·(a＋b)＝|a|2＋2a·b＋|b|2，2＝(a－b)·(a－b)＝|a|2－2a·b＋|b|2，所以OC2＋BA2＝2|a|2＋2|b|2.由于OA＝BC＝|a|，OB＝AC＝|b|，所以OC2＋BA2＝OA2＋BC2＋OB2＋AC2.2．求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值．解：如图所示，分别以等腰直角三角形的两直角边为x轴，y轴建立直角坐标系．设A(2a,0)，B(0,2a)，则D(a,0)，C(0，a)，从而可求＝(－2a，a)，＝(a，－2a)．不妨设，的夹角为θ，则cos θ＝＝＝＝－.故所求钝角的余弦值为－.平面几何中的长度问题 [例2]　如图，在平行四边形ABCD中，AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．[解]　设＝a，＝b，则＝a－b，＝a＋b，而||＝|a－b|＝ ＝＝＝2，∴5－2a·b＝4，∴a·b＝，又||2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，∴||＝，即AC＝.利用向量法解决长度问题的策略向量法求平面几何中的长度问题，即向量长度的求解，一是利用图形特点选择基底，向向量的数量积转化，用公式|a|2＝a2求解；二是建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a＝(x，y)，则|a|＝ .　　　　 [变式训练]已知Rt△ABC中，∠C＝90°，设AC＝m，BC＝n.(1)若D为斜边AB的中点，求证：CD＝AB；(2)若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于F，求AF的长度(用m，n表示)．解：(1)证明：以C为坐标原点，以边CB，CA所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，A(0，m)，B(n,0)．∵D为AB的中点，∴D，∴||＝ ，||＝ ，∴||＝ ||，即CD＝AB.(2)∵E为CD的中点，∴E，设F(x,0)，则＝，＝(x，－m)．∵A，E，F三点共线，∴＝λ.即(x，－m)＝λ，则故λ＝，即x＝，∴F，∴||＝ ，即AF＝ .向量在物理中的应用 [例3]　(1)在长江南岸某渡口处，江水以12.5 km/h的速度向东流，渡船的速度为25 km/h. 渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？(2)已知两恒力F1＝(3,4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A(20,15)移动到点B(7,0)，求F1，F2分别对质点所做的功．(力的单位：牛顿，位移单位：米)[解]　(1)如图，设表示水流的速度，表示渡船的速度，表示渡船实际垂直过江的速度．∵＋＝，∴四边形ABCD为平行四边形．在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，||＝||＝12.5，||＝25，所以∠CAD＝30°，即渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西30°.(2)设物体在力F作用下的位移为s，则所做的功为W＝F·s.∵＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)．∴W1＝F1·＝(3,4)·(－13，－15)＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(焦)，W2＝F2·＝(6，－5)·(－13，－15)＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(焦)．用向量方法解决物理问题的“三步曲”　　　　 [变式训练]1．[变设问]本例(2)条件不变，求F1，F2的合力F为质点所做的功．解：W＝F·＝(F1＋F2)·＝[(3,4)＋(6，－5)]·(－13，－15)＝(9，－1)·(－13，－15)＝9×(－13)＋(－1)×(－15)＝－117＋15＝－102(焦)．2．[变条件]本例(2)条件变为：两个力F1＝i＋j，F2＝4i－5j作用于同一质点，使该质点从点A(20,15)移动到点B(7，0)(其中i，j分别是与x轴，y轴正方向同方向的单位向量)．求F1，F2分别对该质点做的功．解：由题意，＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)，F1＝(1,1)，F2＝(4，－5)．F1做的功W1＝F1·s＝F1·＝(1,1)·(－13，－15)＝－28(焦)．F2做的功W2＝F2·s＝F2·＝(4，－5)·(－13，－15)＝23(焦).A级——学考合格性考试达标练1．人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则逆风行驶的速度为(　　)A．v1－v2　　　　　　　　 B．v1＋v2C．|v1|－|v2|  D.解析：选B　由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v1＋v2. 注意速度是有方向和大小的，是一个向量．故选B.2．已知三个力F1＝(－2，－1)，F2＝(－3,2)，F3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力F4，则F4＝(　　)A．(－1，－2)  B．(1，－2)C．(－1,2)  D．(1,2)解析：选D　由物理知识知F1＋F2＋F3＋F4＝0，故F4＝－(F1＋F2＋F3)＝(1,2)．故选D.3．如果一架飞机向东飞行200 km，再向南飞行300 km，记飞机飞行的路程为s，位移为a，那么(　　 )A．s＞|a|  B．s＜|a|C．s＝|a|  D．s与|a|不能比大小解析：选A　s＝200＋300＝500(km)，|a|＝＝100(km)，∴s＞|a|.故选A.4．已知两个大小相等的共点力F1，F2，当它们的夹角为90°时，合力大小为20 N，当它们的夹角为120°时，合力大小为(　　)A．40 N  B．10 NC．20 N  D．40 N    解析：选B　如图，以F1，F2为邻边作平行四边形，F为这两个力的合力．由题意，易知当它们的夹角为90°时，|F|＝|F1|＝20 N，∴|F1|＝|F2|＝10 N．当它们的夹角为120°时，以F1，F2为邻边的平行四边形为菱形，此时|F|＝|F1|＝10 N．故选B.5．在△ABC中，若|＋|＝|－|，则△ABC的形状是(　　)A．等腰三角形  B．直角三角形C．等边三角形  D．等腰直角三角形解析：选B　由|＋|＝|－|得|＋|2＝|－|2，即·＝0，∴⊥. ∴∠A＝90°，即△ABC为直角三角形．故选B.6．一条河宽400 m，一船从A出发垂直到达正对岸的B处，船速为20 km/h，水速为12 km/h，则船到达B处所需时间为________．解析：合速度|v合|＝ ＝16(km/h)＝(m/min)，∴t＝400÷＝1.5(min)．答案：1.5 min7．已知A，B是圆心为C，半径为的圆上的两点，且|AB|＝，则·＝________.解析：由弦长|AB|＝，可知∠ACB＝60°，故·＝－·＝－||||cos∠ACB＝－.答案：－8．已知向量a＝，＝a－b，＝a＋b，若△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则△OAB的面积为________．解析：由题意，得|a|＝1，又△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，所以⊥，||＝||.由⊥得(a－b)·(a＋b)＝|a|2－|b|2＝0，所以|a|＝|b|，由||＝||得|a－b|＝|a＋b|，所以a·b＝0，所以|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＝2，所以||＝||＝，所以S△OAB＝××＝1.答案：19.如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2－AC2＝DB2－DC2，求证：AD⊥BC.证明：设＝a，＝b，＝e，＝c，＝d，则a＝e＋c，b＝e＋d，所以a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2＝c2＋2e·c－2e·d－d2.由已知可得a2－b2＝c2－d2，所以e·(c－d)＝0.因为＝＋＝d－c，所以·＝e·(d－c)＝0所以⊥，即AD⊥BC.10.如图所示，用两根分别长5 m和10 m的绳子将100 N的物体吊在水平屋顶AB上，平衡后G点距屋顶的距离恰好为5 m，求A处受力的大小．解：由已知条件可知AG与垂直方向成45°角，BG与垂直方向成60°角，设A处所受的力为Fa，B处所受的力为Fb，∴解得|Fa|＝150－50.故A处受力的大小为(150－50)N.B级——面向全国卷高考高分练1．已知一物体在共点力F1＝(lg 2，lg 2)，F2＝(lg 5，lg 2)的作用下产生位移s＝(2lg 5,1)，则共点力对物体做的功W为(　　)A．lg 2  B．lg 5C．1  D．2解析：选D　W＝(F1＋F2)·s＝(lg 2＋lg 5,2lg 2)·(2lg 5，1)＝(1,2lg 2)·(2lg 5,1)＝2lg 5＋2lg 2＝2.故选D.2．已知△ABC满足2＝·＋·＋·，则△ABC是(　　)A．等边三角形  B．锐角三角形C．直角三角形  D．钝角三角形解析：选C　由题意得，2＝·＋·＋·＝·(＋)＋·＝2＋·，∴·＝0，∴⊥，∴△ABC是直角三角形．故选C.3.如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是(　　 )A.  B．2C．0  D．1解析：选A　∵＝＋，·＝·(＋)＝·＋·＝·＝||＝，∴||＝1，||＝－1，∴·＝(＋)·(＋)＝·＋·＝－(－1)＋1×2＝－2＋＋2＝.故选A.4.如图，设P为△ABC内一点，且2＋2＋＝0，则S△ABP∶S△ABC＝(　　 )A.   B.C.   D.解析：选A　设AB的中点是D，∵＋＝2＝－，∴＝－，∴P为CD的五等分点，∴△ABP的面积为△ABC的面积的.故选A.5．若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为，则α与β的夹角θ的取值范围是________．解析：根据题意得|α||β|sin θ＝.又|α|＝1，|β|≤1，∴≤sin θ≤1，∴≤θ≤.答案：6．四边形ABCD中，已知＝＝(1,1)且＋＝，则此四边形的面积等于________．解析：∵＝，∴四边形ABCD是平行四边形．对＋＝两边平方得1＋1＋＝2，∴·＝0，∴BA⊥BC，且BA＝BC，∴四边形ABCD是正方形，且||＝，∴四边形ABCD的面积为2.答案：27．已知四边形ABCD是菱形，AC和BD是它的两条对角线．求证：AC⊥BD.证明：法一：∵＝＋，＝－，∴·＝(＋)·(－)＝||2－||2＝0.∴⊥，即AC⊥BD.法二：解答本题还可以用坐标法，解法如下．如图，以BC所在直线为x轴，以B为原点建立平面直角坐标系，则B(0,0)，设A(a，b)，C(c,0)，则由|AB|＝|BC|得a2＋b2＝c2.∵＝－＝(c,0)－(a，b)＝(c－a，－b)，＝＋＝(a，b)＋(c,0)＝(c＋a，b)，∴·＝c2－a2－b2＝0.