第2章 一元二次函数、方程和不等式-综合检测3(拔尖卷)-高一数学阶段性复习精选精练(人教A版2019必修第一册)
展开第2章 一元二次函数、方程和不等式
本卷满分150分,考试时间120分钟。
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.
1.设,,则有
A.P>Q B.P≥Q
C.P<Q D.P≤Q
【试题来源】广东省佛山市南海区狮山高级中学2021-2022学年高一上学期阶段一(月考)
【答案】B
【分析】利用作差法可判断两者的大小关系.
【解析】,故,故选B.
2.已知x>0,y>0,且xy=10,则的最小值为
A.2 B.3
C.4 D.6
【试题来源】广东省佛山市南海区桂城中学2021-2022学年高一上学期第一次月考
【答案】C
【分析】利用基本不等式即可求解
【解析】因为x>0,y>0,且xy=10,所以,
当且仅当即时取等号,所以的最小值为4,故选C
3.若不等式的解集为空集,则的取值范围是
A. B.,或
C. D.,或
【试题来源】北京市通州区运河中学2021-2022学年高一10月诊断
【答案】C
【分析】根据题意可得,从而即可求出的取值范围.
【解析】因为不等式的解集为空集,
所以,所以.故选C.
4.今有一台坏天平,两臂长不等,其余均精确.现将一物体放在左、右托盘各称一次,称量结果分别为和,设该物体的真实质量为,则
A. B.
C. D.
【试题来源】人教B版(2019) 必修第一册 学习帮手 第二章(第一课时)
【答案】B
【分析】设天平的两臂的长度分别为和,得到且,且,结合基本不等式,即可求解.
【解析】设天平的两臂的长度分别为和,
若两次称量结果分别为,则有且,且,
两式联立可得,即,又由,可得,则.故选B.
5.已知,,则的取值范围是
A. B.
C. D.
【试题来源】黑龙江省哈尔滨市尚志中学2021-2022学年高一上学期第一次月考
【答案】D
【分析】令求,再利用不等式的性质求的取值范围.
【解析】令,所以,即,
所以,故.故选D
6.若,且,则的取值范围
A. B.
C. D.
【试题来源】安徽省六安市霍邱县第一中学2021-2022学年高一上学期第一次段考
【答案】D
【分析】化简整理式子可得,再利用基本不等式即可求解.
【解析】由,且,则,即,
由基本不等式可得,当且仅当时,等号成立,
整理得,即,
因为,所以,所以,解得.故选D
7.对于任意实数,符号表示不大于的最大整数,例如:,,,那么不等式成立的的范围是
A. B.
C. D.
【试题来源】福建省厦门第一中学2021-2022学年高一9月数学质量检测试题
【答案】C
【分析】根据不等式可求出,然后结合的含义即可求出的范围.
【解析】由,得,又表示不大于x的最大整数,所以.故选C.
8.若关于的不等式恰有两个整数解,则的取值范围是
A. B.
C.或 D.或
【试题来源】湖南省部分学校2021-2022学年高一上学期10月联考
【答案】D
【分析】令,解得或.对两个根进行分类讨论,即,,三种情况,求出解集后,再让解集中含有两个整数,即可得到答案;
【解析】令,解得或.
当,即时,不等式的解集为,则,解得;
当,即时,不等式无解,所以不符合题意;
当,即时,不等式的解集为,则,解得.综上,的取值范围是或.故选D
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.下列四个命题正确的有
A.若,,则 B.若,则
C.若,则 D.若,则
【试题来源】辽宁省沈阳市第一中学2021-2022学年高一上学期第一次段考
【答案】BD
【分析】A.举反例说明该选项错误;
B.由不等式的乘法性质得该选项正确;
C. 符合不能确定,所以该选项错误;
D. 利用作差法判断得该选项正确.
【解析】A. 若,所以该选项错误;
B. 若,则,由不等式的乘法性质得该选项正确;
C. 若,则符号不能确定,所以该选项错误;
D. 若,则,则,所以该选项正确.
故选BD.
