数学第二章一元二次函数、方程和不等式本章综合与测试精品测试题

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这是一份数学第二章一元二次函数、方程和不等式本章综合与测试精品测试题，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

(时间：120分钟满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

1．给定下列命题：

①a>b⇒a2>b2；②a2>b2⇒a>b；③a>b⇒eq \f(b,a)<1；④a>b⇒eq \f(1,a)

其中正确的命题个数是( )

A．0 B．1 C．2 D．3

答案 A

解析对于①，当a＝1，b＝－2时，a>b，但a2

对于②，当ab2也成立，故②错误；

对于③，只有当a>0且a>b时，eq \f(b,a)<1才成立，故③错误；

当a>0，b<0时，④错误．

2．已知a>1，b>1，记M＝eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)，N＝eq \f(1,\r(ab))，则M与N的大小关系为( )

A．M>N B．M＝N

C．M

答案 A

解析 M＝eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(a＋b,ab)≥eq \f(2,\r(ab))>eq \f(1,\r(ab))，故选A.

3．不等式eq \f(x－1,x＋2)<0的解集为( )

A．{x|x>1} B．{x|x<－2}

C．{x|－21或x<－2}

答案 C

解析原不等式等价于(x－1)(x＋2)<0，则原不等式的解集为{x|－2

4．不等式－3x2＋7x－2<0的解集为( )

A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,3)2))))

C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)2}

答案 B

解析不等式－3x2＋7x－2<0可化为3x2－7x＋2>0，方程3x2－7x＋2＝0的两根为x1＝eq \f(1,3)，x2＝2，则不等式3x2－7x＋2>0的解集是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<\f(1,3)或x>2))))，故选B.

5．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为eq \f(x,8)天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，则每批应生产产品( )

A．60件 B．80件 C．100件 D．120件

答案 B

解析设每件产品的平均费用为y元，

由题意得y＝eq \f(800,x)＋eq \f(x,8)≥2eq \r(\f(800,x)·\f(x,8))＝20.

当且仅当eq \f(800,x)＝eq \f(x,8)(x>0)，即x＝80时“＝”成立．

6．若y＝－x2＋mx－1有正值，则m的取值范围是( )

A．m<－2或m>2 B．－2

C．m≠±2 D．1

答案 A

解析因为y＝－x2＋mx－1有正值，

所以Δ＝m2－4>0，所以m>2或m<－2.

7.《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为( )

A.eq \f(a＋b,2)>eq \r(ab)(a>b>0)

B．a2＋b2>2ab(a>b>0)

C.eq \f(2ab,a＋b)b>0)

D.eq \f(a＋b,2)b>0)

答案 D

解析由图形可知OF＝eq \f(1,2)AB＝eq \f(a＋b,2)，OC＝OB－BC＝eq \f(a＋b,2)－b＝eq \f(a－b,2)，

在Rt△OCF中，

CF＝eq \r(OF2＋OC2)＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a－b,2)))2)

＝eq \r(\f(a2＋b2,2))>OF＝eq \f(a＋b,2)，故选D.

8．已知eq \f(1,2)≤x≤2时，y1＝x2＋bx＋c(b，c∈R)与y2＝eq \f(x2＋x＋1,x)在同一点取得相同的最小值，那么当eq \f(1,2)≤x≤2时，y1＝x2＋bx＋c的最大值是( )

A.eq \f(13,4) B．4 C．8 D.eq \f(5,4)

答案 B

解析 y2＝eq \f(x2＋x＋1,x)＝x＋1＋eq \f(1,x).

当x＝1时，y2取得最小值3，所以y1＝(x－1)2＋3.

所以当x＝2时，(y1)max＝4.故选B.

9．若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是( )

A.eq \f(1,ab)>eq \f(1,2) B.eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)≤1

C.eq \r(ab)≥2 D.eq \f(1,a2＋b2)≤eq \f(1,8)

答案 D

解析由a＋b＝4，得eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)＝eq \f(4,2)＝2，故C错；

由eq \r(ab)≤2得ab≤4，∴eq \f(1,ab)≥eq \f(1,4)，故A错；

B中，eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(a＋b,ab)＝eq \f(4,ab)≥1，故B错；

由eq \f(a2＋b2,2)≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2得a2＋b2≥2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,2)))2＝8，

∴eq \f(1,a2＋b2)≤eq \f(1,8)，D正确．

10．若不等式ax2＋ax－4<0的解集为R，则实数a的取值范围是( )

A．－16≤a<0 B．a>－16

C．－16

答案 C

解析设y＝ax2＋ax－4，x∈R，

则由题意可知y<0恒成立．

当a＝0时，y＝－4<0满足题意；

当a≠0时，需满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0，,Δ<0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0，,a2＋16a<0，))解得－16