∴⊥，即AC⊥BD.C级——拓展探索性题目应用练在某海滨城市O附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O(如图所示)的东偏南θcos θ＝，θ∈(0°，90°)方向300 km的海面P处，并以20 km/h的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km，并以10 km/h的速度不断增大．问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？注：cos(θ－45°)＝解：设t h后，台风中心移动到Q处，此时城市开始受到台风的侵袭，∠OPQ＝θ－45°.∵＝＋，∴2＝(＋)2＝2＋2＋2·.∴2＝2＋2－2||||cos(θ－45°)＝3002＋(20t)2－2×300×20t×＝100(4t2－96t＋900)．依题意得2≤(60＋10t)2，解得12≤t≤24.从而12 h后该城市开始受到台风的侵袭．6．4.3 余弦定理、正弦定理新课程标准新学法解读1.借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系．2.掌握余弦定理、正弦定理．3.能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题.1.弄清正弦定理、余弦定理的推导思路，并在此基础上掌握正、余弦定理的本质．2.在求解三角形问题时要注意养成作图分析的习惯. 第一课时　余弦定理 1．在△ABC中，符合余弦定理的是(　　)A．c2＝a2＋b2－2abcos C　 B．c2＝a2－b2－2bccos AC．b2＝a2－c2－2bccos A  D．cos C＝解析：选A　由余弦定理及其推论知只有A正确．故选A.2．在△ABC中，已知a＝9，b＝2，C＝150°，则c等于(　　 )A.  B．8C．10  D．7解析：选D　由余弦定理得：c＝＝＝7.故选D.3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，c＝2，cos A＝，则b＝(　　)A.  B.C．2  D．3解析：选D　由余弦定理得5＝b2＋4－2×b×2×，解得b＝3或b＝－(舍去)．故选D.4．在△ABC中，若a2－c2＋b2＝ab，则cos C＝________.解析：∵a2－c2＋b2＝ab，∴c2＝a2＋b2－ab.又∵c2＝a2＋b2－2abcos C，∴2cos C＝1.∴cos C＝.答案：1．余弦定理与勾股定理的关系余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．2．余弦定理的特点(1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立．(2)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量．3．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题(1)已知两边和夹角或已知三边能直接利用余弦定理解三角形．(2)若已知两边和一边的对角，可以用余弦定理解三角形．已知两边及一角解三角形 [例1]　(1)在△ABC中，已知b＝60 cm，c＝60 cm，A＝，则a＝________cm；(2)在△ABC中，若AB＝，AC＝5，且cos C＝，则BC＝________.[解析]　(1)由余弦定理得：a＝ ＝ ＝60(cm)．(2)由余弦定理得：()2＝52＋BC2－2×5×BC×，所以BC2－9BC＋20＝0，解得BC＝4或BC＝5.[答案]　(1)60　(2)4或5已知两边及一角解三角形的两种情况(1)若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解．(2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，再用余弦定理和三角形内角和定理求其它角．　　　　 [变式训练]1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝2，cos(A＋B)＝，则c＝(　　)A．4　　　　　　　　　　 B.C．3  D.解析：选D　cos C＝－cos(A＋B)＝－.又由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝9＋4－2×3×2×＝17，所以c＝.故选D.2．在△ABC中，a＝2，c＝＋，B＝45°，解这个三角形．解：根据余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accos B＝(2)2＋(＋)2－2×2×(＋)×cos 45°＝8，∴b＝2.又∵cos A＝＝＝，∴A＝60°，C＝180°－(A＋B)＝75°.已知三边解三角形 [例2]　在△ABC中，已知a＝2，b＝6＋2，c＝4，求A，B，C.[解]　根据余弦定理，得cos A＝＝＝.∵A∈(0，π)，∴A＝，cos C＝＝＝，∵C∈(0，π)，∴C＝.∴B＝π－A－C＝π－－＝π，∴A＝，B＝π，C＝.已知三角形三边解三角形的方法先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理的推论(或由求得的第一个角利用正弦定理)求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角．　　　　 [变式训练]1．[变条件]已知△ABC中，a∶b∶c＝2∶∶(＋1)，求△ABC中各角的度数．解：已知a∶b∶c＝2∶∶(＋1)，令a＝2k，b＝k，c＝(＋1)k(k＞0)，由余弦定理的推论，得cos A＝＝＝，∵0°<A<180°，∴A＝45°.cos B＝＝＝，∵0°<B<180°，∴B＝60°.∴C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°.2．[变条件，变设问]若三角形三边长之比是1∶∶2，则其所对角之比是(　　)A．1∶2∶3  B．1∶∶2C．1∶∶  D.∶∶2解析：选A　设三角形三边长分别为m，m,2m(m＞0)，最大角为A，则cos A＝＝0，∴A＝90°.设最小角为B，则cos B＝＝，∴B＝30°，∴C＝60°.故三角形三角之比为1∶2∶3.故选A.3．[变条件，变设问]在△ABC中，已知a2＋c2＝b2＋ac，且sin A∶sin C＝(＋1)∶2，求角C.解：∵a2＋c2＝b2＋ac，a2＋c2－b2＝2accos B.∴2accos B＝ac，∴cos B＝.∵0°＜B＜180°，∴B＝60°，A＋C＝120°.∵＝，∴2sin A＝(＋1)sin C.∴2sin(120°－C)＝(＋1)sin C.∴2sin 120°cos C－2cos 120°sin C＝(＋1)sin C.∴sin C＝cos C.∴tan C＝1.∵0°<C<180°.∴C＝45°.判断三角形的形状 [例3]　在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccos B·cos C，试判断△ABC的形状．[解]　将已知等式变形为b2(1－cos2C)＋c2(1－cos2B)＝2bccos Bcos C.由余弦定理并整理，得b2＋c2－b22－c22＝2bc××，∴b2＋c2＝＝＝a2.∴A＝90°.∴△ABC是直角三角形．利用余弦定理判断三角形形状的方法及注意事项(1)利用余弦定理把已知条件转化为边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)统一成边的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解．　　　　 [变式训练]在△ABC中，acos A＋bcos B＝ccos C，试判断△ABC的形状．解：由余弦定理知cos A＝，cos B＝，cos C＝，代入已知条件得a·＋b·＋c·＝0，通分得a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＋c2(c2－a2－b2)＝0，展开整理得(a2－b2)2＝c4.∴a2－b2＝±c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2.根据勾股定理知△ABC是直角三角形．A级——学考合格性考试达标练1．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝，b＝3，c＝2，则A＝(　　)A．30°　　　　　　　　　　 B．45°C．60°  D．90°解析：选C　∵a＝，b＝3，c＝2，∴由余弦定理得，cos A＝＝＝，又由A∈(0°，180°)，得A＝60°.故选C.2．在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝(　　)A．1  B．2C．3  D．4解析：选A　在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，AB2＝BC2＋AC2－2AC·BCcos C，可得：13＝9＋AC2＋3AC，解得AC＝1或AC＝－4(舍去)．故选A.3．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为(　　)A.  B.C.  D.解析：选D　设三角形的底边长为a，则周长为5a.∴等腰三角形腰的长为2a.设顶角为α，由余弦定理，得cos α＝＝.故选D.4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若>0，则△ABC(　　)A．一定是锐角三角形  B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形  D．是锐角或直角三角形解析：选C　由>0得－cos C>0，所以cos C<0，从而C为钝角，因此△ABC一定是钝角三角形．故选C.5．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为(　　)A.  B．8－4C．1  D.解析：选A　依题意两式相减得ab＝.故选A.6．在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cos B＝－，则b＝________.解析：由余弦定理得b2＝4＋(7－b)2－2×2×(7－b)×，解得b＝4.答案：47．已知a，b，c为△ABC的三边，B＝120°，则a2＋c2＋ac－b2＝________.解析：∵b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－2accos 120°＝a2＋c2＋ac，∴a2＋c2＋ac－b2＝0.答案：08．在△ABC中，若(a－c)(a＋c)＝b(b＋c)，则A＝________.解析：∵(a－c)(a＋c)＝b(b＋c)，∴a2－c2＝b2＋bc，即b2＋c2－a2＝－bc.∴cos A＝＝＝－.∵0°＜A＜180°，∴A＝120°.答案：120°9．在△ABC中，A＋C＝2B，a＋c＝8，ac＝15，求b.解：在△ABC中，∵A＋C＝2B，A＋B＋C＝180°，∴B＝60°.由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－2ac－2accos B＝82－2×15－2×15×＝19.∴b＝.10．在△ABC中，已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为120°，求三边长．