初中数学苏科版九年级上册2.1 圆教案及反思

这是一份初中数学苏科版九年级上册2.1 圆教案及反思，共5页。教案主要包含了“四点共圆”的判定，“四点共圆”的妙用，解后反思等内容，欢迎下载使用。

判定1 如果四边形的一组对角互补或一个外角等于它的内对角，那么这个四边形是圆内接四边形，即四边形的四个顶点共圆(如图1).
判定2 如果线段同侧的两点到线段两端点连线的夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆(如图2).
二、“四点共圆”的妙用
1.判定1的应用
例1 如图3，正方形中，，点为的中点，为边上一动点，连结，过点作的垂线交于点为线段上一点，且，连结，取的中点，连结，则的最小值为 .
解 如图3，连结,
则,
四点共圆.
在中，是的中点，
.
当点运动到点时，与重合；
当点运动到点时，为正方形的中心(设为)，
在线段上运动.
故当时，取得最小值.
例2 (2017年福建中考题)如图4，矩形中，分别是线段上的点，且四边形为矩形.若，求的长.
解 ，
四点共圆.
又四边形为矩形，
,
即点也在所确定的圆上.
,
又,
易证,
，则，
即.
2.判定2的应用
例3 如图S , 是等边三角形，为边上一点，, 交的外角平分线于点，试猜测 (“>”“=”或“<”).
解析 该题的常规解法是在边上截取，连结(如图5)，由，可得.
如何构造全等三角形，对部分学生来说有很大的困难，但用“四点共圆”来解决问题则很简单.
由，可知四点共圆，
.
又,
为等边三角形，.
变式1 当点在直线上运动时，结论“”依然成立(请读者自行证明).
变式2 如图6, 是正方形的边上的一点，过点作的垂线交的外角平分线于点，求证: .
解 如图6，连结和.
易证,
四点共圆，
.
又,
为等腰直角三角形，
.
变式3 如图7，正五边形, 为边上一点， 交的外角平分线于点，求证: .
变式4 在正边形中，为边上一点，等于一个内角的度数, 交的外角平分线于点，求证: .
变式3和变式4也可用同样方法证明，这里不再赘述.
小结 通过例4及其变式，我们可以总结出此类问题的一般结论:当点在正边形任一条边，不失一般性，仍设所在的直线上运动时，若等于正边形的一个内角，且交的外角平分线于点时，则仍然有.
例4 (2015年抚顺中考题)在中，，过点的直线为边上一点，连结，作交于点，连结.
(1)如图8，当时，求证:.
(2)如图9,当时，线段与有何数量关系?并请说明理由.
(3)当时，请直接写出线段与的数量关系(用含的三角函数表示)
解析 ，
四点共圆，
.
(1)如图8 , ,
是等腰直角三角形，
.
(2)如图9，在中，
,
，即.
(3)同理，可得.
变式1 如图10，等腰中，，经过点的直线与边平行，点是线段上一点，连结，作，角的一边交直线于点.
(1)探究线段与的数量关系，并加以说明.
(2)若将图10中“点是线段上的一点”改为“点是射线上一点”，其他条件不变，(1)的结论是否成立?如果成立，请给予证明;如果不成立，请说明理由.
解 (1)∵，
∴四点共圆，
∴，.
∵，
∴，
∴，
∴.
(2)如图11，同理可证四点共圆，
∴.
又∵，，
∴，
∴.
变式2 (2019年沈阳中考题)如图12，正方形的对角线上有一点，且，点在的延长线上，连结，过点作，交的延长线于点，连结并延长，交的延长线于点.若，，则线段的长是 .
解 ∵，
∴四点共圆，
∴.
∵，
∴.
如图12，作，则.
由，且，可得，
∴，
.
易知，
，
∴，则，
∴
小结通过例4及其变式，我们可以总结出此类问题的一般结论：如图13，两点分别在等腰底边和腰所在直线上运动，作，交过点且与
平行的直线于点，使得和的方向相同，则.
三、解后反思
数学解题不是机械地重现数学基础知识和数学基本方法，而是要综合而灵活地运用这些知识和方法，它在本质上是一个创造性的思维过程.我们不能为解题而解题，而要对解题的得与失、题目本身的内涵与价值进行反思.
本文通过四个例题及其相关变式展示了“四点共圆”的妙用一般情况下，题目不会把圆呈现出来，需要我们挖掘题目中的隐含条件，运用判定定理化“隐圆”为“显圆”，利用圆的相关性质解题，将题目化难为易.