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高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第七章 复数7.3* 复数的三角表示当堂检测题
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第七章 复数7.3* 复数的三角表示当堂检测题，共10页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1.若|z－1|＝|z＋1|，则复数z对应的点在( )
A.实轴上 B.虚轴上 C.第一象限 D.第二象限
答案 B
解析 ∵|z－1|＝|z＋1|，∴点Z到(1,0)和(－1,0)的距离相等，即点Z在以(1,0)和(－1,0)为端点的线段的中垂线上.
2.某学校有高中学生1 000人，其中高一年级、高二年级、高三年级的人数分别为320,300,380.为调查学生参加“社区志愿服务”的意向，现采用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为100的样本，那么应抽取高二年级学生的人数为( )
A.68 B.38 C.32 D.30
答案 D
解析 根据题意得，用分层随机抽样在各层中的抽样比为eq \f(100,1 000)＝eq \f(1,10)，
则高二年级抽取的人数是300×eq \f(1,10)＝30(人).
3.在一个圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，顶点是圆柱下底面中心.若圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆锥的侧面展开图面积为( )
A.eq \r(5)π B.eq \r(6)π C.3π D.4π
答案 A
解析 圆锥的侧面展开图是半径为eq \r(5)，弧长为2π的扇形，其面积S＝eq \f(1,2)l·r＝eq \f(1,2)(2π·1)eq \r(5)＝eq \r(5)π，所以圆锥的侧面展开图面积为eq \r(5)π.
4.已知底面边长为1，侧棱长为eq \r(2)的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为( )
A.eq \f(32π,3) B.4π C.2π D.eq \f(4π,3)
答案 D
解析 ∵正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为eq \r(2)，∴正四棱柱体对角线的长为eq \r(1＋1＋2)＝2.又∵正四棱柱的顶点在同一球面上，∴正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，得球的半径R＝1，根据球的体积公式，得此球的体积V＝eq \f(4,3)πR3＝eq \f(4π,3)，故选D.
5.如图，在△ABC中，eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))，P是BN的中点，若eq \(AP,\s\up6(→))＝meq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→))，则实数m的值是( )
A.eq \f(1,4) B.1
C.eq \f(1,2) D.eq \f(3,2)
答案 C
解析 ∵P，N分别是BN，AC的中点，
∴eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BP,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(BN,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \(AN,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→)).
又eq \(AP,\s\up6(→))＝meq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→))，
∴m＝eq \f(1,2).
6.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为S，且a＝1,4S＝b2＋c2－1，则△ABC外接圆的面积为( )
A.4π B.2π C.π D.eq \f(π,2)
答案 D
解析 由余弦定理得，b2＋c2－a2＝2bccs A，a＝1，
所以b2＋c2－1＝2bccs A，
又S＝eq \f(1,2)bcsin A,4S＝b2＋c2－1，
所以有4×eq \f(1,2)bcsin A＝2bccs A，
即sin A＝cs A，
又0
由正弦定理得，eq \f(1,sin \f(π,4))＝2R(R为△ABC外接圆的半径)，
得R＝eq \f(\r(2),2)，
所以△ABC外接圆的面积为eq \f(π,2).
7.某高校在2019年新增设的“人工智能”专业，共招收了两个班，其中甲班30人，乙班40人，在2019届高考中，甲班学生的平均分为665分，方差为131，乙班学生平均分为658分，方差为208.
则该专业所有学生在2019年高考中的平均分和方差分别为( )
A.661.5,169.5 B.661,187
C.661,175 D.660,180
答案 B
解析 依题意eq \x\t(x甲)＝665，seq \\al(2,甲)＝131，eq \x\t(x乙)＝658，seq \\al(2,乙)＝208，
则eq \x\t(x)＝eq \f(30×665,70)＋eq \f(40×658,70)＝661，
s2＝eq \f(30,70)[131＋(665－661)2]＋eq \f(40,70)[208＋(658－661)2]＝187.
8.袋子中有四个小球，分别写有“和、平、世、界”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“和”“平”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率.利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0,1,2,3代表“和、平、世、界”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下24个随机数组：
232 321 230 023 123 021 132 220 011 203
331 100 231 130 133 231 031 320 122 103
233 221 020 132
由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为( )
A.eq \f(1,8) B.eq \f(1,4) C.eq \f(1,6) D.eq \f(5,24)
答案 A
解析 由题意可知，满足条件的随机数组中，前两次抽取的数中必须包含0或1，且0与1不能同时出现，出现0就不能出现1，反之亦然，第三次必须出现前面两个数字中没有出现的1或0，可得符合条件的数组只有3组：021,130,031，故所求概率为P＝eq \f(3,24)＝eq \f(1,8).