解：由得∴a＞b＞c，∴A＝120°，∴a2＝b2＋c2－2bccos 120°，即(b＋4)2＝b2＋(b－4)2－2b(b－4)×，即b2－10b＝0，解得b＝0(舍去)或b＝10.当b＝10时，a＝14，c＝6.B级——面向全国卷高考高分练1．在△ABC中，AC＝2，BC＝2 ，∠ACB＝135°，过点C作CD⊥AB交AB于点D.则CD＝(　　)A.　　　　　　　　　 B.C.  D.解析：选A　根据余弦定理cos ∠ACB＝＝－，又∵AC＝2，BC＝2 代入公式得AB＝2 ，再由等积法可得×2 ·CD＝×2 ×2×，解得CD＝.故选A.2．锐角△ABC中，b＝1，c＝2，则a的取值范围是(　　)A．1<a<3  B．1<a<5C.<a<  D．不确定解析：选C　若a为最大边，则b2＋c2－a2>0，即a2<5，∴a<，若c为最大边，则a2＋b2>c2，即a2>3，∴a>，故<a<.故选C.3．在△ABC中，sin2＝，则△ABC的形状为(　　)A．正三角形  B．直角三角形C．等腰直角三角形  D．等腰三角形解析：选B　∵sin2＝＝，∴cos A＝＝，∴a2＋b2＝c2，符合勾股定理．故选B.4．在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，则· 的值为(　　)A．79  B．69C．5  D．－5解析：选D　由余弦定理得：cos∠ABC＝＝＝. 因为向量与的夹角为180°－∠ABC，所以·＝||||·cos(180°－∠ABC)＝5×7×＝－5.故选D.5．在△ABC中，AB＝2，AC＝，BC＝1＋，AD为边BC上的高，则AD的长是________．解析：∵cos C＝＝，∴sin C＝，∴AD＝ACsin C＝.答案：6．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝3b，c＝，且cos C＝，则a＝________，△ABC的面积为________．解析：∵a＝3b，∴b＝a.又c＝，且cos C＝，∴c2＝a2＋b2－2abcos C，即5＝a2＋a2－2a·a·，化简得a2＝9，解得a＝3或a＝－3(舍)．又C∈(0，π)，∴sin C＝ ＝，则S△ABC＝absin C＝.答案：3　7．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程x2－2x＋2＝0的两个根，且2cos(A＋B)＝1.(1)求角C的度数；(2)求AB的长度．解：(1)cos C＝cos [π－(A＋B)]＝－cos (A＋B)＝－，又0°<C<180°，所以C＝120°.(2)因为a，b是方程x2－2x＋2＝0的两个根，所以所以由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos C＝b2＋a2－2abcos 120°＝a2＋b2＋ab＝(a＋b)2－ab＝(2)2－2＝10.所以AB＝.C级——拓展探索性题目应用练在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且＝－.(1)求B的大小；(2)若b＝，a＋c＝4，求a的值．解：(1)由余弦定理得cos B＝，cos C＝，∴原式化为·＝－，整理得a2＋c2－b2＋ac＝0，∴cos B＝＝＝－，又0<B<π，∴B＝.(2)将b＝，a＋c＝4，B＝，代入b2＝a2＋c2－2accos B得，13＝a2＋(4－a)2－2a(4－a)·cos ，即a2－4a＋3＝0.解得a＝1或a＝3.第二课时　正弦定理1．有关正弦定理的叙述：①正弦定理只适用于锐角三角形；②正弦定理不适用于钝角三角形；③在某一确定的三角形中，各边与它的对角的正弦的比是定值；④在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c.其中正确的个数是(　　)A．1　　　　　　　　 B．2C．3  D．4解析：选B　正弦定理适用于任意三角形，故①②均不正确；由正弦定理可知，三角形一旦确定，则各边与其所对角的正弦的比就确定了，故③正确；由比例性质和正弦定理可推知④正确．故选B.2．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则sin B＝(　　)A.  B.C.  D.解析：选A　由于＝，故＝，解得sin B＝.故选A.3．在△ABC中，a∶b∶c＝1∶5∶6，则sin A∶sin B∶sin C等于(　　)A．1∶5∶6  B．6∶5∶1C．6∶1∶5  D．不确定解析：选A　由正弦定理，知sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝1∶5∶6.故选A.4．在△ABC中，A＝30°，a＝3，b＝2，则这个三角形有(　　)A．一解  B．两解C．无解  D．无法确定解析：选A　∵b<a，A＝30°，∴B<30°，故三角形有一解．故选A.5．在△ABC中，若B＝30°，b＝2，则＝________.解析：＝＝＝4.答案：41．正弦定理的特点(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．(3)刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系的互化．2．正弦定理的常见变形(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C(R为△ABC外接圆的半径)．(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝(R为△ABC外接圆的半径)．(3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.(4)＝＝＝.(5)asin B＝bsin A，asin C＝csin A，bsin C＝csin  B. 已知两角及一边解三角形     [例1]　在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A，c.[解]　A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°.由＝得，c＝＝＝＝4(＋1)．所以A＝45°，c＝4(＋1)．已知任意两角和一边，解三角形的步骤(1)求角：根据三角形内角和定理求出第三个角；(2)求边：根据正弦定理，求另外的两边．已知内角不是特殊角时，往往先求出其正弦值，再根据以上步骤求解．　　　　 [变式训练]已知在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a，b和B.解：∵＝，∴a＝＝＝10.B＝180°－(A＋C)＝180°－(45°＋30°)＝105°.又∵＝，∴b＝＝＝20sin 75°＝20×＝5(＋).已知两边及一边的对角解三角形 [例2]　在△ABC中，已知a＝2，c＝，C＝，求A，B，b.[解]　∵＝，∴＝，解得：sin A＝，又∵a＜c，C＝，∴A＝.∴B＝π－A－C＝π－－＝，sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝，∴b＝＝＝＋1.已知三角形两边和一边的对角解三角形的方法(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一．(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．　　　　 [变式训练]1．[变条件，变设问]若把本例中a＝2改为B＝，求A，a，b的值．解：由三角形内角和定理知A＝π－－＝.又由正弦定理＝，得b＝＝＝2.又由＝，得a＝＝＝＋1.2．在△ABC中，a＝1，b＝，A＝30°，求边c的长．解：由＝，得sin B＝＝.∵a<b，∴B>A＝30°，∴B为60°或120°.①当B＝60°时，C＝180°－60°－30°＝90°.此时，c＝ ＝＝2.②当B＝120°时，C＝180°－120°－30°＝30°. 此时，c＝a＝1.综上知c＝1或2.判断三角形的形状 [例3]　在△ABC中，若sin A＝2sin Bcos C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．[解]　法一：根据正弦定理，得＝＝，∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2，∴A是直角，B＋C＝90°，∴2sin Bcos C＝2sin Bcos(90°－B)＝2sin2B＝sin A＝1，∴sin B＝.∵0°＜B＜90°，∴B＝45°，C＝45°， ∴△ABC是等腰直角三角形．法二：根据正弦定理，得＝＝，∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2，∴A是直角．∵A＝180°－(B＋C)，sin A＝2sin Bcos C，∴sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bcos C，∴sin(B－C)＝0.又－90°＜B－C＜90°，∴B－C＝0，∴B＝C，∴△ABC是等腰直角三角形．判断三角形形状的方法及注意事项(1)利用余弦定理、正弦定理把已知条件转化为边(或角)的关系，通过因式分解、配方等得出边(或角)的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)统一成边(或角)的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解．　　　　 [变式训练]在△ABC中，已知3b＝2asin B，且cos B＝cos C，角A是锐角，则△ABC的形状是(　　)A．直角三角形　　　　　　　 B．等腰三角形C．等腰直角三角形  D．等边三角形解析：选D　由3b＝2asin B，得＝，根据正弦定理，得＝，所以＝，即sin A＝.又角A是锐角，所以A＝60°. 又cos B＝cos C，且B，C都为三角形的内角，所以B＝C. 故△ABC为等边三角形，故选D.正、余弦定理的简单综合[例4]　设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A＝acos B.(1)求角B的大小；(2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值．[解]　(1)∵bsin A＝acos B，由正弦定理得sin Bsin A＝sin Acos B.在△ABC中，sin A≠0，即得tan B＝，∴B＝.(2)∵sin C＝2sin A，由正弦定理得c＝2a，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，即9＝a2＋4a2－2a·2acos ，解得a＝，∴c＝2a＝2.利用正、余弦定理解三角形的注意点正余弦定理都是用来解三角形的，但在解题过程中要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，应抓住两个定理的特点：正弦定理“边对角”，余弦定理“边夹角”，正确选择定理是解决此类题目的关键．　　　　 [变式训练](2019·山东临沂高二检测)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asin A＋csin C－asin C＝bsin B.(1)求角B的大小；(2)若A＝75°，b＝2，求a，c.解：(1)由正弦定理得a2＋c2－ac＝b2.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B.