2020年高中数学新教材同步必修第二册期中检测试卷

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这是一份数学必修第二册全册综合同步测试题，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

(时间：120分钟满分：150分)

一、选择题(本大题共13小题，每小题4分，共52分. 在每小题给出的四个选项中，第1～10题只有一项符合题目要求；第11～13题，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的不得分)

1.已知向量a＝(1，m)，向量b＝(－1，eq \r(3))，若a∥b，则m等于( )

A.eq \r(3) B.－eq \r(3) C.eq \f(\r(3),3) D.－eq \f(\r(3),3)

答案 B

解析由题意得1×eq \r(3)－m×(－1)＝0，∴m＝－eq \r(3).

2.已知i为虚数单位，z＝eq \f(4,1＋i)，则复数z的虚部为( )

A.－2i B.2i C.2 D.－2

答案 D

解析 z＝eq \f(4,1＋i)＝eq \f(41－i,1＋i1－i)＝eq \f(41－i,2)＝2－2i，故虚部为－2.

3.已知边长为2的正方形ABCD中，E为AD的中点，连接BE，则eq \(BE,\s\up6(→))·eq \(EA,\s\up6(→))等于( )

A.－2 B.－1 C.1 D.2

答案 B

解析以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0) E(0,1)，eq \(BE,\s\up6(→))＝(－2,1)，eq \(EA,\s\up6(→))＝(0，－1)，eq \(BE,\s\up6(→))·eq \(EA,\s\up6(→))＝－1.

4.(2019·淮北、宿州模拟)已知i为虚数单位，在复平面内，复数eq \f(1,1－i)的共轭复数对应的点位于( )

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

答案 D

解析由题意可得eq \f(1,1－i)＝eq \f(1＋i,1－i1＋i)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)i，

则其共轭复数为eq \f(1,2)－eq \f(1,2)i，对应的点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(1,2)))位于第四象限.

5.在长方形ABCD中，E为CD的中点，F为AE的中点，设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，则eq \(BF,\s\up6(→))等于( )

A.－eq \f(3,4)a＋eq \f(1,2)b B.eq \f(3,4)a－eq \f(1,2)b

C.eq \f(1,2)a－eq \f(3,4)b D.eq \f(1,2)a＋eq \f(3,4)b

答案 A

解析如图所示，由平面向量线性运算及平面向量基本定理可得eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \(AF,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AE,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)b－eq \f(3,4)a.

6.在△ABC中，若lg a－lg c＝lg sin B＝－lgeq \r(2)且B∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则△ABC的形状是( )

A.等边三角形 B.等腰三角形

C.等腰直角三角形 D.直角三角形

答案 C

解析 ∵lg a－lg c＝lg sin B＝－lgeq \r(2)，

∴eq \f(a,c)＝sin B＝eq \f(\r(2),2)，

∵B∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴B＝eq \f(π,4)，

∴cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(a2＋\r(2)a2－b2,2a·\r(2)a)＝eq \f(\r(2),2)，

∴a2＝b2，则a＝b，∴A＝B＝eq \f(π,4)，

∴C＝eq \f(π,2)，

∴△ABC为等腰直角三角形.

7.在△ABC中，∠A＝120°，eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝－2，则|eq \(BC,\s\up6(→))|的最小值是( )

A.2 B.4 C.2eq \r(3) D.12

答案 C

解析 eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝|eq \(AB,\s\up6(→))||eq \(AC,\s\up6(→))|cs A＝－eq \f(1,2)|eq \(AB,\s\up6(→))||eq \(AC,\s\up6(→))|

＝－2⇒|eq \(AB,\s\up6(→))||eq \(AC,\s\up6(→))|＝4，

|eq \(BC,\s\up6(→))|＝|eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))|⇒|eq \(BC,\s\up6(→))|2＝|eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))|2

＝|eq \(AC,\s\up6(→))|2＋|eq \(AB,\s\up6(→))|2＋4≥2|eq \(AB,\s\up6(→))||eq \(AC,\s\up6(→))|＋4＝12，

当且仅当|eq \(AC,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))|时取等号，

所以|eq \(BC,\s\up6(→))|≥2eq \r(3).