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9.某校高一年级15个班参加朗诵比赛的得分如下：
91 89 90 92 94 87 93 96 91 85 89 93 88 98 93
则下列关于这组数据的说法中正确的是( )
A.60%分位数为92.5
B.60%分位数为92
C.90%分位数为95
D.90%分位数为96
答案 AD
解析 将这组数据按从小到大排列得
85 87 88 89 89 90 91 91 92 93 93 93 94 96 98
则15×60%＝9,15×90%＝13.5，
所以60%分位数为eq \f(92＋93,2)＝92.5,90%分位数为96.
10.对于两个平面α，β和两条直线m，n，下列命题中假命题是( )
A.若m⊥α，m⊥n，则n∥α
B.若m∥α，α⊥β，则m⊥β
C.若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n
D.若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n
答案 ABC
解析 A中n可能在α内，A是假命题；B中m也可能在β内，B是假命题；m与n可能平行，C是假命题；m⊥α，α⊥β，则m⊂β或m∥β，若m⊂β，则由n⊥β得n⊥m，若m∥β，则β内有直线c∥m，而易知c⊥n，从而m⊥n，D是真命题.
11.下面四个命题中的真命题为( )
A.若复数z满足eq \f(1,z)∈R，则z∈R
B.若复数z满足z2∈R，则z∈R
C.若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝eq \x\t(z)2
D.若复数z∈R，则eq \x\t(z)∈R
答案 AD
解析 若复数z满足eq \f(1,z)∈R，则z∈R，A为真命题；
复数z＝i满足z2＝－1∈R，而z∉R，故B为假命题；
若复数z1＝i，z2＝2i满足z1z2∈R，但z1≠eq \x\t(z)2，故C为假命题；
若复数z∈R，则eq \x\t(z)＝z∈R，故D为真命题.
12.为比较甲，乙两地某月14时的气温，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据制成统计表如下，
从表中能得到的结论有( )
A.甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温
B.甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温
C.甲地该月14时气温的标准差小于乙地该月14时气温的标准差
D.甲地该月14时气温的标准差大于乙地该月14时气温的标准差
答案 AD
解析 甲地该月5天14时的平均气温为eq \f(1,5)×(26＋28＋29＋31＋31)＝29，
乙地该月5天14时的平均气温为eq \f(1,5)×(28＋29＋30＋31＋32)＝30，
故可得甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；
甲地该月5天14时温度的方差为seq \\al(2,甲)＝eq \f(1,5)×[(26－29)2＋(28－29)2＋(29－29)2＋(31－29)2＋(31－29)2]＝3.6；
乙地该月5天14时温度的方差为seq \\al(2,乙)＝eq \f(1,5)×[(28－30)2＋(29－30)2＋(30－30)2＋(31－30)2＋(32－30)2]＝2，
故可得甲地该月14时气温的方差大于乙地该月14时气温的方差，
所以甲地该月14时气温的标准差大于乙地该月14时气温的标准差.
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.已知向量a＝(x,2)，b＝(2,1)，c＝(3，x)，若a∥b，则|b＋c|＝________.
答案 5eq \r(2)
解析 因为a∥b，
所以x－2×2＝0，解得x＝4，
则 b＋c＝(2,1)＋(3,4)＝(5,5)，
所以|b＋c|＝5eq \r(2).
14.已知三棱锥P－ABC，若PA⊥平面ABC，PA＝AB＝AC＝BC，则异面直线PB与AC所成角的余弦值为________.
答案 eq \f(\r(2),4)
解析 过B作BD∥AC，且BD＝AC，连接AD，
则四边形ADBC为菱形，如图所示，
∴∠PBD(或其补角)即为异面直线PB与AC所成角.
设PA＝AB＝AC＝BC＝a.
∴AD＝a，BD＝a，
∵PA⊥平面ABC，
∴PB＝PD＝eq \r(PA2＋AD2)＝eq \r(2)a，
∴cs∠PBD＝eq \f(PB2＋BD2－PD2,2×PB×BD)＝eq \f(2a2＋a2－2a2,2×\r(2)a×a)＝eq \f(\r(2),4).
∴异面直线PB与AC所成角的余弦值为eq \f(\r(2),4).
15.甲、乙、丙三人向同一飞机射击，设击中的概率分别为0.4，0.5,0.8，若只有1人击中，则飞机被击落的概率为0.2，若2人击中，则飞机被击落的概率为0.6，若3人击中，则飞机一定被击落，则飞机被击落的概率为______.