故cos B＝，因此B＝45°.(2)sin A＝sin (30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝.故由正弦定理得a＝b·＝1＋.由已知得，C＝180°－45°－75°＝60°，c＝b·＝2×＝.A级——学考合格性考试达标练 1．在△ABC中，a＝5，b＝3，则sin A∶sin B的值是(　　)A.　　　　　　　　　　 B.C.  D.解析：选A　根据正弦定理得＝＝.故选A.2．在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是(　　)A．锐角三角形  B．直角三角形C．钝角三角形  D．等腰三角形解析：选B　由题意有＝b＝，则sin B＝1，即角B为直角，故△ABC是直角三角形．故选B.3．在△ABC中，若a＝2，b＝2，A＝30°，则B为(　　)A．60°  B．60°或120°C．30°  D．30°或150°解析：选B　由正弦定理可知＝，∴sin B＝＝＝，∵B∈(0°，180°)，∴B＝60°或120°.故选B.4．已知△ABC中，b＝4，c＝2，C＝30°，那么此三角形(　　)A．有一解  B．有两解C．无解  D．解的个数不确定解析：选C　由正弦定理和已知条件得＝，∴sin B＝>1，∴此三角形无解．故选C.5．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，C＝，c＝，a＝x，若满足条件的三角形有两个，则x的取值范围是(　　)A.  B．(，2)C．(1,2)  D．(1，)解析：选B　在△ABC中，根据正弦定理＝即＝，所以sinA＝x，由题意可得，当A∈(，)时，满足条件的△ABC有两个，所以<x<1，解得<x<2.则x的取值范围是(，2)．故选B.6．在△ABC中，若BC＝，sin C＝2sin A，则AB＝________.解析：由正弦定理，得AB＝BC＝2BC＝2.答案：27．在△ABC中，若A＝105°，C＝30°，b＝1，则c＝________.解析：由题意，知B＝180°－105°－30°＝45°.由正弦定理，得c＝＝＝.答案：8．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角所对的边，若a＝1，b＝，A＋C＝2B，则sin A＝________.解析：∵A＋C＝2B，A＋B＋C＝π，∴B＝，∴由正弦定理＝，得＝.∴sin A＝.答案：9．已知一个三角形的两个内角分别是45°，60°，它们所夹边的长是1，求最小边长．解：设△ABC中，A＝45°，B＝60°，则C＝180°－(A＋B)＝75°.因为C>B>A，所以最小边为a.又因为c＝1，由正弦定理，得a＝＝＝－1，所以最小边长为－1.10．在△ABC中，已知b2＝ac，a2－c2＝ac－bc.(1)求角A的大小；(2)求的值．解：(1)由题意知，b2＝ac⇒cos A＝＝＝，∵A∈(0，π)，∴A＝.(2)由b2＝ac，得＝，∴＝sin B·＝sin B·＝sin A＝.B级——面向全国卷高考高分练1．[多选]下列命题中，正确的是(　　)A．在△ABC中，若A>B，则sin A>sin BB．在锐角△ABC中，不等式sin A>cos B恒成立C．在△ABC中，若acos A＝bcos B，则△ABC必是等腰直角三角形D．在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC必是等边三角形解析：选ABD　对于A，在△ABC中，由正弦定理可得＝，所以sin A>sin B⇔a>b⇔A>B，故A正确；对于B，在锐角△ABC中，A，B∈，且A＋B>，则>A>－B>0，所以sin A>sin＝cos B，故B正确；对于C，在△ABC中，由acos A＝bcos B，利用正弦定理可得sin 2A＝sin 2B，得到2A＝2B或2A＝π－2B，故A＝B或A＝－B，即△ABC是等腰三角形或直角三角形，故C错误；对于D，在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，由余弦定理可得，b2＝a2＋c2－2accos B，所以ac＝a2＋c2－ac，即(a－c)2＝0，解得a＝c，又B＝60°，所以△ABC必是等边三角形，故D正确．故选A、B、D.2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c＝2acos B，则三角形一定是(　　)A．等腰直角三角形  B．直角三角形C．等腰三角形  D．等边三角形解析：选C　∵c＝2acos B，∴sin C＝2sin Acos B，∴sin(A＋B)＝2sin Acos B，∴sin Acos B＋cos Asin B＝2sin Acos B，∴sin Acos B－cos Asin B＝0，∴sin(A－B)＝0，∴A＝B.故选C.3．(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin A－bsin B＝4csin C，cos A＝－，则＝(　　)A．6  B．5C．4  D．3解析：选A　∵ asin A－bsin B＝4csin C，∴ 由正弦定理得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2.由余弦定理得cos A＝＝＝＝－，∴ ＝6.故选A.4．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.△ABC的面积为4 ，且2bcos A＋a＝2c，a＋c＝8，则其周长为(　　)A．10  B．12C．8＋  D．8＋2 解析：选B　∵2bcos A＋a＝2c，∴2sin Bcos A＋sin A＝2sin C，又∵A＋B＋C＝π，∴2sin Bcos A＋sin A＝2sin(A＋B)＝2sin Acos B＋2cos Asin B，∴sin A＝2sin Acos B，∵sin A≠0，∴cos B＝，又∵0<B<π，∴B＝.由△ABC的面积为4 得acsin B＝4 ，∴ac＝16，又∵a＋c＝8∴a＝c＝4，∴△ABC为等边三角形，∴△ABC的周长为3×4＝12.故选B.5．在单位圆上有三点A，B，C，设△ABC三边长分别为a，b，c，则＋＋＝________.解析：∵△ABC的外接圆直径为2R＝2，∴＝＝＝2R＝2，∴＋＋＝2＋1＋4＝7.答案：76．(2018·浙江高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，A＝60°，则sin B＝_______，c＝________.解析：由正弦定理＝，得sin B＝·sin A＝×＝.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得7＝4＋c2－4c×cos 60°，即c2－2c－3＝0，解得c＝3或c＝－1(舍去)．答案：　37．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2b·cos A＝c·cos A＋a·cos C.(1)求角A的大小；(2)若a＝，b＋c＝4，求bc的值．解：(1)根据正弦定理及2b·cos A＝c·cos A＋a·cos C，得2sin Bcos A＝sin Ccos A＋sin Acos C＝sin(A＋C)＝sin B.∵sin B≠0，∴cos A＝.∵0＜A＜π，∴A＝.(2)根据余弦定理得7＝a2＝b2＋c2－2bccos ＝(b＋c)2－3bc，∵b＋c＝4，∴bc＝3. C级——拓展探索性题目应用练在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos 2C＝－.(1)求sin C的值；(2)当a＝2,2sin A＝sin C时，求b及c的长．解：(1)∵cos 2C＝1－2sin2C＝－，0＜C＜π，∴sin C＝.(2)当a＝2,2sin A＝sin C时，由正弦定理＝，得c＝4.由cos 2C＝2cos2C－1＝－及0＜C＜π，得cos C＝±.由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，得b2±b－12＝0(b＞0)，解得b＝或2，∴或第三课时　余弦定理、正弦定理应用举例 1．若P在Q的北偏东44°50′方向上，则Q在P的(　　)A．东偏北45°10′方向上　　 B．东偏北44°50′方向上C．南偏西44°50′方向上  D．西偏南44°50′方向上解析：选C　如图所示．2．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为(　　)A．α＞β  B．α＝βC．α＋β＝90°  D．α＋β＝180°解析：选B　根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图．知α＝β，故选B.3．两灯塔A，B与海洋观察站C的距离都等于a(km)，灯塔A在C北偏东30°，B在C南偏东60°，则A，B之间距离为(　　)A.a km  B.a kmC．a km  D．2a km解析：选A　△ABC中，AC＝BC＝a，∠ACB＝90°，所以AB＝a.故选A.4．已知A，B两地相距10 km，B，C两地相距20 km，且∠ABC＝120°，则A，C两地相距(　　)A．10 km  B．10 kmC．10 km  D．10 km解析：选D　AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos 120°＝700，∴AC＝10 km.故选D.5．一船以每小时15 km的速度向东行驶，船在A处看到一灯塔B在北偏东60°，行驶4 h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔的距离为________km.  解析：如图所示，AC＝15×4＝60.∠BAC＝30°，∠B＝45°，在△ABC中，＝，∴BC＝30.答案：30运用正、余弦定理解决实际问题的基本步骤(1)分析：理解题意，弄清已知与未知，画出示意图(一个或几个三角形)；(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解三角形的数学模型；(3)求解：利用正弦定理、余弦定理解三角形，求得数学模型的解；(4)检验：检验所求的解是否符合实际问题，从而得出实际问题的解．测量距离问题 [例1]　(1)如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则河的宽度是________m.(2)如图，为测量河对岸A，B两点间的距离，沿河岸选取相距40 m的C，D两点，测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，则A，B两点的距离是________．[解析]　(1)tan 30°＝，tan 75°＝，又AD＋DB＝120，∴AD·tan 30°＝(120－AD)·tan 75°，∴AD＝60，故CD＝60.(2)在△BCD中，∠BDC＝60°＋30°＝90°，∠BCD＝45°，∴∠CBD＝90°－45°＝∠BCD，∴BD＝CD＝40，BC＝ ＝40.在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACD＝60°＋45°＝105°，∴∠CAD＝180°－(30°＋105°)＝45°.由正弦定理，得AC＝＝20.在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos ∠BCA＝(20)2＋(40)2－2×40×20cos 60°＝2 400，∴AB＝20，故A，B两点之间的距离为20 m.