人教A版 (2019)必修 第二册第七章 复数本章综合与测试课后测评

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册第七章 复数本章综合与测试课后测评，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

(时间：120分钟 满分：150分)


一、选择题(本大题共13小题，每小题4分，共52分. 在每小题给出的四个选项中，第1～10题只有一项符合题目要求；第11～13题，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的不得分)


1.复数i3(1＋i)2等于( )


A.2 B.－2 C.2i D.－2i


答案 A


解析 i3(1＋i)2＝－i·(2i)＝2.


2.i是虚数单位，复数eq \f(7－i,3＋i)等于( )


A.2＋i B.2－i


C.－2＋i D.－2－i


答案 B


解析 eq \f(7－i,3＋i)＝eq \f(7－i3－i,10)＝eq \f(20－10i,10)＝2－i.


3.复数z＝eq \f(i,1＋i)在复平面上对应的点位于( )


A.第一象限 B.第二象限


C.第三象限 D.第四象限


答案 A


解析 z＝eq \f(i,1＋i)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)i，对应点在第一象限.


4.设z＝－3＋2i，则在复平面内eq \x\t(z)对应的点位于( )


A.第一象限 B.第二象限


C.第三象限 D.第四象限


答案 C


解析 由z＝－3＋2i，得eq \x\t(z)＝－3－2i，对应点(－3，－2)位于第三象限.


5.在复平面上，一个正方形的三个顶点按顺序分别对应的复数是1＋2i，－2＋i,0，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为( )


A.3＋i B.3－i


C.1－3i D.－1＋3i


答案 D


解析 在复平面内通过已知三个点易知第四个顶点对应的复数为－1＋3i.


6.当z＝－eq \f(1－i,\r(2))时，z100＋z50＋1的值等于( )


A.1 B.－1 C.i D.－i


答案 D


解析 z2＝eq \f(1－i2,2)＝－i，


则z100＋z50＋1＝(－i)50＋(－i)25＋1＝i12×4＋2＋(－1)25·i6×4＋1＋1＝－1－i＋1＝－i.


7.已知复数z＝1－i，则eq \f(z2－2z,z－1)等于( )


A.2i B.－2i


C.2 D.－2


答案 B


解析 ∵z＝1－i，


∴eq \f(z2－2z,z－1)＝eq \f(－2i－2＋2i,1－i－1)＝eq \f(－2,－i)＝－2i.


8.已知i为虚数单位，若复数z＝eq \f(1－ai,1＋i)(a∈R)的虚部为－3，则|z|等于( )


A.eq \r(10) B.2eq \r(3) C.eq \r(13) D.5


答案 C


解析 因为z＝eq \f(1－ai,1＋i)＝eq \f(1－ai1－i,1＋i1－i)＝eq \f(1－a－a＋1i,2)＝eq \f(1－a,2)－eq \f(a＋1,2)i，所以－eq \f(a＋1,2)＝－3，解得a＝5，所以z＝－2－3i，所以|z|＝eq \r(－22＋－32)＝eq \r(13).


9.已知z1＝1＋2i，z2＝m＋(m－1)i，i为虚数单位，且两复数的乘积z1z2的实部和虚部为相等的正数，则实数m的值为( )


A.－eq \f(4,3) B.eq \f(4,3)


C.－eq \f(3,4) D.eq \f(3,4)


答案 D


解析 因为z1z2＝(1＋2i)[m＋(m－1)i]


＝[m－2(m－1)]＋[2m＋(m－1)]i＝(2－m)＋(3m－1)i，


所以2－m＝3m－1，即m＝eq \f(3,4).


经检验，m＝eq \f(3,4)能使2－m＝3m－1>0，


所以m＝eq \f(3,4)满足题意.


10.复数z＝(x－2)＋yi(x，y∈R)在复平面内对应向量的模为2，则|z＋2|的最大值为( )


A.2 B.4 C.6 D.8


答案 B


解析 由已知，(x－2)2＋y2＝4.


∴点(x，y)在以(2,0)为圆心，以2为半径的圆上.


又|z＋2|＝|x＋yi|表示点(x，y)到原点的距离.


∴|z＋2|的最大值为圆的直径4.


11.设z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，t∈R，i为虚数单位，则以下结论不正确的是( )


A.z对应的点在第一象限


B.z一定不为纯虚数


C.eq \x\t(z)对应的点在实轴的下方


D.z一定为实数


答案 ABD


解析 ∵2t2＋5t－3＝(2t－1)(t＋3)，


∴2t2＋5t－3的符号可正、可负、可为0，


又t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1>0，


∴不正确的有A，B，D.