11．若实数a，b满足eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)＝eq \r(ab)，则ab的最小值为( )

A.eq \r(2) B．2 C．2eq \r(2) D．4

答案 C

解析由eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)＝eq \r(ab)知，a>0，b>0，所以eq \r(ab)＝eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)≥2eq \r(\f(2,ab))，即ab≥2eq \r(2)，当且仅当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＝\f(2,b)，,\f(1,a)＋\f(2,b)＝\r(ab)，))即a＝eq \r(4,2)，b＝2eq \r(4,2)时取“＝”，所以ab的最小值为2eq \r(2).

12．若两个正实数x，y满足eq \f(1,x)＋eq \f(4,y)＝1，且不等式x＋eq \f(y,4)

A．{m|－14}

C．{m|－43}

答案 B

解析因为不等式x＋eq \f(y,4)

所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(y,4)))min

因为x>0，y>0，且eq \f(1,x)＋eq \f(4,y)＝1，

所以x＋eq \f(y,4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(y,4)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(4,y)))

＝eq \f(4x,y)＋eq \f(y,4x)＋2≥2eq \r(\f(4x,y)·\f(y,4x))＋2＝4，

当且仅当eq \f(4x,y)＝eq \f(y,4x)，

即x＝2，y＝8时取“＝”，

所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(y,4)))min＝4，故m2－3m>4，

即(m＋1)(m－4)>0，

解得m<－1或m>4，

所以实数m的取值范围是{m|m>4或m<－1}．

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．已知x>0，则7－x－eq \f(9,x)的最大值为________．

答案 1

解析因为x>0，则7－x－eq \f(9,x)＝7－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(9,x)))≤7－2eq \r(x·\f(9,x))＝1，当且仅当x＝eq \f(9,x)即x＝3时取等号．

14.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则不等式eq \f(ax＋b,cx＋a)<0的解集是________．

答案 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)

解析由题图知，1和2是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，

所以－eq \f(b,a)＝3且eq \f(c,a)＝2，

所以b＝－3a，c＝2a且a>0.

不等式eq \f(ax＋b,cx＋a)<0等价于(ax＋b)(cx＋a)<0，

即(x－3)(2x＋1)<0，所以－eq \f(1,2)

15.eq \f(x2＋3x＋4,2x)(x>0)的最小值为________．

答案 eq \f(7,2)

解析 eq \f(x2＋3x＋4,2x)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(4,x)＋3))≥eq \f(1,2)×(2eq \r(4)＋3)＝eq \f(7,2).当且仅当x＝2时等号成立．

16．某商品进货价每件50元，据市场调查，当销售价格(每件x元)在50

答案 60

解析设销售价格定为每件x(50

y＝(x－50)·P＝eq \f(105x－50,x－402)，

设x－50＝t，则0

所以y＝eq \f(105t,t＋102)＝eq \f(105t,t2＋20t＋100)

＝eq \f(105,t＋\f(100,t)＋20)≤eq \f(105,20＋2\r(t·\f(100,t)))＝2 500，

当且仅当t＝10，即x＝60时，ymax＝2 500.

三、解答题(本大题共6小题，共70分)

17．(10分)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的二次项系数为a，且不等式ax2＋bx＋c>－4x的解集为{x|1

解由题意得方程ax2＋bx＋c＝－4x的两个根是1,3，

即ax2＋(b＋4)x＋c＝0的两个根是1,3.

所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(b＋4,a)＝4，,\f(c,a)＝3，))

所以b＝－4a－4，c＝3a.

又二次函数的最大值大于－3，即eq \f(4ac－b2,4a)>－3，且a<0，

消去b，c得到关于a的不等式a2＋5a＋4>0，

解得a的取值范围是－1

18．(12分)已知二次函数y＝ax2＋bx－a＋2.

(1)若关于x的不等式ax2＋bx－a＋2>0的解集是{x|－1

(2)若b＝2，a>0，解关于x的不等式ax2＋bx－a＋2>0.

解 (1)因为不等式ax2＋bx－a＋2>0的解集为{x|－1

所以－1,3是方程ax2＋bx－a＋2＝0的两根，

所以可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－b－a＋2＝0，,9a＋3b－a＋2＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝2，))

(2)当b＝2时，y＝ax2＋2x－a＋2＝(x＋1)(ax－a＋2)，

因为a>0，

所以(x＋1)(ax－a＋2)>0可转化为

(x＋1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(a－2,a)))>0，

①若－1＝eq \f(a－2,a)，

即a＝1时，解集为{x|x≠－1}．

②若－1>eq \f(a－2,a)，即0

解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<\f(a－2,a)或x>－1)))).

