高中数学人教A版 (2019)必修第一册第二章一元二次函数、方程和不等式本章综合与测试优秀学案

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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修第一册第二章一元二次函数、方程和不等式本章综合与测试优秀学案，共6页。学案主要包含了不等式性质的应用，解不等式，基本不等式的应用，不等式在实际问题中的应用等内容，欢迎下载使用。

一、不等式性质的应用

1．不等式的性质常用来比较大小和证明不等式，防止由于考虑不全面出现错误，有时也可结合特殊值法求解．

2．掌握不等式的性质，重点提升数学抽象和数学运算素养．

例1 下列结论正确的是( )

A．若a>b，则ac2>bc2

B．若a2>b2，则a>b

C．若a>b，c<0，则a＋c

D．若eq \r(a)

答案 D

解析选项A中，当c＝0时不符，所以A项错；

选项B中，当a＝－2，b＝－1时，符合a2>b2，不满足a>b，B项错；

选项C中，a＋c>b＋c，所以C项错；

选项D中，因为0≤eq \r(a)

反思感悟利用特殊值进行排除更直接，有利于提高解题速度．

跟踪训练1 设a>0，b>0，则下列不等式中不成立的是( )

A．a＋eq \f(1,a)≥2 B．a2＋b2≥2ab

C．a＋b＋eq \f(1,a＋b)≥2 D.eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)≥2＋eq \f(2,a＋b)

答案 D

解析可采用排除法或特殊值法．(特殊值法)令a＝b＝1，

则eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝2,2＋eq \f(2,a＋b)＝3，故D不正确．

二、解不等式

1．对于实数的一元二次不等式(分式不等式)首先转化为标准形式(二次项系数为正)，然后能分解因式的变成因式相乘的形式，从而得到不等式的解集．

2．对于含参数的不等式要注意对参数进行讨论，做到不重不漏．

3．掌握不等式的解法，重点提升逻辑推理和数学运算素养．

例2 解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0(a∈R)．

解原不等式可化为(x－a)(x－a2)>0.

当a<0时，aa2}；

当a＝0时，a2＝a，原不等式的解集为{x|x≠0}；

当0a}；

当a＝1时，a2＝a，原不等式的解集为{x|x≠1}；

当a>1时，aa2}；

综上所述，当a<0或a>1时，原不等式的解集为{x|xa2}；

当0a}；

当a＝1时，原不等式的解集为{x|x≠1}；

当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≠0}．

反思感悟对于含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，则可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式分类讨论，分类要不重不漏．

跟踪训练2 若不等式ax2＋5x－2>0的解集是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)

(1)求a的值；

(2)求不等式eq \f(1－ax,x＋1)>a＋5的解集．

解 (1)依题意，可得ax2＋5x－2＝0的两个实数根为eq \f(1,2)和2，

由根与系数的关系，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)×2＝\f(－2,a)，,\f(1,2)＋2＝－\f(5,a)，))解得a＝－2.

(2)将a＝－2代入不等式，得eq \f(1＋2x,x＋1)>3，即eq \f(1＋2x,x＋1)－3>0，

整理得eq \f(－x＋2,x＋1)>0，即(x＋1)(x＋2)<0，解得－2

三、基本不等式的应用

1．基本不等式：eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)(a>0，b>0)是每年高考的热点，主要考查命题判断、不等式证明以及求最值问题，特别是求最值问题往往与实际问题相结合，同时在基本不等式的使用条件上设置一些问题，实际上是考查学生恒等变形的技巧，另外，基本不等式的和与积的转化在高考中也经常出现．

2．熟练掌握基本不等式的应用，重点提升数学抽象和数学运算素养．

例3 (1)已知2a＋b＝1，a>0，b>0，则eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)的最小值是( )

A．2eq \r(2) B．3－2eq \r(2)

C．3＋2eq \r(2) D．3＋eq \r(2)

答案 C

解析 eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝(2a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝3＋eq \f(b,a)＋eq \f(2a,b)

≥3＋2eq \r(\f(b,a)·\f(2a,b))＝3＋2eq \r(2).

当且仅当eq \f(b,a)＝eq \f(2a,b)，即a＝1－eq \f(\r(2),2)，b＝eq \r(2)－1时，等号成立．

∴eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)的最小值是3＋2eq \r(2).

(2)已知a，b，c都是正数，且a＋2b＋c＝1，则eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)的最小值是( )

A．3＋2eq \r(2) B．3－2eq \r(2)

C．6－4eq \r(2) D．6＋4eq \r(2)

答案 D

解析 eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(1,b)＋\f(1,c)))(a＋2b＋c)

＝4＋eq \f(2b,a)＋eq \f(c,a)＋eq \f(a,b)＋eq \f(c,b)＋eq \f(a,c)＋eq \f(2b,c)

≥4＋2eq \r(\f(2b,a)·\f(a,b))＋2eq \r(\f(c,a)·\f(a,c))＋2eq \r(\f(c,b)·\f(2b,c))

＝6＋4eq \r(2)，

当且仅当eq \f(2b,a)＝eq \f(a,b)，eq \f(c,a)＝eq \f(a,c)，eq \f(c,b)＝eq \f(2b,c)，

即a＝c＝1－eq \f(\r(2),2)，b＝eq \f(\r(2)－1,2)时，等号成立．

反思感悟 (1)注意寻求已知条件与目标函数之间的联系．

(2)利用添项和拆项的配凑方法，使积(或和)产生定值．特别注意“1”的代换．

跟踪训练3 已知正常数a，b和正变数x，y满足a＋b＝10，eq \f(a,x)＋eq \f(b,y)＝1，x＋y的最小值为18，求a，b的值．

解因为x＋y＝(x＋y)·1＝(x＋y)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,x)＋\f(b,y)))

＝a＋b＋eq \f(ay,x)＋eq \f(bx,y)≥a＋b＋2eq \r(ab)＝(eq \r(a)＋eq \r(b))2，

当且仅当eq \f(ay,x)＝eq \f(bx,y)，即eq \f(y,x)＝eq \r(\f(b,a))时，等号成立，

所以x＋y的最小值为(eq \r(a)＋eq \r(b))2＝18，

又a＋b＝10，所以ab＝16.