12.下面关于复数z＝eq \f(2,－1＋i)的四个说法中，正确的有( )


A.|z|＝2


B.z2＝2i


C.z的共轭复数为1＋i


D.z的虚部为－1


答案 BD


解析 ∵z＝eq \f(2,－1＋i)＝eq \f(2－1－i,－1＋i－1－i)＝－1－i，


∴|z|＝eq \r(2)，A不正确；


z2＝(－1－i)2＝2i，B正确；


z的共轭复数为－1＋i，C不正确；


z的虚部为－1，D正确.


13.设z1，z2是复数，则下列说法中正确的是( )


A.若|z1－z2|＝0，则eq \x\t(z)1＝eq \x\t(z)2


B.若z1＝eq \x\t(z)2，则eq \x\t(z)1＝z2


C.若|z1|＝|z2|，则z1·eq \x\t(z)1＝z2·eq \x\t(z)2


D.若|z1|＝|z2|，则zeq \\al(2,1)＝zeq \\al(2,2)


答案 ABC


解析 对于A，若|z1－z2|＝0，则z1－z2＝0，z1＝z2，所以eq \x\t(z)1＝eq \x\t(z)2；


对于B若z1＝eq \x\t(z)2，则z1和z2互为共轭复数，所以eq \x\t(z)1＝z2；


对于C，设z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，若|z1|＝|z2|，则eq \r(a\\al(2,1)＋b\\al(2,1))＝eq \r(a\\al(2,2)＋b\\al(2,2))，z1·eq \x\t(z)1＝aeq \\al(2,1)＋beq \\al(2,1)，z2·eq \x\t(z)2＝aeq \\al(2,2)＋beq \\al(2,2)，所以z1·eq \x\t(z)1＝z2·eq \x\t(z)2；


对于D，若z1＝1，z2＝i，则|z1|＝|z2|，


而zeq \\al(2,1)＝1，zeq \\al(2,2)＝－1，所以zeq \\al(2,1)＝zeq \\al(2,2)不正确.


二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)


14.i是虚数单位，复数z满足(1＋i)z＝2，则z的实部为________，|z|＝________.


答案 1 eq \r(2)


解析 因为(1＋i)z＝2，


所以z＝eq \f(2,1＋i)＝1－i，


所以其实部为1，|z|＝eq \r(2).


15.若z1＝1－i，z2＝3－5i，在复平面上与z1，z2对应的点分别为Z1，Z2，则Z1，Z2的距离为________.


答案 2eq \r(5)


解析 由z1＝1－i，z2＝3－5i知Z1(1，－1)，Z2(3，－5)，


由两点间的距离公式得，


d＝eq \r(3－12＋－5＋12)＝2eq \r(5).


16.若复数z＝a＋i(a∈R)与它的共轭复数eq \x\t(z)所对应的向量互相垂直，则a＝________.


答案 ±1


解析 eq \x\t(z)＝a－i，因为复数z与它的共轭复数eq \x\t(z)所对应的向量互相垂直，所以a2＝1，所以a＝±1.


17.已知复数z1＝cs θ－i，z2＝sin θ＋i，则z1·z2的实部最大值为________，虚部最大值为________.


答案 eq \f(3,2) eq \r(2)


解析 z1·z2＝(cs θ－i)·(sin θ＋i)


＝(cs θsin θ＋1)＋i(cs θ－sin θ)


实部cs θsin θ＋1＝1＋eq \f(1,2)sin 2θ≤eq \f(3,2)，最大值为eq \f(3,2)，


虚部cs θ－sin θ＝eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))≤eq \r(2)，最大值为eq \r(2).


三、解答题(本大题共6小题，共82分)


18.(12分)已知复数z1＝2－3i，z2＝eq \f(15－5i,2＋i2).求：


(1)z1z2；(2)eq \f(z1,z2).


解 z2＝eq \f(15－5i,2＋i2)＝eq \f(15－5i,3＋4i)＝eq \f(15－5i3－4i,3＋4i3－4i)


＝eq \f(25－75i,25)＝1－3i，


则(1)z1z2＝(2－3i)(1－3i)＝－7－9i.


(2)eq \f(z1,z2)＝eq \f(2－3i,1－3i)＝eq \f(2－3i1＋3i,1－3i1＋3i)


＝eq \f(11＋3i,10)＝eq \f(11,10)＋eq \f(3,10)i.


19.(12分)已知复数z满足(1＋2i)eq \x\t(z)＝4＋3i.


(1)求复数z；


(2)若复数(z＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.


解 (1)∵(1＋2i)eq \x\t(z)＝4＋3i，


∴eq \x\t(z)＝eq \f(4＋3i,1＋2i)＝eq \f(4＋3i1－2i,1＋2i1－2i)＝eq \f(10－5i,5)＝2－i，∴z＝2＋i.


