高中数学必修第一册第2章 2.3 第1课时《一元二次不等式及其解法》教案-2019人教A版

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2.3　二次函数与一元二次方程、不等式
第1课时　一元二次不等式及其解法

学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握一元二次不等式的解法(重点).
2.能根据“三个二次”之间的关系解决简单问题(难点).
通过一元二次不等式的学习，培养数学运算素养.


1．一元二次不等式的概念
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．
2．一元二次不等式的一般形式
(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)．
(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)．
(3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)．
(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．
思考1：不等式x2－y2>0是一元二次不等式吗？
提示：此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知不是一元二次不等式．
3．一元二次不等式的解与解集
使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集．
思考2：类比“方程x2＝1的解集是{1，－1}，解集中的每一个元素均可使等式成立”．不等式x2>1的解集及其含义是什么？
提示：不等式x2>1的解集为{x|x<－1或x>1}，该集合中每一个元素都是不等式的解，即不等式的每一个解均使不等式成立．
4．三个“二次”的关系
设y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac
判别式
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
解不等式y＞0或y＜0的步骤
求方程y＝0的解
有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2)
有两个相等的实数根x1＝x2＝－
没有
实数根
画函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象



得等的集不式解
y＞0
{x|x＜x1_或x＞x2}

R
y＜0
{x|x1＜x＜x2}
∅
∅
思考3：若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集为R，则实数a应满足什么条件？
提示：结合二次函数图象可知，若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集为R，则解得a∈∅，所以不存在a使不等式ax2＋x－1>0的解集为R.

1．不等式3＋5x－2x2≤0的解集为(　　)
A.
B.
C.
D．R
C　[3＋5x－2x2≤0⇒2x2－5x－3≥0⇒(x－3)(2x＋1)≥0⇒x≥3或x≤－.]
2．不等式3x2－2x＋1＞0的解集为(　　)
A.　 B.
C．∅ D．R
D　[因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝4－12＝－8＜0，所以不等式3x2－2x＋1＞0的解集为R.]
3．不等式x2－2x－5>2x的解集是________．
{x|x>5或x<－1}　[由x2－2x－5>2x，得x2－4x－5>0，因为x2－4x－5＝0的两根为－1,5，
故x2－4x－5>0的解集为{x|x<－1或x>5}．]
4．不等式－3x2＋5x－4>0的解集为________．
∅　[原不等式变形为3x2－5x＋4<0.因为Δ＝(－5)2－4×3×4＝－23<0，所以3x2－5x＋4＝0无解．
由函数y＝3x2－5x＋4的图象可知，3x2－5x＋4<0的解集为∅.]

一元二次不等式的解法

【例1】　解下列不等式：
(1)2x2＋7x＋3>0；
(2)－4x2＋18x－≥0；
(3)－2x2＋3x－2<0.
[解]　(1)因为Δ＝72－4×2×3＝25>0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝－.又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为.
(2)原不等式可化为2≤0，所以原不等式的解集为.
(3)原不等式可化为2x2－3x＋2>0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7<0，所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，又二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R.

解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
(1)化标准.通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正.
(2)判别式.对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式.
(3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根.
(4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图.
(5)写解集.根据图象写出不等式的解集.

1．解下列不等式
(1)2x2－3x－2>0；
(2)x2－4x＋4>0；
(3)－x2＋2x－3<0；
(4)－3x2＋5x－2>0.
[解]　(1)∵Δ>0，方程2x2－3x－2＝0的根是x1＝－，x2＝2，
∴不等式2x2－3x－2>0的解集为
.
(2)∵Δ＝0，方程x2－4x＋4＝0的根是x1＝x2＝2，
∴不等式x2－4x＋4>0的解集为.
(3)原不等式可化为x2－2x＋3>0，
由于Δ<0，方程x2－2x＋3＝0无解，
∴不等式－x2＋2x－3<0的解集为R.
(4)原不等式可化为3x2－5x＋2<0，
由于Δ>0，方程3x2－5x＋2＝0的两根为x1＝，x2＝1，
∴不等式－3x2＋5x－2>0的解集为.
含参数的一元二次不等式的解法

【例2】　解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0.
[思路点拨]　①对于二次项的系数a是否分a＝0，a<0，a>0三类进行讨论？②当a≠0时，是否还要比较两根的大小？
[解]　当a＝0时，原不等式可化为x>1.
当a≠0时，原不等式可化为(ax－1)(x－1)<0.
当a<0时，不等式可化为(x－1)>0，
∵<1，∴x<或x>1.
当a>0时，原不等式可化为(x－1)<0.
若<1，即a>1，则 若＝1，即a＝1，则x∈∅；
若>1，即0 综上所述，当a<0时，原不等式的解集为；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x>1}；当01时，原不等式的解集为.

