人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式本章综合与测试学案及答案

微专题3　不等式恒成立、能成立问题

在解决不等式恒成立、能成立的问题时，常常使用不等式解集法、分离参数法、主参换位法和数形结合法解决，方法灵活，能提升学生的逻辑推理、数学运算等素养．

一、“Δ”法解决恒成立问题

例1　(1)已知不等式kx2＋2kx－(k＋2)<0恒成立，求实数k的取值范围；

(2)若不等式－x2＋2x＋3≤a2－3a对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围．

解　(1)当k＝0时，原不等式化为－2<0，显然符合题意．

当k≠0时，令y＝kx2＋2kx－(k＋2)，由y<0恒成立，

∴其图象都在x轴的下方，

即开口向下，且与x轴无交点．

∴解得－1<k<0.

综上，实数k的取值范围是{k|－1<k≤0}．

(2)原不等式可化为x2－2x＋a2－3a－3≥0，

∵该不等式对任意实数x恒成立，∴Δ≤0，

即4－4(a2－3a－3)≤0，即a2－3a－4≥0，

解得a≤－1或a≥4，

∴实数a的取值范围是{a|a≤－1或a≥4}．

反思感悟　(1)如图①，一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)在R上恒成立⇔一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R⇔二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象恒在x轴上方⇔ymin>0⇔

(2)如图②，一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)在R上恒成立⇔一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集为R⇔二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象恒在x轴下方⇔ymax<0⇔

二、数形结合法解决恒成立问题

例2　当1≤x≤2时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，求m的取值范围．

解　令y＝x2＋mx＋4.

∵当1≤x≤2时，y<0恒成立．

∴x2＋mx＋4＝0的根一个小于1，另一个大于2.

如图，得

∴

∴m的取值范围是{m|m<－5}．

反思感悟　结合函数的图象将问题转化为函数图象的对称轴，端点的函数值或函数图象的位置(相对于x轴)关系求解．可结合相应一元二次方程根的分布解决问题．

三、分离参数法解决恒成立问题

例3　设函数y＝mx2－mx－1,1≤x≤3，若y<－m＋5恒成立，求m的取值范围．

解　y<－m＋5恒成立，

即m(x2－x＋1)－6<0恒成立，

∵x2－x＋1＝2＋>0，

又m(x2－x＋1)－6<0，

∴m<.

∵y＝＝在1≤x≤3上的最小值为，

∴只需m<即可．

反思感悟　通过分离参数将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题．

四、主参换位法解决恒成立问题

例4　已知函数y＝mx2－mx－6＋m，若对于1≤m≤3，y<0恒成立，求实数x的取值范围．

解　y<0⇔mx2－mx－6＋m<0⇔(x2－x＋1)m－6<0.

∵1≤m≤3，

∴x2－x＋1<恒成立，

∴x2－x＋1<⇔x2－x－1<0⇔<x<.

∴x的取值范围为.

反思感悟　转换思维角度，即把变元与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围求解．

五、利用图象解决能成立问题

例5　当1<x<2时，关于x的不等式x2＋mx＋4>0有解，则实数m的取值范围为________．

答案　{m|m>－5}

解析　记y＝x2＋mx＋4，则由二次函数的图象知，不等式x2＋mx＋4>0(1<x<2)一定有解，即m＋5>0或2m＋8>0，解得m>－5.

反思感悟　结合二次函数的图象，将问题转化为端点值的问题解决．

六、转化为函数的最值解决能成立问题

例6　若存在x∈R，使得≥2成立，求实数m的取值范围．

解　∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0，

∴4x＋m≥2(x2－2x＋3)能成立，

∴m≥2x2－8x＋6能成立，

令y＝2x2－8x＋6＝2(x－2)2－2≥－2，

∴m≥－2，∴m的取值范围为{m|m≥－2}．

反思感悟　能成立问题可以转化为m>ymin或m<ymax的形式，从而求y的最大值与最小值，从而求得参数的取值范围．