8.已知向量a＝(1，eq \r(3))，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，则a＋b在b上的投影为( )

A.2 B.eq \r(3) C.1 D.－1

答案 A

解析 a＋b在b上的投影为

eq \f(a＋b·b,|b|)＝eq \f(a·b＋b2,|b|)＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)＋\f(3,2)))＋1,1)＝2.

9.已知向量a＝(cs θ－2，sin θ)，其中θ∈R，则|a|的最小值为( )

A.1 B.2 C.eq \r(5) D.3

答案 A

解析因为a＝(cs θ－2，sin θ)，

所以|a|＝eq \r(cs θ－22＋sin2θ)＝eq \r(1－4cs θ＋4)＝eq \r(5－4cs θ)，

因为θ∈R，所以－1≤cs θ≤1，

故|a|的最小值为eq \r(5－4)＝1.

10.已知点O是△ABC内一点，满足eq \(OA,\s\up6(→))＋2eq \(OB,\s\up6(→))＝meq \(OC,\s\up6(→))，eq \f(S△AOB,S△ABC)＝eq \f(4,7)，则实数m为( )

A.2 B.－2 C.4 D.－4

答案 D

解析由eq \(OA,\s\up6(→))＋2eq \(OB,\s\up6(→))＝meq \(OC,\s\up6(→))得eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \f(m,3)eq \(OC,\s\up6(→))，

设eq \f(m,3)eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OD,\s\up6(→))，则eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OD,\s\up6(→))，

∴A，B，D三点共线，

如图所示，

∵eq \(OC,\s\up6(→))与eq \(OD,\s\up6(→))反向共线，

∴eq \f(|\(OD,\s\up6(→))|,|\(CD,\s\up6(→))|)＝eq \f(m,m－3)，

∴eq \f(S△AOB,S△ABC)＝eq \f(|\(OD,\s\up6(→))|,|\(CD,\s\up6(→))|)＝eq \f(m,m－3)＝eq \f(4,7)，

解得m＝－4.

11.在△ABC中，若sin2A＋sin2B

A.锐角三角形 B.直角三角形

C.钝角三角形 D.等边三角形

答案 ABD

解析由正弦定理知，sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝eq \f(b,2R)，sin C＝eq \f(c,2R).

∴sin2A＋sin2B

a2＋b2

∴cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)<0.

∴角C为钝角，△ABC为钝角三角形.

12.设z是复数，则下列命题中的真命题是( )

A.若z2≥0，则z是实数

B.若z2<0，则z是虚数

C.若z是虚数，则z2≥0

D.若z是纯虚数，则z2<0

答案 ABD

解析设z＝a＋bi，a，b∈R，z2＝a2－b2＋2abi，

对于A：z2≥0，则b＝0，所以z是实数，真命题；

对于B：z2<0，则a＝0，且b≠0，可得z是虚数，所以B为真命题；

对于C：z是虚数，则b≠0，所以z2也可能是虚数，不能比较大小，所以C是假命题；

对于D：z是纯虚数，则a＝0，b≠0，所以z2<0，所以D是真命题.

13.定义两个非零平面向量的一种新运算a*b＝|a|·|b|sin〈a，b〉，其中〈a，b〉表示a，b的夹角，则对于两个非零平面向量a，b，下列结论一定成立的有( )

A.a在b上的投影向量为asin〈a，b〉

B.(a*b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2

C.λ(a*b)＝(λa)*b

D.若a*b＝0，则a与b平行

答案 BD

解析由投影向量的定义可知，A显然不成立；

(a*b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2sin2〈a，b〉＋|a|2|b|2·cs2〈a，b〉＝|a|2|b|2，故B成立；

λ(a*b)＝λ|a||b|sin〈a，b〉，(λa)*b＝|λa||b|sin〈a，b〉，当λ<0时不成立，故C不成立；

由a*b＝0，得sin〈a，b〉＝0，即两向量平行，故D成立.