[答案]　(1)60　(2)20 m测量距离的基本类型及方案类型A，B两点间不可通或不可视A，B两点间可视，但有一点不可达A，B两点都不可达图形方法先测角C，AC＝b，BC＝a，再用余弦定理求AB以点A不可达为例，先测角B，C，BC＝a，再用正弦定理求AB测得CD＝a，∠BCD，∠BDC，∠ACD，∠ADC，∠ACB，在△ACD中用正弦定理求AC；在△BCD中用正弦定理求BC；在△ABC中用余弦定理求AB　　　　 [变式训练]1．海上A，B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离是(　　)A．10 海里　　　　　　 B. 海里C．5 海里  D．5 海里    解析：选D　如图所示，根据题意，在△ABC中，A＝60°，B＝75°，AB＝10，∴C＝45°.由正弦定理可得＝，即＝，∴BC＝5(海里)．故选D.2.在某次军事演习中，红方为了准确分析战场形势，在两个相距为的军事基地C和D测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°，如图所示，求蓝方这两支精锐部队之间的距离．解：∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，又∠DCA＝60°，∴∠DAC＝60°.∴AD＝CD＝AC＝a.在△BCD中，∠DBC＝45°，∵＝，∴BC＝a.在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 45°＝a2＋a2－2×a×a×＝a2.∴AB＝a.∴蓝方这两支精锐部队之间的距离为a.测量高度问题 [例2]　如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两点C与D.现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.[解]　在△BCD中，∠CBD＝π－(α＋β)．由正弦定理得＝.∴BC＝＝.在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝.测量高度问题的解题策略(1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题．(2)“解直角三角形”与“解斜三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路．　　　　 [变式训练]如图所示，A，B是水平面上的两个点，相距800 m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D点是点C到水平面的垂足，求山高CD.解：由于CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°，所以CD＝AD.因此只需在△ABD中求出AD即可，在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，由＝，得AD＝＝＝800(＋1)(m)．即山的高度为800(＋1)m.测量角度问题 [例3]　某货船在索马里海域航行中遭海盗袭击，发出呼叫信号，如图，我海军护航舰在A处获悉后，立即测出该货船在方位角为45°，距离为10 海里的C处，并测得货船正沿方位角为105°的方向，以10 海里/小时的速度向前行驶，我海军护航舰立即以10 海里/小时的速度前去营救，求护航舰的航向和靠近货船所需的时间．[解]　设所需时间为t小时，则AB＝10t，CB＝10t，在△ABC中，根据余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos 120°，可得(10t)2＝102＋(10t)2－2×10×10tcos 120°，整理得2t2－t－1＝0，解得t＝1或t＝－(舍去)．所以护航舰需要1小时靠近货船．此时AB＝10，BC＝10，在△ABC中，由正弦定理得＝，所以sin∠CAB＝＝＝，所以∠CAB＝30°，所以护航舰航行的方位角为75°.测量角度问题的基本思路测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．　　　　 [变式训练]某海上养殖基地A，接到气象部门预报，位于基地南偏东60°相距20(＋1)海里的海面上有一台风中心，影响半径为20海里，正以每小时10 海里的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心将从基地东北方向刮过且＋1小时后开始持续影响基地2小时．求台风移动的方向．解：如图所示，设预报时台风中心为B，开始影响基地时台风中心为C，基地刚好不受影响时台风中心为D，则B，C，D在一直线上，且AD＝20，AC＝20.由题意AB＝20(＋1)，DC＝20，BC＝(＋1)·10.在△ADC中，因为DC2＝AD2＋AC2，所以∠DAC＝90°，∠ADC＝45°.在△ABC中，由余弦定理得cos∠BAC＝＝.所以∠BAC＝30°，又因为B位于A南偏东60°，60°＋30°＋90°＝180°，又D位于A的正北方向，又因为∠ADC＝45°，所以台风移动的方向为北偏西45°.
A级——学考合格性考试达标练1．从地面上观察一建在山顶上的建筑物，测得其视角为α，同时测得建筑物顶部仰角为β，则山顶的仰角为(　　)A．α＋β　　　　　　　　　 B．α－βC．β－α  D．α解析：选C　如图可知，山顶的仰角为β－α.故选C.2．两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　　)A．北偏东10°　 　 B．北偏西10°C．南偏东10°　 　　 D．南偏西10° 解析：选B　灯塔A，B的相对位置如图所示，由已知得∠ACB＝80°，∠CAB＝∠CBA＝50°，则α＝60°－50°＝10°，即北偏西10°.故选B.3．一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68 n mile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为(　　)A. n mile/h  B．34 n mile/hC. n mile/h  D．34 n mile/h解析：选A　如图所示，在△PMN中，＝，∴MN＝＝34，∴v＝＝ (n mile/h)．故选A.4．在地面上点D处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A与底部B的仰角分别为60°和30°，已知建筑物底部高出地面D点20 m，则建筑物高度为(　　)A．20 m  B．30 mC．40 m  D．60 m解析：选C　如图，设O为塔顶在地面的射影，在Rt△BOD中，∠ODB＝30°，OB＝20，BD＝40，OD＝20. 在Rt△AOD中，OA＝OD·tan 60°＝60. ∴AB＝OA－OB＝40. 故选C.5．一艘船以4 km/h的速度与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h，则经过 h，则船实际航程为(　　)A．2 km  B．6 kmC．2 km  D．8 km解析：选B　如图所示，在△ACD中，AC＝2，CD＝4，∠ACD＝60°，∴AD2＝12＋48－2×2×4×＝36.∴AD＝6.即该船实际航程为6 km.故选B.6．某人从A处出发，沿北偏东60°行走3 km到B处，再沿正东方向行走2 km到C处，则A，C两地的距离为________km.解析：如图所示，由题意可知AB＝3，BC＝2，∠ABC＝150°.由余弦定理，得AC2＝27＋4－2×3×2×cos 150°＝49，AC＝7. 则A，C两地的距离为7 km.答案：77．如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°.若山高AD＝100 m，汽车从C点到B点历时14 s，则这辆汽车的速度为________m/s.(精确到0.1，参考数据：≈1.414，≈2.236)解析：由题意，AB＝200 m，AC＝100  m，由余弦定理可得BC＝ ≈316.2 (m)，这辆汽车的速度为316.2÷14≈22.6 (m/s)．答案：22.68．上海世博园中的世博轴是一条1 000 m长的直线型通道，中国馆位于世博轴的一侧．现测得中国馆到世博轴两端的距离相等，并且从中国馆看世博轴两端的视角为120°.据此数据计算，中国馆到世博轴其中一端的距离是________m.解析：如图所示，设A，B为世博轴的两端点，C为中国馆，由题意知∠ACB＝120°，且AC＝BC，过C作AB的垂线交AB于D，在Rt△CBD中，DB＝500 m，∠DCB＝60°，∴BC＝ m.答案：9.如图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为12 n mile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°，求A与D间的距离．解：在△ABD中，∠ADB＝60°，∠DAB＝75°，∴B＝45°.∴AD＝＝＝24(n mile)．即A与D间的距离为24 n mile.10．在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A处(－1)n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A 2 n mile的C处的缉私船奉命以10 n mile/h的速度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？解：设缉私船用t h在D处追上走私船，画出示意图，则有CD＝10t，BD＝10t，在△ABC中，∵AB＝－1，AC＝2，∠BAC＝120°，∴由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝(－1)2＋22－2·(－1)·2·cos 120°＝6，∴BC＝，且sin∠ABC＝·sin∠BAC＝·＝，∴∠ABC＝45°，BC与正北方向成90°角．∵∠CBD＝90°＋30°＝120°，在△BCD中，由正弦定理，得sin∠BCD＝＝＝，∴∠BCD＝30°.即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船． B级——面向全国卷高考高分练1．如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C，然后给出了三种测量方案(△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)：①测量A，B，b；②测量a，b，C；③测量A，B，a.则一定能确定A，B间距离的所有方案的个数为(　　)A．3  B．2C．1  D．0解析：选A　对于①，利用内角和定理先求出C＝π－A－B，再利用正弦定理＝解出c；对于②，直接利用余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C即可解出c；对于③，先利用内角和定理求出C＝π－A－B，再利用正弦定理＝解出c.故选A.2．甲船在湖中B岛的正南A处，AB＝3 km，甲船以8 km/h的速度向正北方向航行，同时乙船从B岛出发，以12 km/h 的速度向北偏东60°方向驶去，则行驶15 min时，两船的距离是(　　)A. km  B. kmC. km  D. km解析：选B　由题意知AM＝8×＝2，BN＝12×＝3，MB＝AB－AM＝3－2＝1，所以由余弦定理，得MN2＝MB2＋BN2－2MB·BNcos 120°＝1＋9－2×1×3×＝13，所以MN＝ km.