答案 0.492
解析 设甲、乙、丙三人击中飞机为事件A，B，C，依题意，A，B，C相互独立，故所求事件概率为P＝[P(Aeq \x\t(B)eq \x\t(C))＋P(eq \x\t(A)Beq \x\t(C))＋P(eq \x\t(A)eq \x\t(B)C)]×0.2＋[P(ABeq \x\t(C))＋P(eq \x\t(A)BC)＋P(Aeq \x\t(B)C)]×0.6＋P(ABC) ＝(0.4×0.5×0.2＋0.6×0.5×0.2＋0.6×0.5×0.8)×0.2＋(0.4×0.5×0.2＋0.6×0.5×0.8＋0.4×0.5×0.8)×0.6＋0.4×0.5×0.8＝0.492.
16.在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段AC上，若∠BDC＝45°，则BD＝________；cs∠ABD＝________.(本题第一空2分，第二空3分)
答案 eq \f(12\r(2),5) eq \f(7\r(2),10)
解析 在△ABD中，由正弦定理得，eq \f(AB,sin∠ADB)＝eq \f(BD,sin∠BAC)，而AB＝4，∠ADB＝135°，
AC＝eq \r(AB2＋BC2)＝5，sin∠BAC＝eq \f(BC,AC)＝eq \f(3,5)，cs∠BAC＝eq \f(AB,AC)＝eq \f(4,5)，所以BD＝eq \f(12\r(2),5).
cs∠ABD＝cs(∠BDC－∠BAC)＝cs eq \f(π,4)cs∠BAC＋sin eq \f(π,4)sin∠BAC＝eq \f(7\r(2),10).
四、解答题(本大题共6小题，共70分)
17.(10分)已知向量a＝(1，eq \r(3))，b＝(－2,0).
(1)求a－b的坐标以及a－b与a之间的夹角；
(2)当t∈[－1,1]时，求|a－tb|的取值范围.
解 (1)a－b＝(1，eq \r(3))－(－2,0)＝(3，eq \r(3))，
所以a－b的坐标为(3，eq \r(3)).
设a－b与a之间的夹角为θ，
则cs θ＝eq \f(a－b·a,|a－b||a|)＝eq \f(3×1＋\r(3)×\r(3),\r(9＋3)×\r(1＋3))＝eq \f(\r(3),2)，而0≤θ≤π，故θ＝eq \f(π,6).
(2)因为a－tb＝(1，eq \r(3))－t(－2,0)＝(1＋2t，eq \r(3))，
所以|a－tb|＝eq \r(1＋2t2＋3)＝eq \r(4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t＋\f(1,2)))2＋3)，
在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，－\f(1,2)))上递减，在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1))上递增，
所以t＝－eq \f(1,2)时，|a－tb|取最小值为eq \r(3)，
t＝1时，|a－tb|取最大值为2eq \r(3)，故|a－tb|的取值范围为[eq \r(3)，2eq \r(3)].
18.(12分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知eq \r(3)bcs C＝csin B.
(1)求角C的大小；
(2)若c＝2eq \r(7)，△ABC的面积为6eq \r(3)，求△ABC的周长.
解 (1)由正弦定理eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，
得eq \r(3)sin Bcs C＝sin Bsin C，
在△ABC中，因为sin B≠0，
所以eq \r(3)cs C＝sin C，
故tan C＝eq \r(3)，
又因为0＜C＜π，所以C＝eq \f(π,3).
(2)由已知，得eq \f(1,2)absin C＝6eq \r(3).
又C＝eq \f(π,3)，所以ab＝24.
由已知及余弦定理，得a2＋b2－2abcs C＝28，
所以a2＋b2＝52，从而(a＋b)2＝100.即a＋b＝10，
又c＝2eq \r(7)，
所以△ABC的周长为10＋2eq \r(7).
19.(12分)某同学在解题中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数.
①eq \f(2＋i,1－2i)；②eq \f(－4＋3i,3＋4i)；③eq \f(－1－i,－1＋i)(i是虚数单位).
(1)从三个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据三个式子的结构特征及(1)的计算结果，将该同学的发现推广为一个复数恒等式，并证明你的结论.
解 (1)eq \f(2＋i,1－2i)＝eq \f(2＋i1＋2i,1－2i1＋2i)＝eq \f(2＋4i＋i－2,5)＝i，
eq \f(－4＋3i,3＋4i)＝eq \f(－4＋3i3－4i,3＋4i3－4i)＝eq \f(－12＋16i＋9i＋12,25)＝i，
eq \f(－1－i,－1＋i)＝eq \f(－1－i－1－i,－1＋i－1－i)＝eq \f(1＋2i－1,2)＝i.