二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)

14.i是虚数单位，则复数eq \f(3＋i,1－3i)＝________，其实部为________.

答案 i 0

解析 eq \f(3＋i,1－3i)＝eq \f(3＋i1＋3i,1－3i1＋3i)

＝eq \f(3＋9i＋i＋3i2,10)＝i，其实部为0.

15.已知向量a，b的夹角为θ，且|a|＝2，|b|＝eq \r(3)，a·b＝3，则θ＝________.

答案 eq \f(π,6)

解析由题意，利用向量的夹角公式，得cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(\r(3),2)，又由θ∈[0，π]，∴ θ＝eq \f(π,6).

16.(2019·南宁模拟)在正方形ABCD中，E为线段AD的中点，若eq \(EC,\s\up6(→))＝λeq \(AD,\s\up6(→))＋μeq \(AB,\s\up6(→))，则λ＋μ＝________.

答案 eq \f(3,2)

解析因为eq \(EC,\s\up6(→))＝eq \(ED,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))，所以λ＋μ＝eq \f(1,2)＋1＝eq \f(3,2).

17.(2019·宁德质检)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则A，B两点间的距离为___________.

答案 80eq \r(5)

解析由已知，在△ACD中，∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，

∴∠DAC＝15°，

由正弦定理，得AC＝eq \f(80sin 150°,sin 15°)＝eq \f(40,\f(\r(6)－\r(2),4))＝40(eq \r(6)＋eq \r(2))，

在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，

∴∠DBC＝30°，

由正弦定理，得eq \f(CD,sin∠CBD)＝eq \f(BC,sin∠BDC)，

∴BC＝eq \f(CD·sin∠BDC,sin∠CBD)＝eq \f(80×sin 15°,\f(1,2))

＝160sin 15°＝40(eq \r(6)－eq \r(2))；

在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cs∠ACB＝1 600(8＋4eq \r(3))＋1 600(8－4eq \r(3))＋2×1 600(eq \r(6)＋eq \r(2))×(eq \r(6)－eq \r(2))×eq \f(1,2)

＝1 600×16＋1 600×4＝1 600×20，

解得AB＝80eq \r(5)，

则两目标A，B间的距离为80eq \r(5).

三、解答题(本大题共6小题，共82分)

18.(12分)已知复数z＝3＋mi (m∈R)，且(1＋3i)z为纯虚数.

(1)求复数z；

(2)若z＝(2－i)w，求复数w的模|w|.

解 (1)(1＋3i)·(3＋mi)＝(3－3m)＋(9＋m)i，

∵(1＋3i)·z是纯虚数，

∴3－3m＝0，且9＋m≠0，

∴m＝1，

∴z＝3＋i.

(2)w＝eq \f(3＋i,2－i)＝eq \f(3＋i·2＋i,2－i·2＋i)＝eq \f(5＋5i,5)＝1＋i.

∴|w|＝eq \r(12＋12)＝eq \r(2).

19.(12分)已知向量a＝(1,2)，b＝(－3,4).

(1)求a＋b与a－b的夹角；

(2)若c满足c⊥(a＋b)，(c＋a)∥b，求c的坐标.

解 (1)∵a＝(1,2)，b＝(－3,4).

∴a＋b＝(－2,6)，∴a－b＝(4，－2)，

∴(a＋b)·(a－b)＝－20，

∴|a＋b|＝eq \r(－22＋62)＝2eq \r(10)，

∴|a－b|＝eq \r(42＋－22)＝2eq \r(5).

设a＋b与a－b的夹角为θ，则

cs θ＝eq \f(a＋b·a－b,|a＋b|·|a－b|)＝eq \f(－20,2\r(10)×2\r(5))＝－eq \f(\r(2),2)，

又∵θ∈[0，π]，∴θ＝eq \f(3π,4).

