人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式本章综合与测试学案

章末复习课

一、不等式的性质及应用

1．不等式的性质常用来比较大小、判断与不等式有关的命题的真假和证明不等式，防止由于考虑不全面出现错误，有时也可结合特殊值法求解．

2．掌握不等式的性质，重点提升数学抽象和逻辑推理素养．

例1　(1)若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，则A，B的大小关系是(　　)

A．A≤B   B．A≥B

C．A<B或A>B   D．A>B

答案　B

解析　∵A－B＝a2＋3ab－(4ab－b2)

＝2＋b2≥0，∴A≥B.

(2)若a>b，x>y，下列不等式正确的是(　　)

A．a＋x<b＋y   B．ax>by

C．|a|x≥|a|y   D．(a－b)x<(a－b)y

答案　C

解析　因为当a≠0时，|a|>0，不等式两边同乘以一个大于零的数，不等号方向不变；当a＝0时，|a|x＝|a|y，故|a|x≥|a|y.

反思感悟　不等式性质的应用方法

(1)作差法比较大小的关键是对差式进行变形，变形的方法一般是通分、分解因式、配方等．

(2)不等式真假的判断，要依靠其适用范围和条件来确定，举反例是判断命题为假的一个好方法，用特例法验证时要注意，适合的不一定对，不适合的一定错，故特例只能否定选择项．

跟踪训练1　若1≤a≤5，－1≤b≤2，则a－b的取值范围为________．

答案　－1≤a－b≤6

解析　∵－1≤b≤2，∴－2≤－b≤1，

又1≤a≤5，∴－1≤a－b≤6.

二、基本不等式及应用

1．基本不等式：≤(a>0，b>0)是每年高考的热点，主要考查命题判断、不等式证明以及求最值问题，特别是求最值问题往往与实际问题相结合，同时在基本不等式的使用条件上设置一些问题，实际上是考查学生恒等变形的技巧，另外，基本不等式的和与积的转化在高考中也经常出现．

2．熟练掌握基本不等式的应用，重点提升数学抽象和数学运算素养．

例2　(1)若0<x<2，则x(2－x)的最大值是(　　)

A．2  B.  C．1  D.

答案　C

解析　因为0<x<2，

所以2－x>0，x(2－x)≤2＝1，

当且仅当x＝2－x，即x＝1时，等号成立．

(2)已知x>0，y>0，且x＋3y＝1，则的最小值是________．

答案　2＋4

解析　x>0，y>0，且x＋3y＝1.

＝＝

＝＋4≥＋4＝2＋4.

当且仅当x＝y，x＋3y＝1，

即y＝＝，x＝＝时取等号．

的最小值是2＋4.

反思感悟　利用基本不等式求最值的关注点

(1)注意寻求已知条件与目标函数之间的联系．

(2)利用添项和拆项的配凑方法，使积(或和)产生定值．特别注意“1”的代换．

跟踪训练2　已知函数y＝x－4＋(x>－1)，当x＝a时，y取得最小值b，则a＝________；b＝________.

答案　2　1

解析　y＝x－4＋＝(x＋1)＋－5，

因为x>－1，所以x＋1>0，

所以y≥2－5＝2×3－5＝1，

当且仅当x＋1＝，即x＝2时，等号成立，

此时a＝2，b＝1.

三、一元二次不等式的解法

1．对于实数的一元二次不等式(分式不等式)首先转化为标准形式(二次项系数为正)，然后能分解因式的变成因式相乘的形式，从而得到不等式的解集．

2．对于含参数的不等式要注意对参数进行讨论，做到不重不漏．

3．掌握不等式的解法，重点提升逻辑推理和数学运算素养．

例3　(1)已知x2＋ax－a≥0恒成立，则实数a的取值范围是________．

答案　－4≤a≤0

解析　由题意可得Δ＝a2＋4a≤0，解得－4≤a≤0.

(2)解关于x的不等式：x2＋(1－a)x－a<0.

解　方程x2＋(1－a)x－a＝0的解为x1＝－1，x2＝a.

