第二章 一元二次函数、方程和不等式（知识通关详解）-【单元测试】高一数学分层训练AB卷（人教A版2019必修第一册）

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第二章 一元二次函数、方程和不等式知识详解
精讲温故知新
（一）不等式与不等关系
1、应用不等式（组）表示不等关系；不等式的主要性质：
(1)对称性：　　　　　　　(2)传递性：
(3)加法法则：；(同向可加)
(4)乘法法则：；　　　　
(同向同正可乘)
(5) 倒数法则：　
(6)乘方法则：
(7)开方法则：
2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论）
3、应用不等式性质证明不等式
例1：1．（2019·浙江·高考真题）若，则“”是 “”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.
【详解】
当时，，则当时，有，解得，充分性成立；当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.
【点睛】
易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.
2．（2014·四川·高考真题（文））若则一定有
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【详解】
本题主要考查不等关系．已知,所以，所以，故．故选
3．（2022·上海崇明·二模）如果，那么下列不等式中正确的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
对A,B,C，举反例判定即可，对D，根据判定即可
【详解】
对A，若，则，不成立，故AB错误；
对C，若，则不成立，故C错误；
对D，因为，故D正确；
故选：D
4．（2022·上海交大附中模拟预测）已知，，则下列不等式中恒成立的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用不等式的基本性质即可求解
【详解】
∵，，∴，则选项不正确；
当，时，即，∴和成立，则选项、不正确；
∵,∴，∴，则选项正确；
故选：.
举一反三
1．（2022·江苏南京·模拟预测）设、均为非零实数且，则下列结论中正确的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
取特值说明判断A，B，C；作差判断D作答.
【详解】
对于A，取，，则，A错误；
对于B，取，，则，B错误；
对于C，取，，则，C错误；
对于D，因，则，即，D正确．
故选：D
2．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））已知且满足，则的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设，求出结合条件可得结果.
【详解】
设，可得，
解得，，
因为可得，
所以.
故选：C.
3．（多选）（2022·广东佛山·模拟预测）下列命题为真命题的是（       ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，则 D．若，，则
【答案】AD
【解析】
【分析】
A．由不等式的性质判断；B.举例判断；C.由判断； D.作差判断.
【详解】
A．由不等式的性质可知同向不等式相加，不等式方向不变，故正确；
B. 当时，，故错误；
C.当时，故错误；
D.，因为，，，所以，故正确；
故选：AD
4．（2013·全国·高考真题（文））设满足约束条件 ，则的最大值为______．
【答案】3；
【解析】
【详解】
【分析】
做出可行域可知，当的时候 有最大值3.

【考点定位】本题考查线性规划知识，考查学生的数形结合能力以及逻辑推理能力.

（二）解不等式
1、一元二次不等式的解法
一元二次不等式的解集：
设相应的一元二次方程的两根为，，则不等式的解的各种情况如下表：





二次函数

（）的图象







一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根


无实根



R




例2：1．（2015·天津·高考真题（理））设，则“”是“”的（       ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
求绝对值不等式、一元二次不等式的解集，根据解集的包含关系即可判断充分、必要关系.
【详解】
由，可得，即；
由，可得或，即；
∴是的真子集，
故“”是“”的充分而不必要条件.
故选：A
2．（2019·天津·高考真题（文）） 设，使不等式成立的的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
通过因式分解，解不等式．
【详解】
，
即，
即，
故的取值范围是．
【点睛】
解一元二次不等式的步骤：(1)将二次项系数化为正数；(2)解相应的一元二次方程；(3)根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；(4)写出不等式的解集．容易出现的错误有：①未将二次项系数化正，对应错标准形式；②解方程出错；③结果未按要求写成集合．
举一反三
1．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））不等式成立是不等式成立的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
根据指数不等式和一元二次不等式的解法解出对应的不等式，结合必要不充分条件的概念即可得出结果.
【详解】
解不等式，得，
解不等式，得，
又，
所以不等式成立是不等式成立的必要不充分条件.
故选：B.
2．（2015·广东·高考真题（文））不等式的解集为_________．（用区间表示）
【答案】
【解析】
【详解】
由得：，所以不等式的解集为，所以答案应填：．
考点：一元二次不等式．
2、简单的一元高次不等式的解法：
标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现的符号变化规律，写出不等式的解集。

例3：1．（2022·天津·一模）已知 ，“”是“”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】
分别解不等式和，求得它们的解集，看二者的关系，根据其逻辑推理关系，可得答案.
【详解】
解不等式，即
得 ；
解不等式，即 或 ，
解得 ，
由于推不出，
也推不出，
故“”是“”的既不充分也不必要条件，
故选：D

举一反三
1．（2022·陕西·武功县普集高级中学一模（文））使不等式成立的一个充分不必要条件是（       ）
A．且 B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
求解已知不等式，从集合的角度，以及充分性和必要性的定义，即可选择.
【详解】
因为，故不等式的解集为且，
故不等式成立的一个充分不必要条件所构成的集合应是且的真子集，
显然，满足题意的只有.
故选：D.
2．（2022·陕西·咸阳市高新一中高一期中）不等式的解集是_________
【答案】或
【解析】
【分析】
将该不等式等价转化为整式不等式，利用数轴标根法可得结果.
【详解】
不等式等价于，
利用数轴标根法解得或，
即不等式的解集是或，
故答案为：或.