10.下列选项中正确的有
A.不等式恒成立 B.,则
C.的最小值为1 D.存在a,使得不等式
【试题来源】福建省福州第三中学(滨海校区)2021-2022学年高一上学期第一次质量检测
【答案】BD
【分析】根据基本不等式的条件即可判断A、C、D;利用作差法即可判断B.
【解析】对于A,当时,,,故A错误;
对于B,,
所以,故B正确;
对于C,,
当且仅当,即时,取等号,又因,所以,故C错误;
对于D,当时,,所以存在,使得不等式成立,故D正确.
故选BD.
11.若不等式的解集是,则以下正确的有
A.a<0 B.
C. D.的解集为(﹣2,)
【试题来源】江苏省苏州实验中学2021-2022学年高一上学期10月月考
【答案】ABC
【分析】根据二次函数和一元二次不等式的性质可求解.
【解析】不等式的解集是,开口向下,故A正确;
,是方程的个两根,,故B正确;
根据对称轴和可推出,
带入选项中的式子可得,故C正确;
,是方程的个两根,,
当,,故解得,D错误;故选ABC
12.下列说法正确的有
A.的最小值为2
B.函数的最小值为2
C.若正数x、y满足,则的最小值为3
D.设x、y为实数,若,则的最大值为
【试题来源】黑龙江省大庆实验中学2021-2022学年高一上学期10月月考
【答案】CD
【分析】A.当时,,所以函数的最小值不可能是2,所以该选项错误;
B. 没有实数解,所以等号不能成立,所以函数的最小值不是2,所以该选项错误;C.利用基本不等式求出的最小值为3.所以该选项正确;
D. 求出,故的最大值为,所以该选项正确.
【解析】A. ,当时,,所以函数的最小值不可能是2,所以该选项错误;B. 函数,但是没有实数解,所以等号不能成立,所以函数的最小值不是2,所以该选项错误;
C.由题得,则
,当且仅当时等号成立,所以的最小值为3.所以该选项正确;
D.
,所以,可得,
当且仅当时,等号成立,故的最大值为,所以该选项正确.故选CD
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知,则的取值范围为___________.
【试题来源】福建省福州第三中学(滨海校区)2021-2022学年高一上学期第一次质量检测
【答案】
【分析】根据不等式的性质计算可得;
【解析】:因为,所以,因为,所以,
所以,则的取值范围为,故答案为.
14.关于x的不等式x2+ax+a≤1对一切x∈(0,1)恒成立,则a的取值范围为___________.
【试题来源】广西崇左市高级中学2021-2022学年高一上学期第一次月考
【答案】
【分析】原不等式可化为,设,则由题意可得,从而可求得a的取值范围
【解析】原不等式可化为,设,
因为关于x的不等式x2+ax+a≤1对一切x∈(0,1)恒成立,所以,即
解得,所以a的取值范围为,故答案为.
15.已知,,均为正数,则的最大值为___________.
【试题来源】人教B版(2019) 必修第一册 学习帮手 第二章(第二课时)
【答案】
【分析】先利用基本不等式判断出,即可求出的最大值.
【解析】因为,(当且仅当时取等号).
所以,所以,
的最大值为.故答案为.
16.若关于的不等式组无解,则实数的取值范围是___________.
【试题来源】上海市奉贤中学2021-2022学年高一上学期10月月考
【答案】
【分析】先求得不等式的解集,再结合题意,即可得答案.
【解析】不等式,所以,解得,
因为不等式组无解,所以.故答案为
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)
已知关于x的不等式ax2+4ax-3<0.
(1)若a=1,求不等式的解集∶
(2)若不等式的解集是R,求a的取值范围.
【试题来源】广西崇左市高级中学2021-2022学年高一上学期第一次月考
【答案】(1);(2)
【分析】(1)由a=1,得到不等式x2+4x-3<0,然后利用一元二次不等式的解法求解;
(2)根据不等式的解集是R,利用判别式法求解.
【解析】(1)当a=1时,不等式为x2+4x-3<0,,
则相应方程有两个根, ,
所以不等式的解集是;
(2)因为不等式的解集是R,
当时,不等式为 ,满足题意;
当 时,则,解得 ,
综上:求a的取值范围.