(2)由(1)知z＝2＋i，则(z＋ai)2＝(2＋i＋ai)2＝[2＋(a＋1)i]2＝4－(a＋1)2＋4(a＋1)i，


∵复数(z＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限，


∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4－a＋12>0，,4a＋1>0，))解得－1

即实数a的取值范围为(－1,1).


20.(14分)复平面内有A，B，C三点，点A对应的复数是3＋i，向量eq \(AC,\s\up6(→))表示的复数是－2－4i，向量eq \(BC,\s\up6(→))表示的复数是－4－i，求B点对应的复数.


解 ∵eq \(CA,\s\up6(→))表示的复数是2＋4i，eq \(CB,\s\up6(→))表示的复数是4＋i，


∴eq \(AB,\s\up6(→))表示的复数为(4＋i)－(2＋4i)＝2－3i，


故eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))对应的复数为(3＋i)＋(2－3i)＝5－2i，


∴B点对应的复数为zB＝5－2i.


21.(14分)已知复数z＝1＋mi(i是虚数单位，m∈R)，且eq \x\t(z)·(3＋i)为纯虚数(eq \x\t(z)是z的共轭复数).


(1)设复数z1＝eq \f(m＋2i,1－i)，求|z1|；


(2)设复数z2＝eq \f(a－i2 021,z)，且复数z2所对应的点在第四象限，求实数a的取值范围.


解 ∵z＝1＋mi，∴eq \x\t(z)＝1－mi.


eq \x\t(z)·(3＋i)＝(1－mi)(3＋i)＝(3＋m)＋(1－3m)i，


又∵eq \x\t(z)·(3＋i)为纯虚数，


∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3＋m＝0，,1－3m≠0，))解得m＝－3.


∴z＝1－3i.


(1)z1＝eq \f(－3＋2i,1－i)＝－eq \f(5,2)－eq \f(1,2)i，


∴|z1|＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))2)＝eq \f(\r(26),2).


(2)∵z＝1－3i，i2 021＝i·i2 020＝i，


∴z2＝eq \f(a－i,1－3i)＝eq \f(a－i1＋3i,1－3i1＋3i)＝eq \f(a＋3＋3a－1i,10)，


又∵复数z2所对应的点在第四象限，


∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a＋3,10)>0，,\f(3a－1,10)<0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>－3，,a<\f(1,3)，))


∴实数a的取值范围是－3

22.(15分)设eq \x\t(z)为复数z的共轭复数，满足|z－eq \x\t(z)|＝2eq \r(3).


(1)若z为纯虚数，求z.


(2)若z－eq \x\t(z)2为实数，求|z|.


解 (1)设z＝bi(b∈R且b≠0)，则eq \x\t(z)＝－bi，


因为|z－eq \x\t(z)|＝2eq \r(3)，则|2bi|＝2eq \r(3)，即|b|＝eq \r(3)，


所以b＝±eq \r(3)，所以z＝±eq \r(3)i.


(2)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则eq \x\t(z)＝a－bi，


因为|z－eq \x\t(z)|＝2eq \r(3)，则|2bi|＝2eq \r(3)，即|b|＝eq \r(3)，


因为z－eq \x\t(z)2＝a＋bi－(a－bi)2＝a－a2＋b2＋(b＋2ab)i.


又z－eq \x\t(z)2为实数，


所以b＋2ab＝0.


因为|b|＝eq \r(3)，所以a＝－eq \f(1,2)，


所以|z|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))2＋±\r(3)2)＝eq \f(\r(13),2).


23.(15分)已知复数z满足|z|＝eq \r(2)，z2的虚部为2.


(1)求复数z；


(2)设z，z2，z－z2在复平面内对应的点分别为A，B，C，求△ABC的面积.


解 (1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，


由已知条件得a2＋b2＝2，z2＝a2－b2＋2abi，


所以2ab＝2.


所以a＝b＝1或a＝b＝－1，即z＝1＋i或z＝－1－i.


(2)当z＝1＋i时，z2＝(1＋i)2＝2i，z－z2＝1－i.


所以点A(1,1)，B(0,2)，C(1，－1)，


所以S△ABC＝eq \f(1,2)|AC|×1＝eq \f(1,2)×2×1＝1.


当z＝－1－i时，z2＝(－1－i)2＝2i，z－z2＝－1－3i.


所以点A(－1，－1)，B(0,2)，C(－1，－3)，


所以S△ABC＝eq \f(1,2)|AC|×1＝eq \f(1,2)×2×1＝1.


即△ABC的面积为1.