故选B.3.如图所示，在山底A处测得山顶B的仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1 000 m到达S点，又测得山顶仰角∠DSB＝75°，则山高BC为(　　)A．500 mB．200 mC．1 000 mD．1 000 m解析：选D　∵∠SAB＝45°－30°＝15°，∠SBA＝∠ABC－∠SBC＝45°－(90°－75°)＝30°，在△ABS中，AB＝＝＝1 000，∴BC＝AB·sin 45°＝1 000×＝1 000(m)．故选D.4．如图，从气球A上测得其正前下方的河流两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度AD是60 m，则河流的宽度BC是(　　)A．240(－1)m  B．180(－1)mC．120(－1)m  D．30(＋1)m解析：选C　由题意知，在Rt△ADC中，∠C＝30°，AD＝60 m，∴AC＝120 m．在△ABC中，∠BAC＝75°－30°＝45°，∠ABC＝180°－45°－30°＝105°，由正弦定理，得BC＝＝＝120(－1)(m)．故选C.5．台风中心从A地以每小时20 km的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A的正东40 km处，B城市处于危险区内的持续时间为________h.解析：设t h时，B市恰好处于危险区，则由余弦定理得(20t)2＋402－2×20t×40×cos 45°＝302. 化简，得4t2－8t＋7＝0，∴t1＋t2＝2，t1·t2＝.从而|t1－t2|＝＝1(h)．答案：16．当太阳光线与水平面的倾斜角为60°时，一根长为2 m的竹竿，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角α＝________.解析：如图，设竹竿与地面所成的角为α，影子长为x，依据正弦定理可得＝.所以x＝·sin(120°－α)．因为0°<120°－α<120°，所以要使x最大，只需120°－α＝90°，即α＝30°时，影子最长．答案：30°7．某校高一年级某班开展数学活动，小李和小军合作用一副三角板测量学校的旗杆高度，小李站在B点测得旗杆顶端E点的仰角为45°，小军站在点D测得旗杆顶端E点的仰角为30°，已知小李和小军相距(BD)6米，小李的身高(AB)1.5米，小军的身高(CD)1.75米，求旗杆的高EF的长．(结果精确到0.1，参考数据：≈1.41，≈1.73)解：过点A作AM⊥EF于M，过点C作CN⊥EF于N，∴MN＝0.25，∵∠EAM＝45°，∴AM＝ME，设AM＝ME＝x，则CN＝(x＋6)，EN＝(x－0.25)，∵∠ECN＝30°，∴tan∠ECN＝＝＝，解得：x≈8.8，则EF＝EM＋MF≈8.8＋1.5＝10.3(m)．答：旗杆的高EF约为10.3 m.C级——拓展探索性题目应用练为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1 km处不能收到手机信号，检查员抽查青岛市一考点，在考点正西 km有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时12 km的速度沿公路行驶，问最长需要多少分钟检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？解：如图所示，考点为A，检查开始处为B，设检查员行驶到公路上C，D两点之间时收不到信号，即公路上C，D两点到考点的距离为1 km.在△ABC中，AB＝(km)，AC＝1(km)，∠ABC＝30°，由正弦定理，得sin∠ACB＝×AB＝，∴∠ACB＝120°(∠ACB＝60°不合题意)，∴∠BAC＝30°，∴BC＝AC＝1(km)．在△ACD中，AC＝AD＝1，∠ACD＝60°，∴△ACD为等边三角形，∴CD＝1(km)．∵×60＝5，∴在BC上需5 min，CD上需5 min.∴最长需要5 min检查员开始收不到信号，并持续至少5 min才算合格． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 [本章知识结构——建体系]  [核心知识点拨——握重难] 一、平面向量的线性运算及运算律1．平面向量的加、减、数乘运算(1)向量加法是由三角形法则定义的，要点是“首尾相连”，即＋＝；向量加法的平行四边形法则：将两向量移至共起点，分别为邻边作平行四边形，则同起点对角线的向量即为向量的和．加法满足交换律、结合律．(2)向量减法实质是向量加法的逆运算，是相反向量的作用．几何意义有两个：一是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量；二是加法的平行四边形法则的另外一条对角线的向量．注意两向量要移至共起点．(3)数乘运算即通过实数与向量的乘积，实现同向或反向上向量长度的伸缩变换．2．向量共线及平面向量基本定理(1)共线向量定理：向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.共线向量定理是证明平行的主要依据，也是解决三点共线问题的重要方法．特别地，平面内一点P位于直线AB上的条件是存在实数x，使＝x，或对直线外任意一点O，有＝x＋y(x＋y＝1)．(2)平面向量基本定理：如果向量e1，e2不共线，那么对于平面内的任一向量a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中{e1，e2}是平面的一组基底，e1，e2分别称为基向量．由定理可知，平面内任一向量都可以用两个不共线的向量表示出来，而且任意两个不共线的非零向量都可以作为基底．二、平面向量的坐标运算若a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则①a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2)；②a－b＝(a1－b1，a2－b2)；③λa＝(λa1，λa2)；④a·b＝a1b1＋a2b2；⑤a∥b⇔a1＝λb1，a2＝λb2(λ∈R)，或＝(b1≠0，b2≠0)；⑥a⊥b⇔a1b1＋a2b2＝0；⑦|a|＝＝ ；⑧若θ为a与b的夹角，则cos θ＝＝ .三、平面向量的数量积1．两向量的数量积及其运算律两个向量的数量积是a·b＝|a||b|cos θ，θ为a与b的夹角，数量积满足运算律：①与数乘的结合律，即(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律，即a·b＝b·a；③分配律，即(a＋b)·c＝a·c＋b·c.2．平面向量的数量积是向量的核心内容，向量的平行、垂直是向量中最基本、最重要的位置关系，而向量的夹角、长度是向量的数量特征．3．利用向量的数量积可以证明两向量垂直、平行，求两向量的夹角，计算向量的长度等．四、应用正、余弦定理解三角形解斜三角形有下表所示的四种情况：已知条件应用定理一般解法一边和两角(如a，B，C)正弦定理由A＋B＋C＝180°求出角A；由正弦定理求出b与c；S△＝acsin B在有解时只有一解两边和夹角(如a，b，C)余弦定理由余弦定理求出第三边c；由正弦定理求出小边所对的角；再由A＋B＋C＝180°求出另一角，S△＝absin C在有解时只有一解三边(a，b，c)余弦定理由余弦定理求出角A，B，再利用A＋B＋C＝180°求出角C，S△＝absin C在有解时只有一解两边和其中一边的对角(如a，b，A)正弦定理由正弦定理求出角B，由A＋B＋C＝180°求出角C，再利用正弦定理求出边c，S△＝absin C．可有两解，一解或无解. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 [计算问题与数学建模]——巧妙运用平面向量解题举例 由于平面向量融数、形于一体，具有几何直观性与代数抽象性的“双重身份”，从而沟通了代数、几何与三角之间的内在联系，使它成为中学数学知识的一个交汇点和联系多项内容的媒介．因此，向量的引入大大拓宽了解题的思路和方法，下面就简单举例如下：一、向量在解代数题中的应用[例1]　求函数f(x)＝3x＋2＋4的最大值．[解]　令a＝(3,4)，b＝(x，)，则f(x)＝a·b＋2，|a|＝5，|b|＝2，故f(x)＝a·b＋2≤|a||b|＋2＝12.当且仅当a与b同方向，即＝ >0时取等号，解得x＝.所以当x＝时，f(x)取得最大值12.二、向量在解平面几何题中的应用向量方法是借助向量的几何意义，把几何问题转化为向量的计算，通过向量计算达到求解目的，用向量方法解决几何问题，一方面体现向量的运用性，另一方面能在运用中加深对向量知识的理解与掌握．[例2]　求证：直径所对的圆周角是直角．[证明]　如图，令AB为圆O的直径，即AB＝2r，连接OD.∵O为AB中点，∴＝，又∵＝＋，∴＝＋＝－＝－，∴·＝(＋)·(－)＝2－2＝||2－||2＝r2－r2＝0，∴⊥即AD⊥BD，∴∠ADB＝90°，所以直径所对的圆周角为直角．综上所述，利用向量的知识可以解决代数、几何，甚至物理中的一些问题，它可以使一些复杂的问题变得简单，使抽象的问题变得具体．只要我们在平时的学习中合理使用向量这一工具来解决问题，就能培养学生学习向量的兴趣，加深各个学科之间的联系．[过河问题与数学建模]——向量在实际生活中的应用平面向量在实际生活中的运用，主要表现在向量的理论和方法成为解决物理学和工程技术的重要工具，物理学中的矢量即为向量，如力的分解、位移的确定、速度的合成等，均与向量息息相关. 下面就利用向量知识解决某船过河时遇到的几个问题．[典例]　一条河的两岸平行，河的宽度d＝500 m，一艘船从A处出发航行到河的正对岸B处．船航行的速度|v1|＝10 km/h，水流速度|v2|＝4 km/h.那么，(1)v1与v2的夹角θ(精确到1°)多大时，船才能垂直到达对岸B处？船行驶多少时间(精确到0.1 min)?(2)当船要到达图中的C，且BC为d时，对应的|v|，θ，t又是多少？参考数据：sin 24°≈　≈4.58.[解]　(1)∵速度是向量，如果水是静止的，则船只要取垂直于河岸的方向行驶就能垂直到达对岸B处，由于水的流动，船被冲向下游．而水速v2的方向平行河岸向下流，船实际的行进方向是垂直指向对岸的，这是合速度v的方向，显然合速度v的方向与水速v2的方向垂直，为90°，设v1的方向与水速v2的方向夹角为θ，根据向量的平行四边形法则，则θ>90°，故v1的方向与合速度v的方向夹角为(θ－90°)．先画出v2和v的方向，再利用三角形法则作出v－v2(即v1)，再把v1的起点平移到A，也可直接用平行四边形法则作出v1(注意v和v2的方向垂直)．∵sin(θ－90°)＝＝，由本题提供的参考数据示意图可得0°≤θ－90°<90°，∴θ≈114°，又∵cos θ＝－，∴sin θ＝≈0.92∴|v|＝＝|v1|sin θ≈9.2 km/h，t＝≈3.3 min.即v1与v2的夹角θ为114°时，船才能垂直到达对岸B处；船行驶3.3 min.(2)当船要到达图中的C时，∵BC＝AB＝d，∠BAC＝45°，此时合速度v的方向与水速v2的方向为90°＋45°＝135°，仍设v1的方向与水速v2的方向夹角为θ，根据向量的平行四边形法则，则θ>90°，故v1的方向与合速度v的方向夹角为(θ－135°)，如下面图：根据正弦定理得＝即＝，故θ≈151°；＝，即|v|＝≈6.9 (km/h)；t＝＝×60≈6.1 (min)．