3、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。

例4：1．（2022·浙江绍兴·模拟预测）设，则“”是“”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
根据分式不等式的解法求的解集，结合充分必要性定义判断题设条件间的关系即可.
【详解】
当时，有或，
所以是的充分条件，但不是必要条件.
故选：A
举一反三
1．（2017·上海·高考真题）不等式的解集为________
【答案】
【解析】
【详解】
由题意，不等式，得，所以不等式的解集为.
1．（2022·河南河南·一模（理））若成立的一个充分不必要条件是，则实数a的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
解一元二次不等式､分式不等式求得题设条件为真时对应的范围，再根据条件的充分不必要关系求参数a的取值范围.
【详解】
由，可得：；
由，则，可得；
∵成立的一个充分不必要条件是，
∴，可得.
故选：D.
（二）基本不等式
1．若a,b∈R,则a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时取等号.
2．如果a,b是正数，那么
变形： 有:a+b≥；ab≤,当且仅当a=b时取等号.
3．如果a,b∈R+,a·b=P(定值),当且仅当a=b时,a+b有最小值;
如果a,b∈R+,且a+b=S(定值),当且仅当a=b时,ab有最大值.
注：（1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．
（2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”

4.常用不等式有：（1）(根据目标不等式左右的运算结构选用) ；（2）a、b、cR，（当且仅当时，取等号）；（3）若，则（糖水的浓度问题）。
例6：1．（2022·上海市嘉定区第二中学模拟预测）若、，且，则的最小值为（       ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据基本不等式计算求解.
【详解】
因为、，所以，即，所以，即，当仅当，即时，等号成立.
故选：A.
2．（2022·全国·模拟预测（文））若实数，满足，则的最小值为（       ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
由条件结合基本不等式求的最小值.
【详解】
因为，又
所以
所以，当且仅当，时取等号，
所以的最小值为2，
故选：C.
3．（2022·上海虹口·二模）函数的值域为_________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据基本不等式即可解出．
【详解】
因为，所以，当且仅当时取等号．
故答案为：．
4．（2022·浙江·杭师大附中模拟预测）已知正数，则的最大值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】
将分母变为，分别利用基本不等式即可求得最大值.
【详解】
（当且仅当，时取等号），
的最大值为.
故答案为：.
举一反三
1．（2022·上海黄浦·二模）若、均为非零实数，则不等式成立的一个充要条件为（       ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用基本不等式及充要条件的定义判断即可；
【详解】
解：因为、均为非零实数且，所以，
因为，，所以，所以，
由，可得，，所以，当且仅当，即时取等号，
所以不等式成立的一个充要条件为；
故选：A
2．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））已知是圆上一点，则的最大值为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用基本不等式计算可得；
【详解】
解：因为，所以，
即，所以，当且仅当时取等号（），
要使尽可能大，则，
依题意，
所以，
所以，当且仅当时取等号．
故选：B
3．（2022·湖南·金海学校高一期中）若，则的最小值为 _____.
【答案】
【解析】
【分析】
将式子构造成，即可利用基本不等式，最后验证取等号的情况，即可得到答案.
【详解】
由题，，，
当即时，不等式等号成立.
故答案为：
4．（2021·天津·高考真题）若，则的最小值为____________．
【答案】
【解析】
【分析】
两次利用基本不等式即可求出.
【详解】
，
，
当且仅当且，即时等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
5．（2017·山东·高考真题（文））若直线过点，则的最小值为________．
【答案】8
【解析】
【分析】
由直线过点，可得，从而有，展开后利用基本不等式可求得其最小值
【详解】
解：因为直线过点，所以，
因为
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为8
故答案为：8
【点睛】
此题考查基本不等式的应用，利用基本不等式求最值时要注意“一正二定三相等”的条件，属于基础题
6．（2020·天津·高考真题）已知，且，则的最小值为_________．
【答案】4
【解析】
【分析】
根据已知条件，将所求的式子化为，利用基本不等式即可求解.
【详解】
，,
，当且仅当=4时取等号，
结合,解得，或时，等号成立.
故答案为：
【点睛】
本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题.