所以a，b是方程x2－10x＋16＝0的两根，

所以a＝2，b＝8或a＝8，b＝2.

四、不等式在实际问题中的应用

不等式的应用题常以函数为背景，多是解决现实生活、生产中的优化问题，在解题中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值，构建数学模型是关键，重点培养数学建模、数学运算素养．

例4 某厂以x千克/时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得的利润是50eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5x－\f(3,x)＋1))元．

(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于1 500元，求x的取值范围；

(2)要使生产480千克该产品获得的利润最大，问：该厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．

解 (1)根据题意，

有100eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5x－\f(3,x)＋1))≥1 500，

即5x2－14x－3≥0，得x≥3或x≤－eq \f(1,5)，

又1≤x≤10，所以3≤x≤10.

(2)设生产480千克该产品获得的利润为u元，

则u＝24 000eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5＋\f(1,x)－\f(3,x2)))，1≤x≤10，

记y＝－eq \f(3,x2)＋eq \f(1,x)＋5(1≤x≤10)，

则y＝－3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)－\f(1,6)))2＋eq \f(1,12)＋5(1≤x≤10)，

当x＝6时，y取得最大值eq \f(61,12)，

此时u＝24 000×eq \f(61,12)＝122 000，

故该厂以6千克/时的速度生产480千克该产品可获得最大利润122 000元．

反思感悟认识数学模型在科学、社会工程等诸多领域的作用，提升应用能力、实践能力，是数学建模核心素养的培养目标之一．

跟踪训练4 某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图所示)．

(1)若设休闲区的长和宽的比eq \f(A1B1,B1C1)＝x(x>1)，写出公园ABCD所占面积S与x的关系式；

(2)要使公园所占面积最小，则休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？

解 (1)设休闲区的宽B1C1为a米，则长A1B1为ax米，由a2x＝4 000，得a＝eq \f(20\r(10),\r(x)).

则S＝(a＋8)(ax＋20)

＝a2x＋(8x＋20)a＋160

＝4 000＋(8x＋20)·eq \f(20\r(10),\r(x))＋160

＝80eq \r(10)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(x)＋\f(5,\r(x))))＋4 160(x>1)．

(2)80eq \r(10)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(x)＋\f(5,\r(x))))＋4 160≥80eq \r(10)×2eq \r(2\r(x)×\f(5,\r(x)))＋4 160＝1 600＋4 160＝5 760.当且仅当2eq \r(x)＝eq \f(5,\r(x))，即x＝2.5时，等号成立，此时a＝40，ax＝100.

所以要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1应设计为长100米，宽40米．

1．已知不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1

A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<－1或x>\f(1,2))))) B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1

C．{x|－2－1}

答案 B

解析方法一由题设条件知－1,2是方程ax2＋bx＋2＝0的两实根．

由一元二次方程根与系数的关系，知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1＋2＝－\f(b,a)，,－1×2＝\f(2,a)，))

解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝1.))

则2x2＋bx＋a<0的解集即为2x2＋x－1<0的解集，是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1

方法二由题设条件知－1,2是方程ax2＋bx＋2＝0的两实根．

分别把x＝－1,2代入方程ax2＋bx＋2＝0中，

得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－b＋2＝0，,4a＋2b＋2＝0，))

解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝1.))

则2x2＋x－1<0的解集是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1

2．设a>0，b>0，则以下不等式中不恒成立的是( )

A．(a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(1,b)))≥4 B．a3＋b3>2ab2

C．a2＋b2＋2≥2a＋2b D.eq \r(|a－b|)≥eq \r(a)－eq \r(b)

答案 B

解析当a＝b时，a3＋b3＝2ab2，

故a3＋b3>2ab2不恒成立，故选B.

3．若不等式x2＋ax＋1≥0在0

A．0 B．－2 C．－eq \f(5,2) D．－3

答案 B

解析 ∵x2＋ax＋1≥0在0

∴ax≥－x2－1在0

∴a≥eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))))max，0

∵x＋eq \f(1,x)≥2，∴－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))≤－2，当且仅当x＝1时取“＝”，

∴a≥－2，故选B.

4．已知y＝4x＋eq \f(a,x)(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________.

答案 36

解析 y＝4x＋eq \f(a,x)≥2eq \r(4x·\f(a,x))＝4eq \r(a)(x>0，a>0)，

当且仅当4x＝eq \f(a,x)，即x＝eq \f(\r(a),2)时等号成立，

此时ymin＝4eq \r(a).

又由已知x＝3时，ymin＝4eq \r(a).

∴eq \f(\r(a),2)＝3，即a＝36.

5．已知关于x的不等式x2－4ax＋3a2<0(a>0)的解集为{x|x1

答案 eq \f(4\r(3),3)

解析由题意，可知x1，x2是方程x2－4ax＋3a2＝0的两个根，则x1＋x2＝4a，x1x2＝3a2，所以x1＋x2＋eq \f(a,x1x2)＝4a＋eq \f(1,3a)≥eq \f(4\r(3),3)，当且仅当a＝eq \f(\r(3),6)时，等号成立．

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