A卷——学考合格性考试滚动检测卷(时间：100分钟，满分：100分)一、选择题(本大题共20小题，每小题3分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在某测量中，设A在B的南偏东34°27′，则B在A的(　　)A．北偏西34°27′　　　　　　 B．北偏东55°33′C．北偏西55°32′  D．南偏西55°33′解析：选A　根据方向角的概念可知A正确．故选A.2．如果a，b是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是(　　)A．a＝b  B．a·b＝1C．a＝－b  D．|a|＝|b|解析：选D　两个单位向量的方向不一定相同或相反，所以选项A、C不正确；由于两个单位向量的夹角不确定，则a·b＝1不成立，所以选项B不正确；|a|＝|b|＝1，则选项D正确．故选D.3．在△ABC中，sin A＝sin C，则△ABC是(　　)A．直角三角形  B．等腰三角形C．锐角三角形  D．钝角三角形解析：选B　由sin A＝sin C，知a＝c，∴△ABC为等腰三角形．故选B.4．下列命题中正确的是(　　)A.－＝  B.＋＝0C．0·＝0  D.＋＋＝解析：选D　起点相同的向量相减，则取终点，并指向被减向量，－＝；，是一对相反向量，它们的和应该为零向量，＋＝0；0·＝0.故选D.5．点O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，则＋＋等于(　　)A.  B.C.  D．0解析：选A　＋＋＝＋＝.故选A.6．已知A(1,2)，B(3，－1)，C(3,4)，则·等于(　　)A．11  B．5C．－1  D．－2解析：选D　＝(2，－3)，＝(2,2)，则·＝2×2＋(－3)×2＝－2.故选D.7．已知向量a＝(1，m)，b＝(m,2)，若a∥b，则实数m等于(　　)A．－  B.C．－或  D．0解析：选C　由a∥b知1×2－m2＝0，即m＝或－.故选C.8．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是(　　)A.＝＋  B.＝－C.＝－＋  D.＝－－解析：选B　＝＋＝－＝－＝－－.故选B.9．如图，正方形ABCD中，点E，F分别是DC，BC的中点，那么＝(　　)A.＋B．－－C．－＋D.－解析：选D　 ＝＝(－)．故选D.10．若A(3，－6)，B(－5,2)，C(6，y)三点共线，则y＝(　　)A．13  B．－13C．9  D．－9解析：选D　＝(－8,8)，＝(3，y＋6)．∵∥，∴－8(y＋6)－24＝0，∴y＝－9.故选D.11．在△ABC中，若A＝105°，B＝45°，b＝2，则c等于(　　)A．1  B．2C.  D.解析：选B　∵A＝105°，B＝45°，∴C＝30°.由正弦定理，得c＝＝＝2.故选B.12．在△ABC中，a＝7，b＝10，c＝6，则△ABC是(　　)A．锐角三角形  B．钝角三角形C．直角三角形  D．以上答案都不对解析：选B　∵a＝7，b＝10，c＝6，∴b>a>c，∴∠B为最大角．由余弦定理，得cos B＝＝<0，∴∠B为钝角．故选B.13．已知两点A(4,1)，B(7，－3)，则与向量同向的单位向量是(　　)A.  B.C.  D.解析：选A　因为与同向的单位向量为，||＝ ＝5，＝(7，－3)－(4,1)＝(3，－4)，所以＝.故选A.14．已知向量＝，＝，则∠ABC＝(　　)A．30°  B．45°C．60°  D．120°解析：选A　·＝＋＝，||＝||＝1，所以cos∠ABC＝＝，又0°≤∠ABC≤180°，所以∠ABC＝30°.故选A.15．已知作用在点A的三个力F1＝(3,4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)且A(1,1)，则合力F＝F1＋F2＋F3的终点坐标为(　　)A．(9,1)  B．(1,9)C．(9,0)  D．(0,9)解析：选A　F＝F1＋F2＋F3＝(3,4)＋(2，－5)＋(3,1)＝(8,0)，设合力F的终点为P(x，y)，则＝＋F＝(1,1)＋(8,0)＝(9,1)．故选A.16．在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为(　　)A．平行四边形  B．矩形C．梯形  D．菱形解析：选C　∵＝＋＋＝－8a－2b＝2，∴四边形ABCD为梯形．故选C.17．若|a|＝|b|＝1，a⊥b，且(2a＋3b)⊥(ka－4b)，则k＝(　　)A．－6  B．6C．3  D．－3解析：选B　由题意，得(2a＋3b)·(ka－4b)＝2ka2＋(3k－8)a·b－12b2＝0，由于a⊥b，故a·b＝0，又|a|＝|b|＝1，于是2k－12＝0，解得k＝6.故选B.18．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝(　　)A．(－5，－10)  B．(－4，－8)C．(－3，－6)  D．(－2，－4)解析：选B　∵a∥b，∴－＝，∴m＝－4，∴b＝(－2，－4)，∴2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．故选B.19．在△ABC中，sin A＝，a＝10，则边长c的取值范围是(　　)A.  B．(10，＋∞)C．(0,10)  D.解析：选D　∵＝＝，∴c＝sin C.∴0＜c≤.故选D.20．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos A＋acos B＝c2，a＝b＝2，则△ABC的周长为(　　)A．7.5  B．7C．6  D．5解析：选D　∵bcos A＋acos B＝c2，a＝b＝2，∴由余弦定理可得：b×＋a×＝c2，整理可得：2c2＝2c3，∴解得c＝1，则△ABC的周长为a＋b＋c＝2＋2＋1＝5.故选D.二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分，请把答案填写在题中横线上)21．若C是线段AB的中点，则＋＝________.解析：∵C是线段AB的中点，∴AC＝CB.∴与方向相反，模相等．∴＋＝0.答案：022.如图所示，已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C的向量分别为r1，r2，r3，则＝________.(用r1，r2，r3表示)解析：＝＋＝＋＝＋－＝r3＋r1－r2.答案：r3＋r1－r223．已知|a|＝2，|b|＝3，a·b＝3，则a与b的夹角为________．解析：设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝，所以θ＝.答案：24．已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|＝________.解析：|a＋b|＝5⇒a2＋2a·b＋b2＝50，条件代入得|b|＝5.答案：525．在△ABC中，A＝60°，a＝4，b＝4，则B＝________. 解析：∵sin B＝＝＝，∴B＝45°或135°. ∵a>b，∴A>B，∴B＝45°.答案：45°三、解答题(本大题共3小题，共25分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)26.(本小题满分8分)如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，M，N分别是DC和AB的中点，若＝a，＝b，试用a，b表示，，.   解：如图所示，连接CN，则四边形ANCD是平行四边形．则＝＝＝a，＝－＝－＝b－a，＝－＝－－＝－－＝a－b.27．(本小题满分8分)在△ABC中，B＝45°，AC＝，cos C＝.(1)求BC边的长；(2)求AB边上的中线CD的长．解：(1)由cos C＝，得sin C＝，sin A＝sin(180°－45°－C)＝sin(135°－C)＝(cos C＋sin C)＝.由正弦定理，得BC＝·sin A＝×＝3.(2)由正弦定理，得AB＝·sin C＝×＝2.BD＝AB＝1.由余弦定理，得CD＝ ＝ ＝.28．(本小题满分9分)设向量a，b满足|a|＝1，|b|＝1，且a与b具有关系|ka＋b|＝|a－kb|(k＞0)．(1)a与b能垂直吗？(2)若a与b夹角为60°，求k的值．解：(1)∵|ka＋b|＝|a－kb|，∴(ka＋b)2＝3(a－kb)2.∵|a|＝|b|＝1.∴k2＋1＋2ka·b＝3(1＋k2－2ka·b)．∴a·b＝.∵k>0，∴≠0，∴a·b≠0，即a与b不垂直．(2)∵a与b夹角为60°，且|a|＝|b|＝1，∴a·b＝|a||b|cos 60°＝.由(1)知a·b＝，∴＝.∴k＝1.B卷——面向全国卷高考滚动检测卷 (时间：120分钟，满分150分)一、单项选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列等式中不正确的是(　　)A.＋＋＋＝0　　B.－＝C．0·＝0  D．λ(μa)＝(λμ)a解析：选B　－＝＝－，故B不正确．故选B.2．(全国卷Ⅱ)设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则(　　)A．a⊥b  B．|a|＝|b|C．a∥b  D．|a|＞|b|解析：选A　法一：∵|a＋b|＝|a－b|，∴|a＋b|2＝|a－b|2，∴a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b，∴a·b＝0，∴a⊥b.故选A.法二：利用向量加法的平行四边形法则．在▱ABCD中，设＝a，＝b，由|a＋b|＝|a－b|，知||＝||，从而四边形ABCD为矩形，即AB⊥AD，故a⊥b.故选A.3．设向量a＝(－3,4)，向量b与向量a方向相反，且|b|＝10，则向量b的坐标为(　　)A.  B．(－6,8)C.  D．(6，－8)解析：选D　因为向量b与向量a方向相反，所以可设b＝λa＝(－λa,4λ)，λ<0，则|b|＝ ＝ ＝5|λ|＝－5λ＝10，所以λ＝－2，所以b＝(6，－8)．故选D.4．设a，b，c为非零向量，若p＝＋＋，则|p|的取值范围为(　　)A．[0,1]  B．[1,2]C．[0,3]  D．[1,3]解析：选C　，，分别为a，b，c方向上的单位向量，∴当a，b，c同向时，|p|取得最大值3，且|p|的最小值为0.故选C.5．(2019·山东青岛二模)已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝3，|b|＝2，则a·(a－2b)＝(　　)A．3  B．9C．12  D．15解析：选D　a·b＝3×2×cos＝－3，∴a·(a－2b)＝a2－2a·b＝9－2×(－3)＝15.故选D.6．(2019·安徽江淮十校最后一卷)已知向量a＝(1,2)，b＝(－2,3)，c＝(4,5)，若(a＋λb)⊥c，则实数λ＝(　　)A．－  B.C．－2  D．2解析：选C　因为a＝(1,2)，b＝(－2,3)，所以a＋λb＝(1－2λ，2＋3λ)，又(a＋λb)⊥c，所以(a＋λb)·c＝0，即4(1－2λ)＋5(2＋3λ)＝0，解得λ＝－2.故选C.7．已知△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝k∶(k＋1)∶2k，则k的取值范围是(　　)A．(2，＋∞)  B．(－∞，0)C.  D.解析：选D　由正弦定理得：a＝mk，b＝m(k＋1)，c＝2mk，m>0，∵即∴k>.故选D.8．(2019·湖南师大附中模拟)如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则＝(　　)A.