高中第四章 指数函数与对数函数本章综合与测试精品测试题

这是一份高中第四章 指数函数与对数函数本章综合与测试精品测试题，共8页。试卷主要包含了指数，指数函数，函数的零点与方程的根等内容，欢迎下载使用。










一、指数、对数运算


1．指数、对数的运算主要考查对数与指数的互化，对数、指数的运算性质以及换底公式等，会利用运算性质进行化简、计算、证明等．


2．掌握基本运算性质，重点提升数学运算素养．


例1 化简：(1)


考点 根式与分数指数幂的互化


题点 根式与分数指数幂的乘除运算


解 原式＝


＝2－1×103×＝2－1×＝eq \f(\r(10),2).


(2)2lg32－lg3eq \f(32,9)＋lg38－.


考点 对数的运算


题点 对数的运算性质


解 原式＝lg34－lg3eq \f(32,9)＋lg38－


＝lg3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4×\f(9,32)×8))－


＝lg39－9＝2－9＝－7.


反思感悟 指数、对数的运算应遵循的原则


指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的．对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧．


跟踪训练1 (1)计算80.25×eq \r(4,2)＋(eq \r(3,2)×eq \r(3))6＋lg32×lg2(lg327)的值为________．


考点 对数的运算


题点 指数对数的混合运算


答案 111


解析 ∵lg32×lg2(lg327)＝lg32×lg23＝eq \f(lg 2,lg 3)×eq \f(lg 3,lg 2)＝1，


∴原式＝＋22×33＋1＝21＋4×27＋1＝111.


(2)已知2x＝3，lg4eq \f(8,3)＝y，则x＋2y的值为________．


答案 3


解析 由2x＝3，lg4eq \f(8,3)＝y得x＝lg23，


y＝lg4eq \f(8,3)＝eq \f(1,2)lg2eq \f(8,3)，


所以x＋2y＝lg23＋lg2eq \f(8,3)＝lg28＝3.


二、指数函数、对数函数的图象及其应用


1．指数函数、对数函数的图象及应用有两个方面：一是已知函数解析式求作函数图象，即“知式求图”；二是判断方程的根的个数时，通常不具体解方程，而是转化为判断指数函数、对数函数等图象的交点个数问题．


2．掌握指数函数、对数函数图象的作法以及简单的图象平移翻折变换，提升直观想象和逻辑推理素养．


例2 (1)已知f(x)是函数y＝lg2x的反函数，则y＝f(1－x)的图象是( )





答案 C


解析 函数y＝lg2x的反函数为y＝2x，故f(x)＝2x，于是f(1－x)＝21－x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x－1，此函数在R上为减函数，其图象过点(0,2)，所以选项C中的图象符合要求．


(2)如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥lg2(x＋1)的解集是( )





A．{x|－1

B．{x|－1≤x≤1}


C．{x|－1

D．{x|－1

答案 C


解析 借助函数的图象求解该不等式．


作出函数y＝lg2(x＋1)图象如图.





由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝2，,y＝lg2x＋1，)) 得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1.))


∴结合图象知不等式f(x)≥lg2(x＋1)的解集为{x|－1

反思感悟 指数函数、对数函数图象既是直接考查的对象，又是数形结合求交点、最值、解不等式的工具，所以要能熟练画出这两类函数图象，并会进行平移、对称、翻折等变换．


跟踪训练2 定义运算ab＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a，a≤b，,b，a>b，))则函数f(x)＝12x的图象是( )





考点 指数函数的图象与性质


题点 指数函数的图象与性质


答案 A


解析 ∵当x≥0时，2x≥1，当x<0时，2x<1，


∴f(x)＝12x＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x，x<0，,1，x≥0，))故选A.


三、指数函数、对数函数的性质及其应用


1．以函数的性质为依托，结合运算考查函数的图象性质，以及利用性质进行大小比较、方程和不等式求解等．在解含对数式的方程或解不等式时，不能忘记对数中真数大于0，以免出现增根或扩大范围．


2．掌握指数函数、对数函数的图象及性质，重点提升数学运算和逻辑推理素养．


例3 (1)设a＝lg37，b＝21.1，c＝0.83.1，则( )


A．b

C．c

答案 B


解析 因为a＝lg37，所以1

因为b＝21.1，所以b>2.


因为c＝0.83.1，所以0

故c

(2)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋lg22－x，x<1，,2x－1，x≥1.))


①求f(－2)＋f(lg212)；


②解不等式f(x)<4.


解 ①f(－2)＋f(lg212)＝1＋lg24＋


＝3＋＝3＋eq \f(12,2)＝9.