(2)根据三个式子的结构特征及(1)的计算结果，可以得到：
eq \f(a＋bi,b－ai)＝i(a，b∈R且a，b不同时为零)，
下面进行证明：
要证明eq \f(a＋bi,b－ai)＝i，
只需证a＋bi＝i(b－ai)，
只需证a＋bi＝a＋bi，
因为上式成立，所以eq \f(a＋bi,b－ai)＝i成立.
(或直接利用复数的乘除运算得出结果)
20.(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，BC∥平面PAD，∠ABC＝90°，PA＝PB＝eq \f(\r(2),2)AB，
求证：(1)AD∥平面PBC；
(2)平面PBC⊥平面PAD.
证明 (1)∵BC∥平面PAD，而BC⊂平面ABCD，
平面ABCD∩平面PAD＝AD，∴BC∥AD.
∵AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，
∴AD∥平面PBC.
(2)∵PA＝PB＝eq \f(\r(2),2)AB，满足PA2＋PB2＝AB2，
∴PA⊥PB.
由∠ABC＝90°知BC⊥AB.
又∵平面PAB⊥平面ABCD，
平面PAB∩平面ABCD＝AB，BC⊂平面ABCD，
∴BC⊥平面PAB.
又∵PA⊂平面PAB，∴BC⊥PA.
又∵PB∩BC＝B，PB⊂平面PBC，BC⊂平面PBC，
∴PA⊥平面PBC.
又∵PA⊂平面PAD，∴平面PBC⊥平面PAD.
21.(12分)全国文明城市，简称文明城市，是指在全面建设小康社会中市民整体素质和城市文明程度较高的城市.全国文明城市称号是反映中国大陆城市整体文明水平的最高荣誉称号.为普及相关知识，争创全国文明城市，某市组织了文明城市知识竞赛，现随机抽取了甲、乙两个单位各5名职工的成绩(单位：分)如下表：
(1)根据上表中的数据，分别求出甲、乙两个单位5名职工的成绩的平均数和方差，并比较哪个单位的职工对文明城市知识掌握得更好；
(2)用简单随机抽样法从乙单位5名职工中抽取2人，求抽取的2名职工的成绩差的绝对值不小于4的概率.
解 (1)eq \x\t(x甲)＝eq \f(87＋88＋91＋91＋93,5)＝90，
eq \x\t(x乙)＝eq \f(85＋89＋91＋92＋93,5)＝90，
seq \\al(2,甲)＝eq \f(1,5)[(87－90)2＋(88－90)2＋(91－90)2＋(91－90)2＋(93－90)2]＝eq \f(24,5)，
seq \\al(2,乙)＝eq \f(1,5)[(85－90)2＋(89－90)2＋(91－90)2＋(92－90)2＋(93－90)2]＝8，
显然eq \x\t(x甲)＝eq \x\t(x乙)，seq \\al(2,甲)
(2)从乙单位5名职工中随机抽取2名，他们的成绩组成的所有基本事件(用数对表示)为(85,89)，(85,91)，(85,92)，(85,93)，(89,91)，(89,92)，(89,93)，(91,92)，(91,93)，(92,93)，共10个.记“抽取的2名职工的成绩差的绝对值不小于4”为事件A，则事件A包含的基本事件为(85,89)，(85,91)，(85,92)，(85,93)，(89,93)，共5个.
由古典概型计算公式可知P(A)＝eq \f(5,10)＝eq \f(1,2).
22.(12分)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次.根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：
(1)为了调查评委对7位歌手的支持情况，现用分层随机抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B组抽取了6人，请将其余各组抽取的人数填入下表.
(2)在(1)中，若A，B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率.
解 (1)由题设知，分层随机抽样的抽取比例为6%，所以各组抽取的人数如下表：
(2)记从A组抽到的3位评委分别为a1，a2，a3，其中a1，a2支持1号歌手；从B组抽到的6位评委分别为b1，b2，b3，b4，b5，b6，其中b1，b2支持1号歌手，从{a1，a2，a3}和{b1，b2，b3，b4，b5，b6}中各抽取1人的所有结果如图：
由树形图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有a1b1，a1b2，a2b1，a2b2共4种，
故所求概率P＝eq \f(4,18)＝eq \f(2,9).编号
温度(℃)
地区
1
2
3
4
5
甲
26
29
28
31
31
乙
28
30
31
29
32
甲单位
87
88
91
91
93
乙单位
85
89
91
92
93
组别
A
B
C
D
E
人数
50
100
150
150
50
组别
A
B
C
D
E
人数
50
100
150
150
50
抽取人数
6
组别
A
B
C
D
E
人数
50
100
150
150
50
抽取人数
3
6
9
9
3
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1.若|z－1|＝|z＋1|，则复数z对应的点在( )
A.实轴上 B.虚轴上 C.第一象限 D.第二象限
答案 B
解析 ∵|z－1|＝|z＋1|，∴点Z到(1,0)和(－1,0)的距离相等，即点Z在以(1,0)和(－1,0)为端点的线段的中垂线上.