＋B.＋C.＋D.＋解析：选D　根据题意得＝(＋)，又＝＋，＝，所以＝＋＋＝＋.故选D.9．(2019·宁夏六盘山一模)设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝2，c＝2，cos＝，则b＝(　　)A．1  B.C．2  D．4解析：选D　∵a＝2，c＝2，cos＝，∴cos A＝2cos2－1＝2×2－1＝，∴由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得(2)2＝b2＋22－2×b×2×，整理得b2－3b－4＝0，∴解得b＝4或－1(舍去)．故选D.10．(2019·北京清华附中模拟)《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九昭的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求职”中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S＝ ，现有周长为10＋2的△ABC满足sin C∶sin A∶sin B＝2∶3∶，则用以上给出的公式求得△ABC的面积为(　　)A．6  B．4C．8  D．12解析：选A　∵sin C∶sin A∶sin B＝2∶3∶，则c∶a∶b＝2∶3∶，∵△ABC周长为10＋2，即a＋b＋c＝10＋2，∴c＝4，a＝6，b＝2，所以S＝＝6.故选A.二、多项选择题(本大题共3小题，每小题4分，共12分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)11．已知m，n是实数，a，b是向量，则下列命题中正确的为(　　)A．m(a－b)＝ma－mb  B．(m－n)a＝ma－naC．若ma＝mb，则a＝b  D．若ma＝na，则m＝n解析：选AB　对于A和B属于数乘对向量与实数的分配律，正确；对于C，若m＝0，则不能推出a＝b，错误；对于D，若a＝0，则m，n没有关系，错误．故选A、B.12．对于△ABC，有如下命题，其中正确的有(　　)A．若sin2A＝sin2B，则△ABC为等腰三角形B．若sin A＝cos B，则△ABC为直角三角形C．若sin2A＋sin2B＋cos2C<1，则△ABC为钝角三角形D．若AB＝，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积为或解析：选CD　对于A：sin2A＝sin2B，∴A＝B⇒△ABC是等腰三角形，或2A＋2B＝π⇒A＋B＝，即△ABC是直角三角形．故A错误；对于B：由sin A＝cos B，∴A－B＝或A＋B＝.∴△ABC不一定是直角三角形，B错误；对于C：sin2A＋sin2B<1－cos2C＝sin2C，∴a2＋b2<c2.∴△ABC为钝角三角形，C正确；对于D：如图所示，由正弦定理，得sin C＝＝.而c>b，∴C＝60°或C＝120°.∴A＝90°或A＝30°.∴S△ABC＝bcsin A＝或.D正确．故选C、D.13．给出下列四个命题，其中正确的选项有(　　)A．非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角是30°B．若(＋)·(－)＝0，则△ABC为等腰三角形C．若单位向量a，b的夹角为120°，则当|2a＋xb|(x∈R)取最小值时x＝1D．若＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)，∠ABC为锐角，则实数m的取值范围是m＞－解析：选ABC　A中，令＝a，＝b.以，为邻边作平行四边形OACB.∵|a|＝|b|＝|a－b|，∴四边形OACB为菱形，∠AOB＝60°，∠AOC＝30°，即a与a＋b的夹角是30°，故A正确．B中，∵(＋)·(－)＝0，∴||2＝||2，故△ABC为等腰三角形．故B正确．C中，∵(2a＋xb)2＝4a2＋4xa·b＋x2b2＝4＋4xcos 120°＋x2＝x2－2x＋4＝(x－1)2＋3，故|2a＋xb|取最小值时x＝1.故C正确．D中，∵＝－＝(3，－4)－(6，－3)＝(－3，－1)，＝－＝(5－m，－3－m)－(6，－3)＝(－1－m，－m)，又∠ABC为锐角，∴·＞0，即3＋3m＋m＞0，∴m＞－34.又当与同向共线时，m＝12，故当∠ABC为锐角时，m的取值范围是m＞－34且m≠12.故D不正确．故选A、B、C.三、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中的横线上)14．平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且(a＋b)·(a－2b)＝－7，则向量a，b的夹角为________．解析：(a＋b)·(a－2b)＝|a|2－a·b－2|b|2＝1－a·b－8＝－7，∴a·b＝0，∴a⊥b. 故a，b的夹角为.答案：15．已知向量a，b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝3，则|5a－b|＝________.解析：|5a－b|＝＝＝＝  ＝7.答案：716．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，则|a＋b|＋|a－b|的最小值是________，最大值是________．解析：法一：由向量三角不等式得，|a＋b|＋|a－b|≥|(a＋b)－(a－b)|＝|2b|＝4.又≤ ＝＝，∴|a＋b|＋|a－b|的最大值为2.法二：设a，b的夹角为θ.∵|a|＝1，|b|＝2，∴|a＋b|＋|a－b|＝ ＋ ＝＋.令y＝＋，则y2＝10＋2.∵θ∈[0，π]，∴cos2θ∈[0,1]，∴y2∈[16,20]，∴y∈[4,2 ]，即|a＋b|＋|a－b|的最小值为4，最大值为2.答案：4　217．太湖中有一小岛，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1 km后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________km.       解析：如图，∠CAB＝15°，∠CBA＝180°－75°＝105°，∠ACB＝180°－105°－15°＝60°，AB＝1(km)．由正弦定理得＝，∴BC＝·sin 15°＝(km)．设C到直线AB的距离为d，则d＝BC·sin 75°＝×＝(km)．答案：四、解答题(本大题共6小题，共82分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)18．(本小题满分12分)已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R.(1)若a⊥b，求x的值；(2)若a∥b，求|a－b|.解：(1)若a⊥b，则a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0.整理得x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.(2)若a∥b，则有1×(－x)－x(2x＋3)＝0，即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2.当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)，∴a－b＝(－2,0)，|a－b|＝2；当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，∴a－b＝(2，－4)，∴|a－b|＝＝2.综上所述，|a－b|为2或2.19.(本小题满分14分)如图所示，平行四边形ABCD中，＝a，＝b，H，M分别是AD，DC的中点，F为BC上一点，且BF＝BC.(1)以a，b为基底表示向量 与；(2)若|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角为120°，求·.解：(1)由已知得＝＋＝a＋b.连接AF(图略)，∵＝＋＝a＋b，∴＝＋＝－b＋＝a－b.(2)由已知得a·b＝|a||b|cos 120°＝3×4×＝－6，从而·＝·＝|a|2＋a·b－|b|2＝×32＋×(－6)－×42＝－.20．(本小题满分14分)已知正方形ABCD，E，F分别是CD，AD的中点，BE，CF交于点P.求证：(1)BE⊥CF；(2)AP＝AB.证明：如图建立直角坐标系xOy，其中A为原点，不妨设AB＝2，则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，E(1,2)，F(0,1)(1)＝－＝(1,2)－(2,0)＝(－1,2)，＝－＝(0,1)－(2,2)＝(－2，－1)，∵·＝－1×(－2)＋2×(－1)＝0，∴⊥，即BE⊥CF.(2)设P(x，y)，则＝(x，y－1)，＝(－2，－1)，∵∥，∴－x＝－2(y－1)，即x＝2y－2.同理由∥，得y＝－2x＋4，代入x＝2y－2，解得x＝，∴y＝，即P.∴2＝2＋2＝4＝2.∴||＝||，即AP＝AB.21．(本小题满分14分)已知海岛A四周8海里内有暗礁，有一货轮由西向东航行，望见岛A在北偏东75°，航行20海里后，见此岛在北偏东30°，若货轮不改变航向继续前进，有无触礁危险？  解：如图所示，在△ABC中，依题意得BC＝20(海里)，∠ABC＝90°－75°＝15°，∠BAC＝60°－∠ABC＝45°.由正弦定理，得＝，所以AC＝＝10(－)(海里)．故A到航线的距离为AD＝ACsin 60°＝10(－)×＝(15－5)(海里)．因为15－5>8，所以货轮无触礁危险．22．(本小题满分14分)(2019·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin＝bsin A.(1)求B；(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．解：(1)由题设及正弦定理得sin Asin＝sin B·sin A．因为sin A≠0，所以sin＝sin B.由A＋B＋C＝180°，可得sin＝cos，故cos＝2sincos.因为cos≠0，所以sin＝，所以B＝60°.(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝a.由(1)知A＋C＝120°，由正弦定理得a＝＝＝＋.由于△ABC为锐角三角形，故0°<A<90°，0°<C<90°.由(1)知，A＋C＝120°，所以30°<C<90°，故<a<2，从而<S△ABC<.因此，△ABC面积的取值范围是.23．(本小题满分14分)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a＝(－1,2)，又点A(8,0)，B(n，t)，C(ksin θ，t).(1)若⊥a，且||＝||，求向量； (2)若向量与向量a共线，当k＞4，且tsin θ取最大值为4时，求·.解：(1) ＝(n－8，t)，∵⊥a，∴8－n＋2t＝0.又∵||＝||，∴5×64＝(n－8)2＋t2＝5t2，得t＝±8，∴＝(24,8)或＝(－8，－8)．(2) ＝(ksin θ－8，t)．∵与a共线，∴t＝－2ksin θ＋16.∵tsin θ＝(－2ksin θ＋16)sin θ＝－2k2＋，∵k＞4，∴1＞＞0，当sin θ＝时，tsin θ取最大值为.由＝4，得k＝8，此时θ＝，＝(4,8)，∴·＝8×4＋0×8＝32.