解含参数的一元二次不等式的一般步骤

提醒：对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集，不能合并．

2．解关于x的不等式：ax2－2≥2x－ax(a<0)．
[解]　原不等式移项得ax2＋(a－2)x－2≥0，
化简为(x＋1)(ax－2)≥0.
∵a<0，∴(x＋1)≤0.
当－2 当a＝－2时，x＝－1；
当a<－2时，－1≤x≤.
综上所述，
当－2 当a＝－2时，解集为{x|x＝－1}；
当a<－2时，解集为.
三个“二次”的关系

[探究问题]
1．利用函数y＝x2－2x－3的图象说明当y>0、y<0、y＝0时x的取值集合分别是什么？这说明二次函数与二次方程、二次不等式有何关系？
提示：y＝x2－2x－3的图象如图所示．

函数y＝x2－2x－3的值满足y>0时自变量x组成的集合，亦即二次函数y＝x2－2x－3的图象在x轴上方时点的横坐标x的集合{x|x<－1或x>3}；同理，满足y<0时x的取值集合为{x|－1 方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)和不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)是函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的一种特殊情况，它们之间是一种包含关系，也就是当y＝0时，函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)就转化为方程，当y>0或y<0时，就转化为一元二次不等式．
2．方程x2－2x－3＝0与不等式x2－2x－3>0的解集分别是什么？观察结果你发现什么问题？这又说明什么？
提示：方程x2－2x－3＝0的解集为{－1,3}．
不等式x2－2x－3>0的解集为{x|x<－1或x>3}，观察发现不等式x2－2x－3>0解集的端点值恰好是方程x2－2x－3＝0的根．
3．设一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)和ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集分别为{x|xx2}，{x|x1 提示：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)和ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集分别为{x|xx2}，{x|x1 【例3】　已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2 [思路点拨]　→→→→
[解]　法一：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|20，即x2－x＋>0，解得x<或x>，所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为.
法二：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2
1．(变结论)本例中的条件不变，求关于x的不等式cx2－bx＋a>0的解集．
[解]　由根与系数的关系知＝－5，＝6且a<0.
∴c<0，＝－，故不等式cx2－bx＋a>0，
即x2－x＋<0，即x2＋x＋<0.
解之得.
2．(变条件)若将本例中的条件“关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2 [解]　法一：由ax2＋bx＋c≥0的解集为知a＜0.又×2＝＜0，则c＞0.
又－，2为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，
∴－＝，∴＝－.
又＝－，∴b＝－a，c＝－a，
∴不等式变为x2＋x＋a＜0，
即2ax2＋5ax－3a＞0.
又∵a＜0，∴2x2＋5x－3＜0，
所求不等式的解集为.
法二：由已知得a＜0 且＋2＝－，×2＝知c＞0，
设方程cx2＋bx＋a＝0的两根分别为x1，x2，
则x1＋x2＝－，x1·x2＝，
其中＝＝－，
－＝＝＝＋＝－，
∴x1＝＝－3，x2＝.
∴不等式cx2＋bx＋a＜0的解集为.

已知以a，b，c为参数的不等式(如ax2＋bx＋c＞0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循：
(1)根据解集来判断二次项系数的符号；
(2)根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式；
(3)约去 a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解.

1．解一元二次不等式的常见方法
(1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：
①化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)；
②求方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c图象的简图；
③由图象得出不等式的解集．
(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解．
当m 若(x－m)(x－n)＜0，则可得{x|m＜x＜n}．
有口诀如下：大于取两边，小于取中间．
2．含参数的一元二次型的不等式
在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑
(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a＞0，a＜0，a＝0.
(2)关于不等式对应的方程根的讨论：两根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0)．
(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1＞x2，
x1＝x2，x1＜x2.
3．由一元二次不等式的解集可以逆推二次函数的开口及与x轴的交点坐标.

1．思考辨析
(1)mx2－5x<0是一元二次不等式．(　　)
(2)若a>0，则一元二次不等式ax2＋1>0无解．(　　)
(3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2(x1 (4)不等式x2－2x＋3>0的解集为R.(　　)
[提示]　(1)错误．当m＝0时，是一元一次不等式；当m≠0时，是一元二次不等式．
(2)错误．因为a>0，所以不等式ax2＋1>0恒成立，即原不等式的解集为R.
(3)错误．当a>0时，ax2＋bx＋c<0的解集为{x|x1 (4)正确．因为Δ＝(－2)2－12<0，所以不等式x2－2x＋3>0的解集为R.
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　
2．设a<－1，则关于x的不等式a(x－a)<0的解集为________．
　[因为a<－1，所以a(x－a)·<0⇔(x－a)·>0.又a<－1，所以>a，所以x>或x 3．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集是，则ax2－bx＋c>0的解集为________．
　[由题意，－2，－是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根且a<0，
故解得a＝c，b＝a.
所以不等式ax2－bx＋c>0，即为2x2－5x＋2<0，
解得0的解集为.]
4．解下列不等式：
(1)x(7－x)≥12；
(2)x2>2(x－1)．
[解]　(1)原不等式可化为x2－7x＋12≤0，因为方程x2－7x＋12＝0的两根为x1＝3，x2＝4，
所以原不等式的解集为{x|3≤x≤4}．
(2)原不等式可以化为x2－2x＋2>0，
因为判别式Δ＝4－8＝－4<0，方程x2－2x＋2＝0无实根，而抛物线y＝x2－2x＋2的图象开口向上，
所以原不等式的解集为R.