2.某学校有高中学生1 000人，其中高一年级、高二年级、高三年级的人数分别为320,300,380.为调查学生参加“社区志愿服务”的意向，现采用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为100的样本，那么应抽取高二年级学生的人数为( )
A.68 B.38 C.32 D.30
答案 D
解析 根据题意得，用分层随机抽样在各层中的抽样比为eq \f(100,1 000)＝eq \f(1,10)，
则高二年级抽取的人数是300×eq \f(1,10)＝30(人).
3.在一个圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，顶点是圆柱下底面中心.若圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆锥的侧面展开图面积为( )
A.eq \r(5)π B.eq \r(6)π C.3π D.4π
答案 A
解析 圆锥的侧面展开图是半径为eq \r(5)，弧长为2π的扇形，其面积S＝eq \f(1,2)l·r＝eq \f(1,2)(2π·1)eq \r(5)＝eq \r(5)π，所以圆锥的侧面展开图面积为eq \r(5)π.
4.已知底面边长为1，侧棱长为eq \r(2)的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为( )
A.eq \f(32π,3) B.4π C.2π D.eq \f(4π,3)
答案 D
解析 ∵正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为eq \r(2)，∴正四棱柱体对角线的长为eq \r(1＋1＋2)＝2.又∵正四棱柱的顶点在同一球面上，∴正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，得球的半径R＝1，根据球的体积公式，得此球的体积V＝eq \f(4,3)πR3＝eq \f(4π,3)，故选D.
5.如图，在△ABC中，eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))，P是BN的中点，若eq \(AP,\s\up6(→))＝meq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→))，则实数m的值是( )
A.eq \f(1,4) B.1
C.eq \f(1,2) D.eq \f(3,2)
答案 C
解析 ∵P，N分别是BN，AC的中点，
∴eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BP,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(BN,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \(AN,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→)).
又eq \(AP,\s\up6(→))＝meq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→))，
∴m＝eq \f(1,2).
6.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为S，且a＝1,4S＝b2＋c2－1，则△ABC外接圆的面积为( )
A.4π B.2π C.π D.eq \f(π,2)
答案 D
解析 由余弦定理得，b2＋c2－a2＝2bccs A，a＝1，
所以b2＋c2－1＝2bccs A，
又S＝eq \f(1,2)bcsin A,4S＝b2＋c2－1，
所以有4×eq \f(1,2)bcsin A＝2bccs A，
即sin A＝cs A，
又0
由正弦定理得，eq \f(1,sin \f(π,4))＝2R(R为△ABC外接圆的半径)，
得R＝eq \f(\r(2),2)，
所以△ABC外接圆的面积为eq \f(π,2).
7.某高校在2019年新增设的“人工智能”专业，共招收了两个班，其中甲班30人，乙班40人，在2019届高考中，甲班学生的平均分为665分，方差为131，乙班学生平均分为658分，方差为208.
则该专业所有学生在2019年高考中的平均分和方差分别为( )
A.661.5,169.5 B.661,187
C.661,175 D.660,180
答案 B
解析 依题意eq \x\t(x甲)＝665，seq \\al(2,甲)＝131，eq \x\t(x乙)＝658，seq \\al(2,乙)＝208，
则eq \x\t(x)＝eq \f(30×665,70)＋eq \f(40×658,70)＝661，
s2＝eq \f(30,70)[131＋(665－661)2]＋eq \f(40,70)[208＋(658－661)2]＝187.
8.袋子中有四个小球，分别写有“和、平、世、界”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“和”“平”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率.利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0,1,2,3代表“和、平、世、界”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下24个随机数组：
232 321 230 023 123 021 132 220 011 203
331 100 231 130 133 231 031 320 122 103
233 221 020 132
由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为( )
A.eq \f(1,8) B.eq \f(1,4) C.eq \f(1,6) D.eq \f(5,24)
答案 A
解析 由题意可知，满足条件的随机数组中，前两次抽取的数中必须包含0或1，且0与1不能同时出现，出现0就不能出现1，反之亦然，第三次必须出现前面两个数字中没有出现的1或0，可得符合条件的数组只有3组：021,130,031，故所求概率为P＝eq \f(3,24)＝eq \f(1,8).
