高中人教B版 (2019)4.6 函数的应用(二)教案
展开【教学过程】
一、新知初探
探究1:
利用已知函数模型解决问题
例1:某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元,每生产一台仪器需增加成本100元,已知总收益满足函数:
R(x)=eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(400x-\f(1,2)x2(0≤x≤400),80 000(x>400))),其中x为月产量.
(1)将利润表示为月产量x的函数;
(2)当月产量为何值时,公司所获利润最大?最大利润为多少?
解:(1)设月产量为x台,则总成本G(x)=20 000+100x,
利润f(x)=R(x)-G(x)=eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(-\f(1,2)x2+300x-20 000(0≤x≤400),60 000-100x(x>400))).
(2)由0≤x≤400时,f(x)=-eq \f(1,2)(x-300)2+25 000.
所以当x=300时,f(x)取得最大值25 000元.
当x>400时,f(x)=60 000-100x是减函数,
f(x)<60 000-100×400=20 000<25 000.
所以当x=300时,f(x)的最大值为25 000元.
即每月生产300台仪器时,能获得最大利润,最大利润为25 000元.
eq \a\vs4\al()规律方法:
理解所给函数模型中各量的意义,利用已知量求解析式,进而求函数的问题来解释实际问题.
探究点2:
构造函数模型解决问题
例2:目前某县有100万人,经过x年后为y万人.如果年平均增长率是1.2%,请回答下列问题:
(1)写出y关于x的函数解析式;
(2)计算10年后该县的人口总数(精确到0.1万人);
(3)计算大约多少年后该县的人口总数将达到120万.(精确到1年)
解:(1)当x=1时,y=100+100×1.2%=100(1+1.2%);
当x=2时,y=100(1+1.2%)+100(1+1.2%)×1.2%=100(1+1.2%)2;
当x=3时,y=100(1+1.2%)2+100(1+1.2%)2×1.2%
=100(1+1.2%)3;…
故y关于x的函数解析式为y=100(1+1.2%)x(x∈N*).
(2)当x=10时,y=100×(1+1.2%)10=100×1.01210≈112.7.故10年后该县约有112.7万人.
(3)设x年后该县的人口总数为120万,即100×(1+1.2%)x=120,解得x=lg1.012eq \f(120,100)≈16.
故大约16年后该县的人口总数将达到120万.
eq \a\vs4\al()规律方法:
建立函数模型应把握的三个关口
(1)事理关:通过阅读、理解,明白问题讲什么,熟悉实际背景,为解题打开突破口.
(2)文理关:将实际问题的文字语言转化为数学的符号语言,用数学式子表达数学关系.
(3)数理关:在构建数学模型的过程中,对已有的数学知识进行检验,从而认定或构建相应的数学问题.
探究点3:
拟合函数模型解决问题
例3:某经营商经营了A、B两种商品,逐月投资金额与所获纯利润列表如下:
该经营者准备第七个月投入12万元经营这两种商品,但不知投入A,B两种商品各多少万元才合算.请你帮助制定一个资金投入方案,使得该经营者能获得最大利润,并按你的方案求出该经营者第七个月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字).
解:以投资额为横坐标,纯利润为纵坐标,在平面直角坐标系中画出A,B两种商品的散点图分别如图①②所示.
观察散点图可以看出,A种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟.
取点(4,2)为最高点,则y=a(x-4)2+2,
再把点(1,0.65)代入,得0.65=a(1-4)2+2,
解得a=-0.15,所以y=-0.15(x-4)2+2.
B种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律可以用一次函数模型进行模拟.
设y=kx+b,取点(1,0.25)和点(4,1),代入得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0.25=k+b,,1=4k+b,))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k=0.25,,b=0,))所以y=0.25x.
故前六个月所获纯利润y关于月投资A种商品的金额x的函数关系式是y=-0.15(x-4)2+2,前六个月所获纯利润y关于月投资B种商品的金额x的函数关系式是y=0.25x.