函数y＝x2＋(1－a)x－a的图象开口向上，所以

①当a<－1时，原不等式的解集为{x|a<x<－1}；

②当a＝－1时，原不等式的解集为∅；

③当a>－1时，原不等式的解集为{x|－1<x<a}．

反思感悟　对于含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，则可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式分类讨论，分类要不重不漏．

跟踪训练3　若不等式ax2＋5x－2>0的解集是，

(1)求a的值；

(2)求不等式>a＋5的解集．

解　(1)依题意，可得ax2＋5x－2＝0的两个实数根为和2，

由根与系数的关系，得解得a＝－2.

(2)将a＝－2代入不等式，得>3，

即－3>0，

整理得>0，即(x＋1)(x＋2)<0，

解得－2<x<－1，

则不等式的解集为{x|－2<x<－1}．

四、不等式在实际问题中的应用

1．不等式的应用题常以函数为背景，多是解决现实生活、生产中的优化问题，在解题中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值，根据题设条件构建数学模型是解题关键．

2．利用不等式解决实际应用问题，重点提升数学建模素养和数学运算素养．

例4　某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图所示)．

(1)若设休闲区的长和宽的比＝x(x>1)，写出公园ABCD所占面积S与x的关系式；

(2)要使公园所占面积最小，则休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？

解　(1)设休闲区的宽B1C1为a米，则长A1B1为ax米，由a2x＝4 000，得a＝.

则S＝(a＋8)(ax＋20)＝a2x＋(8x＋20)a＋160

＝4 000＋(8x＋20)·＋160

＝80＋4 160(x>1)．

(2)80＋4 160

≥80×2＋4 160

＝1 600＋4 160＝5 760.

当且仅当2＝，即x＝2.5时，等号成立，

此时a＝40，ax＝100.

所以要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1应设计为长100米，宽40米．

反思感悟　解决与不等式有关的实际应用问题的关注点

(1)审题要准，初步建模．

(2)设出变量，列出函数关系式．

(3)根据题设构造应用不等式的形式并解决问题．

跟踪训练4　甲厂以x千克/小时的速度运输生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得的利润是100元．

(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于 3 000元，求x的取值范围；

(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．

解　(1)根据题意，200≥3 000

⇒5x－14－≥0，

又1≤x≤10，可解得3≤x≤10.

(2)设利润为y元，则y＝×100＝9×104×，

故x＝6千克/小时时，ymax＝457 500元．

1．(2019·全国Ⅱ)设集合A＝{x|x2－5x＋6>0}，B＝{x|x－1<0}，则A∩B等于(　　)

A．{x|x<1}   B．{x|－2<x<1}

C．{x|－3<x<－1}   D．{x|x>3}

答案　A

解析　根据题意知，A＝{x|x2－5x＋6>0}＝{x|x>3或x<2}，B＝{x|x－1<0}＝{x|x<1}，则A∩B＝{x|x<1}．

2．(2018·全国Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则∁RA等于(　　)

A．{x|－1<x<2}

B．{x|－1≤x≤2}

C．{x|x<－1}∪{x|x>2}

D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}

答案　B

解析　∵x2－x－2>0，∴(x－2)(x＋1)>0，∴x>2或x<－1，即A＝{x|x>2或x<－1}．在数轴上表示出集合A，如图所示．

由图可得∁RA＝{x|－1≤x≤2}．

3．(2017·上海)不等式>1的解集为________．

答案　{x|x<0}

解析　由题意，不等式>1，

得－>0，即<0，解得x<0，

所以不等式的解集为{x|x<0}．

4．(2017·江苏)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．

答案　30

解析　一年的总运费为6×＝(万元)．

一年的总存储费用为4x万元．

总运费与总存储费用的和为万元．

因为＋4x≥2 ＝240，

当且仅当＝4x，即x＝30时取得等号，

所以当x＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．

5．(2017·天津)若a，b∈R，ab>0，则的最小值为________．

答案　4

解析　∵a，b∈R，ab>0，

∴≥＝4ab＋≥2＝4，

当且仅当即ab>0时取得等号．

故的最小值为4.