③若－11时，

解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<－1或x>\f(a－2,a))))).

综上，当0－1))))；

当a＝1时，解集为{x|x≠－1}；

当a>1时，解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<－1或x>\f(a－2,a))))).

19．(12分)设函数y＝ax2＋bx＋3(a≠0)．

(1)若不等式ax2＋bx＋3>0的解集为{x|－1

(2)若a＋b＝1，a>0，b>0，求eq \f(1,a)＋eq \f(4,b)的最小值．

解 (1)∵不等式ax2＋bx＋3>0的解集为{x|－1

∴－1和3是方程ax2＋bx＋3＝0的两个实根，

从而有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－b＋3＝0，,9a＋3b＋3＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝2.))

(2)∵a＋b＝1，

又a>0，b>0，

所以eq \f(1,a)＋eq \f(4,b)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(4,b)))(a＋b)

＝5＋eq \f(b,a)＋eq \f(4a,b)≥5＋2eq \r(\f(b,a)·\f(4a,b))＝9，

当且仅当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(b,a)＝\f(4a,b)，,a＋b＝1，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(1,3)，,b＝\f(2,3)))时等号成立，

所以eq \f(1,a)＋eq \f(4,b)的最小值为9.

20．(12分)已知二次函数y＝x2－ax(a∈R)．

(1)若a＝2，求不等式x2－ax≥3的解集；

(2)若x≥1时，x2－ax≥－x2－2恒成立，求a的取值范围．

解 (1)若a＝2，可得x2－2x－3≥0，(x－3)(x＋1)≥0，

所以原不等式的解集为{x|x≤－1或x≥3}．

(2)当x≥1时x2－ax≥－x2－2，即a≤2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))恒成立，

又2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))≥4eq \r(x·\f(1,x))＝4，

当且仅当x＝eq \f(1,x)，即x＝1时等号成立，

所以a≤4，故所求a的取值范围是{a|a≤4}．

21．(12分)已知不等式eq \f(ax－1,x＋1)>0(a∈R)．

(1)解这个关于x的不等式；

(2)若当x＝－a时不等式成立，求a的取值范围．

解 (1)原不等式等价于(ax－1)(x＋1)>0.

①当a＝0时，由－(x＋1)>0，得x<－1.

②当a>0时，不等式可化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,a)))(x＋1)>0，

解得x<－1或x>eq \f(1,a).

③当a<0时，不等式可化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,a)))(x＋1)<0.

若eq \f(1,a)<－1，即－1

若eq \f(1,a)＝－1，即a＝－1，则不等式的解集为空集；

若eq \f(1,a)>－1，即a<－1，则－1

综上所述，当a<－1时，不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1

当a＝－1时，不等式解集为∅；

当－1

当a＝0时，不等式的解集为{x|x<－1}；

当a>0时，不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<－1或x>\f(1,a))))).

(2)∵当x＝－a时不等式成立，

∴eq \f(－a2－1,－a＋1)>0，即－a＋1<0，

∴a>1，即a的取值范围为{a|a>1}．

22．(12分)为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y(单位：毫克/立方米)随着时间x(单位：天)变化的关系如下：当0≤x≤4时，y＝eq \f(16,8－x)－1；当4

(1)若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？

(2)若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a(1≤a≤4)个单位的净化剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求a的最小值．(精确到0.1，参考数据：eq \r(2)取1.4)

解 (1)因为一次喷洒4个单位的净化剂，

所以浓度y1可表示为：当0≤x≤4时，y1＝eq \f(64,8－x)－4；

当4

则当0≤x≤4时，由eq \f(64,8－x)－4≥4，解得0≤x<8，

所以此时0≤x≤4.

当4

所以此时4

综合得0≤x≤8.故若一次喷洒4个单位的净化剂，

则有效净化时间可达8天．

(2)设从第一次喷洒起，经x(6≤x≤10)天，

浓度y2＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5－\f(1,2)x))＋aeq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(16,8－x－6)－1))＝10－x＋eq \f(16a,14－x)－a＝(14－x)＋eq \f(16a,14－x)－a－4.

因为4≤14－x≤8，而1≤a≤4，

所以4≤4eq \r(a)≤8，故y2≥8eq \r(a)－a－4.

当且仅当14－x＝4eq \r(a)时，y2有最小值为8eq \r(a)－a－4.

令8eq \r(a)－a－4≥4，解得24－16eq \r(2)≤a≤4，

所以a的最小值为24－16eq \r(2)≈1.6.