设第七个月投入A,B两种商品的资金分别为xA,xB(万元),总利润为W(万元),那么
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(xA+xB=12,,W=yA+yB=-0.15(xA-4)2+2+0.25xB.))
所以W=-0.15eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(xA-\f(19,6)))eq \s\up12(2)+0.15×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(19,6)))eq \s\up12(2)+2.6.
所以当xA≈3.2时W最大约为4.1,
此时xB≈8.8.
即该经营者第七个月把12万元中的3.2万元投资A种商品,8.8万元投资B种商品,可获得最大利润约为4.1万元.
eq \a\vs4\al()规律方法:
函数拟合与预测的一般步骤
(1)根据原始数据、表格,绘出散点图.
(2)通过观察散点图,画出拟合直线或拟合曲线.
(3)求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式.
(4)利用函数关系式,根据条件对所给问题进行预测和控制,为决策和管理提供依据.
二、课堂总结
几类常见的函数模型
三、课堂检测
1.某市的房价(均价)经过6年时间从1 200元/m2增加到了4 800元/m2,则这6年间平均每年的增长率是( )
A.600元B.50%
C.eq \r(3,2)-1D.eq \r(3,2)+1
解析:选C.设6年间平均增长率为x,则有1 200(1+x)6=4 800,解得x=eq \r(3,2)-1.
2.“弯弓射雕”描述了游牧民族的豪迈气概.当弓箭手以每秒a米的速度从地面垂直向上射箭时,t秒后的高度x米可由x=at-5t2确定.已知射出2秒后箭离地面高100米,则弓箭能达到的最大高度为________米.
解析:由x=at-5t2且t=2时,x=100,解得a=60.所以x=60t-5t2.
由x=-5t2+60t=-5(t-6)2+180,
知当t=6时,x取得最大值为180,
即弓箭能达到的最大高度为180米.
答案:180
3.某游乐场每天的盈利额y元与销售的门票张数x之间的函数关系如图所示,试由图像解决下列问题:
(1)求y与x的函数解析式;
(2)要使该游乐场每天的盈利额超过1 000元,每天至少卖出多少张门票?
解:(1)由图像知,可设y=kx+b,x∈[0,200]时,过点(0,-1 000)和(200,1 000),解得k=10,b=-1 000,从而y=10x-1 000;x∈(200,300]时,过点(200,500)和(300,2 000),解得k=15,b=-2 500,从而y=15x-2 500,
所以y=eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(10x-1 000,x∈[0,200],,15x-2 500,x∈(200,300].))
(2)每天的盈利额超过1 000元,则x∈(200,300],由15x-2 500>1 000得,x>eq \f(700,3),故每天至少需要卖出234张门票.教学重难点
教学目标
核心素养
指数、对数函数模型在实际问题中的应用
会利用已知函数模型解决实际问题
数学建模
根据实际问题建立函数模型
能根据实际问题,建立恰当的函数模型求解问题
数学建模
投资A种商品金额(万元)
1
2
3
4
5
6
获纯利润(万元)
0.65
1.39
1.85
2
1.84
1.40
投资B种商品金额(万元)
1
2
3
4
5
6
获纯利润(万元)
0.25
0.49
0.76
1
1.26
1.51
名称
解析式
条件
一次函数模型
y=kx+b
k≠0
反比例函数模型
y=eq \f(k,x)+b
k≠0
二次函数模型
一般式:y=ax2+bx+c
顶点式:y=aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x+\f(b,2a)))eq \s\up12(2)+eq \f(4ac-b2,4a)
a≠0
指数函数模型
y=b·ax+c
a>0且a≠1,b≠0
对数函数模型
y=mlgax+n
a>0且a≠1,m≠0
幂函数模型
y=axn+m
a≠0,n≠1
高中4.5 函数的应用(二)教学设计: 这是一份高中4.5 函数的应用(二)教学设计,共3页。教案主要包含了内容及其内容解析, 目标及其解析,教学问题诊断分析, 课时分配., 课时教学设计等内容,欢迎下载使用。
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