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人教版华师大北师大版等通用版 中考数学 专题18 静态几何之圆问题（含解析）
展开专题18 静态几何之圆问题
中考压轴题中静态几何之圆问题，包括圆的有关性质，直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系，扇形的计算四方面内容，它们是初中数学中最核心的内容之一。
一. 圆的有关性质问题
1. 如图，在半径为2的扇形OAB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的—个动点（不与A，B重合），OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D，E，则DE的长度（ ）
A.1 B.2 C. D.
【答案】C.
【解析】
试题分析：连接AB，由OD垂直于BC，OE垂直于AC，利用垂径定理得到D、E分别为BC、AC的中点，即ED为三角形ABC的中位线，由OA=OB=2，且∠AOB=90°，利用勾股定理求出AB的长，即可求出ED的长．
试题解析：连接AB，
考点：1.垂径定理；2.三角形中位线定理．
2. 如图，⊙O1，⊙O2、相交于A、B两点，两圆半径分别为6cm和8cm，弦AB的长为9.6cm，则两圆的连心线O1O2的长为【 】
A．11cm B．10cm C．9cm D．8cm
【答案】B。
【考点】相交两圆的性质，垂径定理，勾股定理。
【分析】如图，连接AO1，AO2，设O1O2与AB相交于点C，
故选B。
二. 直线和圆的位置关系问题
3. 在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=30°， AC=1，点O在BC上，以O为圆心作⊙O交BC于点M、N，⊙O与AB、AC相切，切点分别为D、E，则⊙O的半径为 ；∠MND的度数为 。
【答案】；300。
【考点】切线的性质，含30度角直角三角形的性质，正方形的判定和性质，平行的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理。
【分析】如图，连接O E，
在Rt△ABC中，∠A=900，∠B=30°， AC=1，
∴AB=。
∵⊙O与AB、AC相切，∴OD⊥AB，OE⊥AC。
又∵在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，∴∠C=60°。
∵OD∥CA，∴∠DOM=60°。
∴∠MND=∠DOM=30°。
4.【阅读材料】己知，如图1，在面积为S的△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，内切⊙O的半径为r.连接OA、OB、OC，△ABC被划分为三个小三角形．
∵S=S△OBC＋S△OAC＋S△OAB=BC·r＋AC·r＋AB·r=a·r＋b·r＋c·r=（a＋b＋c）r
∴
（1）【类比推理】如图2，若面积为S的四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆），各边长分别为AB=a，BC=b，CD=c，AD=d，求四边形的内切圆半径r的值；
（2）【理解应用】如图3，在Rt△ABC中，内切圆O的半径为r，⊙O与△ABC分别相切于D、E和F，己知AD=3，BD=2，求r的值.
【答案】（1）；（2）1.
【解析】
试题分析：（1）已知已给出示例，我们仿照例子，连接OA，OB，OC，OD，则四边形被分为四个小三角形，且每个三角形都以内切圆半径为高，以四边形各边作底，这与题目情形类似．仿照证明过程，r易得．
考点：圆的综合题
三. 圆和圆的位置关系问题
5. 如图，已知⊙B与△ABD的边AD相切于点C，AC=，⊙B的半径为2，当⊙A与⊙B相切时，⊙A的半径是【 】
1 3 2或4 1或3
【答案】D。
【考点】圆与圆的位置关系，切线的性质，勾股定理，分类思想的应用。
【分析】如图，连接OC，
6.如图，ABCD是边长为a的正方形，以A为圆心，AD为半径的圆弧与以CD为直径的半圆交于另一点P，过P作⊙A的切线分别交BC、CD于M、N两点，则= ．
【答案】
【解析】
而点A圆心，N在连心线上，
∴点N是圆心，
∴ND=NC=；
解得，BM=，
∴===；
故答案是：．
点评：本题考查了切线的定理、两相交圆的性质以及勾股定理．解答该题的关键是证明N是CD的中点．
四.扇形的计算问题
7. 如图，正方形ABCD中，扇形BAC与扇形CBD的弧交于点E， AB＝2cm．则图中阴影部分面积为 cm2．
【答案】
【解析】
8. 如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于E，OF⊥AD于F，△OBD是等边三角形。
（1）求证：OF∥BD；
（2）求证：△AFO≌△DEB；
（3）若BE=4cm，求阴影部分的面积。
【答案】（1）∵AB为⊙O的直径，∴AD⊥BD。
又∵OF⊥AD，∴OF∥BD。
（2）∵AB⊥CD，∴。∴∠DAB=∠BDC。
∵△OBD是等边三角形，∴BD=OB=OA。
又∵∠AFO=∠DEB=90°，∴△AFO≌△DEB（AAS）。
【考点】垂径定理，平行的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，扇形面积的计算，转换思想的应用。