(2)设c＝(x，y)，则c＋a＝(x＋1，y＋2)，

∵c⊥(a＋b)，(c＋a)∥b，

∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2x＋6y＝0，,－3y＋2－4x＋1＝0，))

解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝－\f(2,3)，))即c＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，－\f(2,3))).

20.(14分)在△ABC中，设A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C＝eq \f(2π,3)，c＝eq \r(3)，求△ABC周长的取值范围.

解由正弦定理得eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2，

∴a＝2sin A，b＝2sin B，

则△ABC的周长为L＝a＋b＋c＝2(sin A＋sin B)＋eq \r(3)

＝2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(sin A＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－A))))＋eq \r(3)

＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin A＋\f(\r(3),2)cs A－\f(1,2)sin A))＋eq \r(3)

＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＋\f(π,3)))＋eq \r(3).

∵0

∴eq \f(π,3)

∴eq \f(\r(3),2)

∴△ABC周长的取值范围是(2eq \r(3)，2＋eq \r(3)].

21.(14分)设复数z1＝2－ai(a∈R)，z2＝4－3i.

(1)若z1＋z2是实数，求z1·z2；

(2)若eq \f(z1,z2)是纯虚数，求z1的共轭复数.

解 (1)∵z1＋z2＝6－(3＋a)i是实数，

∴3＋a＝0，a＝－3，z1＝2＋3i，

∴z1·z2＝(2＋3i)(4－3i)＝17＋6i.

(2)∵eq \f(z1,z2)＝eq \f(2－ai,4－3i)＝eq \f(2－ai4＋3i,4－3i4＋3i)＝eq \f(8＋3a＋6－4ai,25)是纯虚数，

∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(8＋3a＝0，,6－4a≠0，))即a＝－eq \f(8,3)，z1＝2＋eq \f(8,3)i，

故z1的共轭复数为2－eq \f(8,3)i.

22.(15分)已知|a|＝2，|b|＝eq \r(3)，(a＋2b)·(b－3a)＝9.

(1)求a与b的夹角θ；

(2)在△ABC中，若eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，求BC边的长度.

解 (1)∵(a＋2b)·(b－3a)＝－3a2＋2b2－5a·b

＝－3×22＋2×(eq \r(3))2－5a·b＝9，

∴a·b＝－3，

∴cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(－3,2×\r(3))＝－eq \f(\r(3),2)，

又θ∈[0，π]，∴θ＝eq \f(5,6)π.

(2)∵eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝b－a，

∴|eq \(BC,\s\up6(→))|2＝(b－a)2＝b2＋a2－2b·a＝(eq \r(3))2＋22－2×(－3)＝13，

∴BC边的长度为|eq \(BC,\s\up6(→)) |＝eq \r(13).

23.(15分)在△ABC中，已知cs B＋(cs A－2sin A)cs C＝0.

(1)求角C的余弦值；

(2)若BC＝eq \r(5)，AB边上的中线CD＝eq \r(2)，求△ABC的面积.

解 (1)在△ABC中，cs B＝－cs(A＋C)，

所以－cs(A＋C)＋(cs A－2sin A)cs C＝0，

sin A(sin C－2cs C)＝0，

又sin A≠0，

所以sin C＝2cs C，tan C＝2，

因为C∈(0，π)，所以0

由三角函数的基本关系式，可得1－cs2C＝4cs2C，

解得cs C＝eq \f(\r(5),5).

(2)因为eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))＝2eq \(CD,\s\up6(→))，

所以|eq \(CA,\s\up6(→))|2＋|eq \(CB,\s\up6(→))|2＋2|eq \(CA,\s\up6(→))|·|eq \(CB,\s\up6(→))|cs C＝4|eq \(CD,\s\up6(→))|2，

所以|eq \(CA,\s\up6(→))|2＋5＋2eq \r(5)|eq \(CA,\s\up6(→))|×eq \f(\r(5),5)＝4×2，解得|eq \(CA,\s\up6(→))|＝1.

又sin C＝eq \r(1－cs2C)＝eq \f(2\r(5),5)，

所以S△ABC＝eq \f(1,2)CA·CB·sin C＝1.