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9.某校高一年级15个班参加朗诵比赛的得分如下：
91 89 90 92 94 87 93 96 91 85 89 93 88 98 93
则下列关于这组数据的说法中正确的是( )
A.60%分位数为92.5
B.60%分位数为92
C.90%分位数为95
D.90%分位数为96
答案 AD
解析 将这组数据按从小到大排列得
85 87 88 89 89 90 91 91 92 93 93 93 94 96 98
则15×60%＝9,15×90%＝13.5，
所以60%分位数为eq \f(92＋93,2)＝92.5,90%分位数为96.
10.对于两个平面α，β和两条直线m，n，下列命题中假命题是( )
A.若m⊥α，m⊥n，则n∥α
B.若m∥α，α⊥β，则m⊥β
C.若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n
D.若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n
答案 ABC
解析 A中n可能在α内，A是假命题；B中m也可能在β内，B是假命题；m与n可能平行，C是假命题；m⊥α，α⊥β，则m⊂β或m∥β，若m⊂β，则由n⊥β得n⊥m，若m∥β，则β内有直线c∥m，而易知c⊥n，从而m⊥n，D是真命题.
11.下面四个命题中的真命题为( )
A.若复数z满足eq \f(1,z)∈R，则z∈R
B.若复数z满足z2∈R，则z∈R
C.若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝eq \x\t(z)2
D.若复数z∈R，则eq \x\t(z)∈R
答案 AD
解析 若复数z满足eq \f(1,z)∈R，则z∈R，A为真命题；
复数z＝i满足z2＝－1∈R，而z∉R，故B为假命题；
若复数z1＝i，z2＝2i满足z1z2∈R，但z1≠eq \x\t(z)2，故C为假命题；
若复数z∈R，则eq \x\t(z)＝z∈R，故D为真命题.
12.为比较甲，乙两地某月14时的气温，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据制成统计表如下，
从表中能得到的结论有( )
A.甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温
B.甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温
C.甲地该月14时气温的标准差小于乙地该月14时气温的标准差
D.甲地该月14时气温的标准差大于乙地该月14时气温的标准差
答案 AD
解析 甲地该月5天14时的平均气温为eq \f(1,5)×(26＋28＋29＋31＋31)＝29，
乙地该月5天14时的平均气温为eq \f(1,5)×(28＋29＋30＋31＋32)＝30，
故可得甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；
甲地该月5天14时温度的方差为seq \\al(2,甲)＝eq \f(1,5)×[(26－29)2＋(28－29)2＋(29－29)2＋(31－29)2＋(31－29)2]＝3.6；
乙地该月5天14时温度的方差为seq \\al(2,乙)＝eq \f(1,5)×[(28－30)2＋(29－30)2＋(30－30)2＋(31－30)2＋(32－30)2]＝2，
故可得甲地该月14时气温的方差大于乙地该月14时气温的方差，
所以甲地该月14时气温的标准差大于乙地该月14时气温的标准差.
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.已知向量a＝(x,2)，b＝(2,1)，c＝(3，x)，若a∥b，则|b＋c|＝________.
答案 5eq \r(2)
解析 因为a∥b，
所以x－2×2＝0，解得x＝4，
则 b＋c＝(2,1)＋(3,4)＝(5,5)，
所以|b＋c|＝5eq \r(2).
14.已知三棱锥P－ABC，若PA⊥平面ABC，PA＝AB＝AC＝BC，则异面直线PB与AC所成角的余弦值为________.
答案 eq \f(\r(2),4)
解析 过B作BD∥AC，且BD＝AC，连接AD，
则四边形ADBC为菱形，如图所示，
∴∠PBD(或其补角)即为异面直线PB与AC所成角.
设PA＝AB＝AC＝BC＝a.
∴AD＝a，BD＝a，
∵PA⊥平面ABC，
∴PB＝PD＝eq \r(PA2＋AD2)＝eq \r(2)a，
∴cs∠PBD＝eq \f(PB2＋BD2－PD2,2×PB×BD)＝eq \f(2a2＋a2－2a2,2×\r(2)a×a)＝eq \f(\r(2),4).
∴异面直线PB与AC所成角的余弦值为eq \f(\r(2),4).
15.甲、乙、丙三人向同一飞机射击，设击中的概率分别为0.4，0.5,0.8，若只有1人击中，则飞机被击落的概率为0.2，若2人击中，则飞机被击落的概率为0.6，若3人击中，则飞机一定被击落，则飞机被击落的概率为______.