②原不等式可化为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<1，,1＋lg22－x<4))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥1，,2x－1<4，))


解得－6

所以原不等式的解集为(－6,3)．


反思感悟 要熟练掌握指数函数、对数函数的图象和性质．方程、不等式的求解可利用单调性进行转化，对含参数的问题进行分类讨论，同时还要注意变量本身的取值范围，以免出现增根；大小比较问题可直接利用单调性和中间值解决．


跟踪训练3 (1)设函数f(x)＝ln(2＋x)－ln(2－x)，则f(x)是( )


A．奇函数，且在(0,2)上是增函数


B．奇函数，且在(0,2)上是减函数


C．偶函数，且在(0,2)上是增函数


D．偶函数，且在(0,2)上是减函数


答案 A


解析 由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2＋x>0，,2－x>0，))解得－2

因为f(－x)＝ln(2－x)－ln(2＋x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数；


又显然f(x)在(－2,2)上单调递增．


故f(x)在(0,2)上是增函数．


(2)已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，a≠1) 的定义域和值域都是[－1,0]，则a＋b＝________.


答案 －eq \f(3,2)


解析 当a>1时，f(x)＝ax＋b在定义域上为增函数，


∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－1＋b＝－1，,a0＋b＝0，))方程组无解；


当0

∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－1＋b＝0，,a0＋b＝－1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(1,2)，,b＝－2，))∴a＋b＝－eq \f(3,2).


四、函数的零点与方程的根


1．函数的零点主要考查零点个数以及零点所在区间，主要利用了转化思想，把零点问题转化成函数与x轴交点以及两函数交点问题．


2．掌握零点存在定理及转化思想，提升逻辑推理和直观想象素养．


例4 (1)已知函数f(x)＝ln x－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x－2的零点为x0，则x0所在的区间是( )


A．(0,1) B．(1,2)


C．(2,3) D．(3,4)


答案 C


解析 ∵f(x)＝ln x－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x－2在(0，＋∞)是增函数，


又f(1)＝ln 1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－1＝ln 1－2<0，f(2)＝ln 2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))0<0，f(3)＝ln 3－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))1>0，


∴x0∈(2,3)．


(2)函数f(x)＝|3x－1|－k，若f(x)有两零点，则实数k的取值范围是________．


答案 (0,1)


解析 函数f(x)有两个零点，即方程f(x)＝0有两个不同的解，


即方程|3x－1|＝k有两解，


即函数y＝|3x－1|与y＝k的图象有两个交点，


如图作出y＝|3x－1|的图象．





所以0

反思感悟 (1)函数的零点与方程的根的关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．


(2)确定函数零点的个数有两个基本方法：利用图象研究与x轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数进行判断．


跟踪训练4 (1)方程|x|－eq \f(a,x)＝0(a>0)的根有( )


A．1个 B．2个 C．3个 D．至少1个


答案 A


解析 |x|－eq \f(a,x)＝0(a>0)等价于|x|＝eq \f(a,x)(a>0)


令f(x)＝|x|，g(x)＝eq \f(a,x)(a>0)，作出两函数的图象，如图所示．





可以看出只有一个交点．


(2)已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx，若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是________．


考点 函数的零点与方程根的关系


题点 由函数零点个数求参数的取值范围


答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))


解析 画出函数f(x)的图象，如图所示．若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则函数f(x)，g(x)的图象有两个交点，由图可知eq \f(1,2)







1.若函数y＝lgax(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )











答案 B


解析 由函数y＝lgax的图象过点(3,1)，得a＝3.选项A中的函数为y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x，则其函数图象不正确；选项B中的函数为y＝x3，则其函数图象正确；选项C中的函数为y＝(－x)3，则其函数图象不正确；选项D中的函数为y＝lg3(－x)，则其函数图象不正确．


2．若函数f(x)在定义域{x|x∈R且x≠0}上是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，f(2)＝0，则函数f(x)的零点有( )


A．一个 B．两个


C．至少两个 D．无法判断


答案 B


解析 f(x)在(0，＋∞)上是减函数，f(2)＝0，


所以f(x)在(0，＋∞)上有且仅有一个零点2.


又f(x)是偶函数，所以f(x)在(－∞，0)上有且仅有一个零点－2.


因此函数f(x)有两个零点－2与2.


3．若x∈(e－1，1)，a＝ln x，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))ln x，c＝eln x，则a，b，c的大小关系为( )


A．c>b>a B．b>c>a


C．a>b>c D．b>a>c


答案 B


解析 由题意得a＝ln x∈(－1,0)，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))ln x∈(1,2)，c＝x∈(e－1，1)，


因此b>c>a.


4．f(x)＝2x·(x－a)－1在(0，＋∞)内有零点，则a的取值范围是( )


A．(－∞，＋∞) B．(－2，＋∞)


C．(0，＋∞) D．(－1，＋∞)


考点 函数零点存在定理


题点 函数零点有关的参数取值范围


答案 D


解析 由题意可得a＝x－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x(x>0)．


令g(x)＝x－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x，该函数在(0，＋∞)上为增函数，可知g(x)的值域为(－1，＋∞)，


故当a>－1时，f(x)在(0，＋∞)内有零点．


5．已知函数若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是______．


答案 (－1,0)∪(1，＋∞)


解析 当a>0时，f(a)＝lg2a，f(－a)＝，f(a)>f(－a)，


即lg2a>＝lg2eq \f(1,a)，


所以01.


当a<0时，f(a)＝，f(－a)＝lg2(－a)，f(a)>f(－a)，


即>lg2(－a)＝，


所以0<－a

综上得－11.