拓展提升（一）（含参一元二次不等式分类讨论）


三个两次之间的关系
含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：

一、按项的系数的符号分类，即;
例1 解不等式：
分析：本题二次项系数含有参数，，故只需对二次项
系数进行分类讨论。
解：∵
解得方程 两根
∴当时,解集为
当时，不等式为,解集为
当时, 解集为
举一反三
解不等式
分析 因为，，所以我们只要讨论二次项系数的正负。
解
当时，解集为；当时，解集为
二、按判别式的符号分类，即；
例2 解不等式
分析 本题中由于的系数大于0,故只需考虑与根的情况。
解：∵
∴当即时，解集为；
当即Δ＝0时，解集为；
当或即,此时两根分别为，，显然,
∴不等式的解集为
举一反三
解不等式
解 因
所以当，即时，解集为；
当，即时，解集为；
当，即时，解集为R。

变式：解关于的不等式：

三、按方程的根的大小来分类，即；
例3 解不等式
分析：此不等式可以分解为：，故对应的方程必有两解。本题
只需讨论两根的大小即可。
解：原不等式可化为：，令，可得：
∴当或时， ，故原不等式的解集为；
当或时，,可得其解集为；
当或时, ,解集为。
举一反三
例6、若关于x的不等式(2x－1)2＜ax2的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围。（
【解析】　不等式可化为(4－a)x2－4x＋1＜0　①，由于原不等式的解集中的整数恰有3个，所以，解得0＜a＜4，故由①得，又，所以解集中的3个整数必为1,2,3，所以3＜≤4，解得＜a≤

拓展提升（二）（含参一元二次不等式恒成立问题）

“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。
一、判别式法
若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数,有
1）对恒成立;
2）对恒成立
例1：若不等式的解集是R，求m的范围。
解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m，所以要讨论m-1是否是0。

（1）当m-1=0时，元不等式化为2>0恒成立，满足题意；
（2）时，只需，所以，。
举一反三
1．已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（       ）
A． B． C．或 D．或
【答案】B
【解析】
【分析】
当时，不等式显然成立；当时，由题意有，求解不等式组即可得答案.
【详解】
解：当时，恒成立，符合题意；
当时，由题意有，解得，
综上，.
故选：B.

二、最值法
将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：
1）恒成立
2）恒成立
例2、若时，不等式恒成立，求的取值范围。
解：设，则问题转化为当时，的最小值非负。
（1） 当即：时， 又所以不存在；
（2） 当即：时， 又
（3） 当 即：时， 又
综上所得：

举一反三
关于的不等式在内有解，则的取值范围为________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据不等式有解可得当时，，结合二次函数的最值可求得结果.
【详解】
在内有解，，其中；
设，则当时，，
，解得：，的取值范围为.
故答案为：.

三、分离变量法
若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有：
1）恒成立
2）恒成立
例3、已知时，不等式恒成立，求的取值范围。

例11解：令， 所以原不等式可化为：，
要使上式在上恒成立，只须求出在上的最小值即可。


举一反三
若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】.
【解析】
【分析】
根据给定条件，等价变形不等式，构造函数，借助基本不等式计算作答.
【详解】
对于任意的，不等式，即，
因此，对于任意的，恒成立，
当时，，，当且仅当，即时取“=”，
即当时，取得最小值4，则，
所以实数的取值范围是.

四、变换主元法
处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。
例4．对任意，不等式恒成立，求的取值范围。
分析：题中的不等式是关于的一元二次不等式，但若把看成主元，则问题可转化为一次不等式在上恒成立的问题。

解：令，则原问题转化为恒成立（）。
当时，可得，不合题意。
当时，应有解之得。
故的取值范围为。
注：一般地，一次函数在上恒有的充要条件为。
举一反三
当时，不等式恒成立，求的取值范围．
【答案】．
【解析】
【分析】
令，，依题意，即可得到不等式组，解得即可；
【详解】
解：由题意不等式对恒成立，
可设，，
则是关于的一次函数，要使题意成立只需，即，解，即得，解，即得，所以原不等式的解集为，所以的取值范围是．

五、 分类讨论法
处理含参不等式恒成立的某些问题时，有些时候需要对参数进行讨论。
例5．若不等式对一切都成立，则a的最小值为（       ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据二次函数的性质，根据对称轴的位置分类讨论可得..
【详解】
记，
要使不等式对一切都成立，则：
或或
解得或或，即.
故选：D

举一反三
若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】
分和两种情况，结合二次函数的图像与性质，求解即可.
【详解】
当时，不等式为，满足题意；
当，需满足，解得，
综上可得，的取值范围为，
故答案为：.

六、数形结合法
数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这充分说明了数形结合思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。我们知道，函数图象和不等式有着密切的联系：
1）函数图象恒在函数图象上方；
2）函数图象恒在函数图象下上方。

例6．设，当时，恒成立，求实数的取值范围。


解：设，则当时，恒成立
O
x
yx
-1
当时，显然成立；
当时，如图，恒成立的充要条件为：
解得。
综上可得实数的取值范围为。