高中 / 数学 / 人教A版 (2019) / 必修 第二册 / 全册综合期末试卷 (1)

下学期期末试卷

（答题时间：90分钟）

一、单选题（每题5分，共30分）

1. 设x，y∈R，若（x＋y）＋（y－1）i＝（2x＋3y）＋（2y＋1）i，则复数z＝x＋yi在复平面上对应的点位于（    ）

A. 第一象限                  B. 第二象限

C. 第三象限                D. 第四象限

2. 已知向量a＝（－1，1），b＝（3，m），若a∥（a＋b），则m＝（    ）

A. －2          B. 2            C. -3          D. 3

3. △ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2（1－sin A），则A＝（    ）

A.          B.          C.             D.

4. 一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底都为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（    ）

A.       B.       C.           D.

5. 已知直三棱柱ABC-A1B1C1的六个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，则球O的半径是（    ）

A.         B.         C.               D.

6. 如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600 km处的热带风暴中心正以20 km/h的速度向正北方向移动，距风暴中心450 km以内的地区都将受到影响，则该码头将受到热带风暴影响的时间为（    ）

A. 14 h         B. 15 h         C. 16 h             D. 17 h

二、填空题（每题5分，共20分）

7. 某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：

若以上两组数据的方差中较小的一个为s2，则s2＝____________。

8. 记复数z的共轭复数为，若（i虚数单位），则|z|=            。

9. 若非零向量满足，，则的夹角为________。

10. 如图，圆锥SO中，AB、CD为底面圆的两条直径，AB∩CD=O，且AB⊥CD，SO=OB=2，P为SB的中点，异面直线SA与PD所成角的正切值为__________。

三、解答题（共50分，解答应写出文字步骤过程）

11. （本题满分12分）

在△ABC中，a、b、c分别是内角A、B、C的对边，且。

（1）求角A的大小；

（2）若，△ABC的面积为，求△ABC的周长。

12. （本题满分12分）

已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160。现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动。

（1）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？

（2）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作。

①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；

②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率。

13.（本小题满分13分）

如图，已知长方形ABCD中，AB＝2，AD＝1，M为DC的中点。将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM。

（1）求证：AD⊥BM；

（2）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，三棱锥E-ADM的体积与四棱锥D－ABCM的体积之比为1∶3?

14. （本小题满分13分）

随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机APP软件层出不穷。现从使用A和B两款订餐软件的商家中分别随机抽取50个商家，对它们的“平均送达时间”进行统计，得到频率分布直方图如下。

（1）试估计使用A款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的众数及平均数；

（2）根据以上抽样调查数据，将频率视为概率，回答下列问题：

①能否认为使用B款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家达到75%?

②如果你要从A和B两款订餐软件中选择一款订餐，你会选择哪款？说明理由。

下学期期末试卷参考答案

1. D  【解析】 由题意得，所以x＝4，y＝－2，

所以复数z＝4－2i位于复平面的第四象限，故选D。

2. C  【解析】向量a＝（－1，1），b＝（3，m），则a＋b＝（2，m＋1），a∥（a＋b），则－（m＋1）＝2，解得m＝－3，故选C。

3. C  【解析】因为b＝c，a2＝2bc（1－sin A），

∴,

由余弦定理得，，得到A＝。

4. A 

5. C  【解析】如图，BC1是球的直径，根据数量关系和勾股定理计算得BC1=13，则球的半径为。

6. B  【解析】记现在热带风暴中心的位置为点A，t小时后热带风暴中心到达B点位置，在△OAB中，OA＝600，AB＝20t，∠OAB＝45°，根据余弦定理得OB2＝6002＋400t2－2×20t×600×，令OB2≤4502，即4t2－120t＋1 575≤0，解得

，

所以该码头将受到热带风暴影响的时间为（h）。

7.   【解析】由数据表可得出乙班的数据波动性较大，则其方差较大，甲班的数据波动性较小，其方差较小，其平均值为7，方差s2＝（1＋0＋0＋1＋0）＝。

8.  【解析】由，可得，所以，则。

9. 120°  【解析】设的夹角为θ，因为，所以

又，所以，即，所以，

所以的夹角为120°。

10. 【解析】连接OP，则故∠OPD即为SA与PD的夹角。

∵SO=OB=2，∴SA=，∴OP=。

又在ΔPCD中，PO⊥CD，

∴在RtΔPOD中，OD=2，OP=，

。

11. 【解析】（1）∵，

∴由正弦定理可得：

，

，

即，

∵，

∴，

∵，

∴。

（2）∵，，△ABC的面积为，

∴，

∴，

∴由余弦定理可得：，

即，解得：，

∴△ABC的周长为。

12. 【解析】（1）由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人。

（2）①从抽取的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}共21种。

②由①，不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种。

所以，事件M发生的概率P（M）＝。

13. 【解析】（1）证明：∵长方形ABCD中，AB＝2，AD＝1，M为DC的中点，

∴AM＝BM＝，∴AB2＝AM2＋BM2，

∴BM⊥AM。

∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM＝AM，BM⊂平面ABCM，

∴BM⊥平面ADM。

∵AD⊂平面ADM，∴AD⊥BM。

（2）解：当E为DB的中点时，VE­-ADM＝VB­-ADM＝VD -­ABM＝×VD­-ABCM＝VD -­ABCM，

∴E为DB的中点。

14. 【解析】（1）依题意可得，使用A款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的众数为55分钟。使用A款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的平均数为：

15×0. 06＋25×0. 34＋35×0. 12＋45×0. 04＋55×0. 4＋65×0. 04＝40（分钟）。

（2）①使用B款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家的比例估计值为0. 04＋0. 20＋0. 56＝0. 80＝80%>75%。

故可以认为使用B款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家达到75%。

②使用B款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的平均数为15×0. 04＋25×0. 2＋35×0. 56＋45×0. 14＋55×0. 04＋65×0. 02＝35<40，

所以选B款订餐软件。