18.(12分)
(1)若,试比较与的大小;
(2)已知,.求的取值范围.
【试题来源】广西壮族自治区桂林市桂林中学2021-2022学年高二上学期开学考试
【答案】(1);(2).
【分析】(1)利用作差法,即可比较代数式的大小.
(2)利用不等式的性质求的取值范围即可.
【解析】(1)由题设,,
所以.
(2)由题设,,而,
所以.
19.(12分)
已知,,均为正数,且,求证:
(1);
(2).
【试题来源】人教B版(2019) 必修第一册 学习帮手 第二章(第二课时)
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.
【分析】(1)利用基本不等式直接证明即可.
(2)利用基本不等式直接证明即可.
【解析】证明:(1)因为,,均为正数,,
所以,,,
三式相乘,得,
当且仅当时,等号成立.
(2)因为,,均为正数,,
所以,,,
三式相加,得,
即,当且仅当时,等号成立.
20.(12分)
已知函数.
(1)关于x不等式的解集为空集,求实数m的取值范围;
(2)设(1)中m取值范围为集合A,又集合,若,求实数a的取值范围.
【试题来源】辽宁省沈阳市郊联体2021-2022学年高一上学期10月月考
【答案】(1);(2).
【分析】(1)根据一元二次不等式解集为空集的条件列出不等式即可求解作答;
(2)由(1)并结合确定,求出集合B即可列出不等式作答.
【解析】(1)因的解集为空集,则,解得,
所以实数m的取值范围为;
(2)由(1)知,,因,显然,,即在内存在数在集合B中,
于是得,,因此有,解得,
所以实数a的取值范围为.
21.(12分)
某电动摩托车企业计划在2021年投资生产一款高端电动摩托车.经市场调研测算,生产该款电动摩托车需投入设备改造费1000万元,生产该款电动摩托车x万台需投入资金)万元,且,生产1万台该款电动摩托车需投入资金3000万元;当该款电动摩托车售价为5000(单位∶元台)时,当年内生产的该款摩托车能全部销售完.
(1)求m的值,并写出2021年该款摩托车的年利润Z(单位∶万元)关于年产量x(单位∶万台)的函数解析式;
(2)当2021年该款摩托车的年产盘x为多少时,Z年利润最大?最大年利润是多少?
(年利润=销售所得-投入资金-设备改造费)
【试题来源】广东省佛山市南海区狮山高级中学2021-2022学年高一上学期阶段一(月考)
【答案】(1),;(2),此时.
【分析】(1)由题设中的生产1万台该款电动摩托车需投入资金3000万元可求,利用销售额减去成本可得函数解析式;
(2)根据(1)中的解析式可求年利润最大值以及何时取最大值.
【解析】(1)当时,,故.
当时,;
当时,,
故.
(2)当时,,
故当时,在上的最大值为.
当时,,当且仅当时等号成立.
因为,故,此时.
答:当2021年该款摩托车的年产盘万台时,Z年利润最大且最大年利润为.
22.(12分)
已知函数过点,且满足.
(1)求函数的解析式;
(2)解关于的不等式:.
【试题来源】黑龙江省大庆铁人中学2021-2022学年高一上学期第一次月考
【答案】(1);(2)答案见解析.
【分析】(1)根据题意,由待定系数法和二次函数的性质,即可求出结果;
(2)根据题意,将不等式化为,计算出,根据的取值情况,对进行分类讨论,即可求出结果.
【解析】(1)因为函数过点,
所以,所以,即,
因为,所以的对称轴为
所以,解得,故.
(2)由(1),
方程的判别式为.
①当,即时,方程无解,
所以不等式的解集为;
②当,即时,方程有两个相等的实数根,
当时,不等式的解集为;
当时,不等式的解集为;
③当,即或时,
方程有两个根为,
不等式的解集为.
综上,时,不等式的解集是;当时,不等式的解集为;当时,不等式的解集为;当或时,不等式的解集为.