答案 0.492
解析 设甲、乙、丙三人击中飞机为事件A，B，C，依题意，A，B，C相互独立，故所求事件概率为P＝[P(Aeq \x\t(B)eq \x\t(C))＋P(eq \x\t(A)Beq \x\t(C))＋P(eq \x\t(A)eq \x\t(B)C)]×0.2＋[P(ABeq \x\t(C))＋P(eq \x\t(A)BC)＋P(Aeq \x\t(B)C)]×0.6＋P(ABC) ＝(0.4×0.5×0.2＋0.6×0.5×0.2＋0.6×0.5×0.8)×0.2＋(0.4×0.5×0.2＋0.6×0.5×0.8＋0.4×0.5×0.8)×0.6＋0.4×0.5×0.8＝0.492.
16.在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段AC上，若∠BDC＝45°，则BD＝________；cs∠ABD＝________.(本题第一空2分，第二空3分)
答案 eq \f(12\r(2),5) eq \f(7\r(2),10)
解析 在△ABD中，由正弦定理得，eq \f(AB,sin∠ADB)＝eq \f(BD,sin∠BAC)，而AB＝4，∠ADB＝135°，
AC＝eq \r(AB2＋BC2)＝5，sin∠BAC＝eq \f(BC,AC)＝eq \f(3,5)，cs∠BAC＝eq \f(AB,AC)＝eq \f(4,5)，所以BD＝eq \f(12\r(2),5).
cs∠ABD＝cs(∠BDC－∠BAC)＝cs eq \f(π,4)cs∠BAC＋sin eq \f(π,4)sin∠BAC＝eq \f(7\r(2),10).
四、解答题(本大题共6小题，共70分)
17.(10分)已知向量a＝(1，eq \r(3))，b＝(－2,0).
(1)求a－b的坐标以及a－b与a之间的夹角；
(2)当t∈[－1,1]时，求|a－tb|的取值范围.
解 (1)a－b＝(1，eq \r(3))－(－2,0)＝(3，eq \r(3))，
所以a－b的坐标为(3，eq \r(3)).
设a－b与a之间的夹角为θ，
则cs θ＝eq \f(a－b·a,|a－b||a|)＝eq \f(3×1＋\r(3)×\r(3),\r(9＋3)×\r(1＋3))＝eq \f(\r(3),2)，而0≤θ≤π，故θ＝eq \f(π,6).
(2)因为a－tb＝(1，eq \r(3))－t(－2,0)＝(1＋2t，eq \r(3))，
所以|a－tb|＝eq \r(1＋2t2＋3)＝eq \r(4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t＋\f(1,2)))2＋3)，
在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，－\f(1,2)))上递减，在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1))上递增，
所以t＝－eq \f(1,2)时，|a－tb|取最小值为eq \r(3)，
t＝1时，|a－tb|取最大值为2eq \r(3)，故|a－tb|的取值范围为[eq \r(3)，2eq \r(3)].
18.(12分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知eq \r(3)bcs C＝csin B.
(1)求角C的大小；
(2)若c＝2eq \r(7)，△ABC的面积为6eq \r(3)，求△ABC的周长.
解 (1)由正弦定理eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，
得eq \r(3)sin Bcs C＝sin Bsin C，
在△ABC中，因为sin B≠0，
所以eq \r(3)cs C＝sin C，
故tan C＝eq \r(3)，
又因为0＜C＜π，所以C＝eq \f(π,3).
(2)由已知，得eq \f(1,2)absin C＝6eq \r(3).
又C＝eq \f(π,3)，所以ab＝24.
由已知及余弦定理，得a2＋b2－2abcs C＝28，
所以a2＋b2＝52，从而(a＋b)2＝100.即a＋b＝10，
又c＝2eq \r(7)，
所以△ABC的周长为10＋2eq \r(7).
19.(12分)某同学在解题中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数.
①eq \f(2＋i,1－2i)；②eq \f(－4＋3i,3＋4i)；③eq \f(－1－i,－1＋i)(i是虚数单位).
(1)从三个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据三个式子的结构特征及(1)的计算结果，将该同学的发现推广为一个复数恒等式，并证明你的结论.
解 (1)eq \f(2＋i,1－2i)＝eq \f(2＋i1＋2i,1－2i1＋2i)＝eq \f(2＋4i＋i－2,5)＝i，
eq \f(－4＋3i,3＋4i)＝eq \f(－4＋3i3－4i,3＋4i3－4i)＝eq \f(－12＋16i＋9i＋12,25)＝i，
eq \f(－1－i,－1＋i)＝eq \f(－1－i－1－i,－1＋i－1－i)＝eq \f(1＋2i－1,2)＝i.
(2)根据三个式子的结构特征及(1)的计算结果，可以得到：
eq \f(a＋bi,b－ai)＝i(a，b∈R且a，b不同时为零)，
下面进行证明：
要证明eq \f(a＋bi,b－ai)＝i，
只需证a＋bi＝i(b－ai)，
只需证a＋bi＝a＋bi，
因为上式成立，所以eq \f(a＋bi,b－ai)＝i成立.
(或直接利用复数的乘除运算得出结果)
20.(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，BC∥平面PAD，∠ABC＝90°，PA＝PB＝eq \f(\r(2),2)AB，
求证：(1)AD∥平面PBC；
(2)平面PBC⊥平面PAD.
证明 (1)∵BC∥平面PAD，而BC⊂平面ABCD，
平面ABCD∩平面PAD＝AD，∴BC∥AD.
∵AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，
∴AD∥平面PBC.
(2)∵PA＝PB＝eq \f(\r(2),2)AB，满足PA2＋PB2＝AB2，
∴PA⊥PB.
由∠ABC＝90°知BC⊥AB.
又∵平面PAB⊥平面ABCD，
平面PAB∩平面ABCD＝AB，BC⊂平面ABCD，
∴BC⊥平面PAB.
又∵PA⊂平面PAB，∴BC⊥PA.
又∵PB∩BC＝B，PB⊂平面PBC，BC⊂平面PBC，
∴PA⊥平面PBC.
又∵PA⊂平面PAD，∴平面PBC⊥平面PAD.
21.(12分)全国文明城市，简称文明城市，是指在全面建设小康社会中市民整体素质和城市文明程度较高的城市.全国文明城市称号是反映中国大陆城市整体文明水平的最高荣誉称号.为普及相关知识，争创全国文明城市，某市组织了文明城市知识竞赛，现随机抽取了甲、乙两个单位各5名职工的成绩(单位：分)如下表：
(1)根据上表中的数据，分别求出甲、乙两个单位5名职工的成绩的平均数和方差，并比较哪个单位的职工对文明城市知识掌握得更好；
(2)用简单随机抽样法从乙单位5名职工中抽取2人，求抽取的2名职工的成绩差的绝对值不小于4的概率.
解 (1)eq \x\t(x甲)＝eq \f(87＋88＋91＋91＋93,5)＝90，
eq \x\t(x乙)＝eq \f(85＋89＋91＋92＋93,5)＝90，
seq \\al(2,甲)＝eq \f(1,5)[(87－90)2＋(88－90)2＋(91－90)2＋(91－90)2＋(93－90)2]＝eq \f(24,5)，
seq \\al(2,乙)＝eq \f(1,5)[(85－90)2＋(89－90)2＋(91－90)2＋(92－90)2＋(93－90)2]＝8，
显然eq \x\t(x甲)＝eq \x\t(x乙)，seq \\al(2,甲)
(2)从乙单位5名职工中随机抽取2名，他们的成绩组成的所有基本事件(用数对表示)为(85,89)，(85,91)，(85,92)，(85,93)，(89,91)，(89,92)，(89,93)，(91,92)，(91,93)，(92,93)，共10个.记“抽取的2名职工的成绩差的绝对值不小于4”为事件A，则事件A包含的基本事件为(85,89)，(85,91)，(85,92)，(85,93)，(89,93)，共5个.
由古典概型计算公式可知P(A)＝eq \f(5,10)＝eq \f(1,2).
22.(12分)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次.根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：
(1)为了调查评委对7位歌手的支持情况，现用分层随机抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B组抽取了6人，请将其余各组抽取的人数填入下表.
(2)在(1)中，若A，B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率.
解 (1)由题设知，分层随机抽样的抽取比例为6%，所以各组抽取的人数如下表：
(2)记从A组抽到的3位评委分别为a1，a2，a3，其中a1，a2支持1号歌手；从B组抽到的6位评委分别为b1，b2，b3，b4，b5，b6，其中b1，b2支持1号歌手，从{a1，a2，a3}和{b1，b2，b3，b4，b5，b6}中各抽取1人的所有结果如图：
由树形图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有a1b1，a1b2，a2b1，a2b2共4种，
故所求概率P＝eq \f(4,18)＝eq \f(2,9).编号
温度(℃)
地区
1
2
3
4
5
甲
26
29
28
31
31
乙
28
30
31
29
32
甲单位
87
88
91
91
93
乙单位
85
89
91
92
93
组别
A
B
C
D
E
人数
50
100
150
150
50
组别
A
B
C
D
E
人数
50
100
150
150
50
抽取人数
6
组别
A
B
C
D
E
人数
50
100
150
150
50
抽取人数
3
6
9
9
3
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