这是一份高中数学人教A版 (2019)必修第一册2.1 等式性质与不等式性质优秀学案，共5页。

1．(2019·全国Ⅱ)设集合A＝{x|x2－5x＋6>0}，B＝{x|x－1<0}，则A∩B等于( )

A．{x|x<1} B．{x|－2

C．{x|－33}

答案 A

解析因为A＝{x|x2－5x＋6>0}＝{x|x>3或x<2}，B＝{x|x－1<0}＝{x|x<1}，

所以A∩B＝{x|x<1}，故选A.

2．设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则( )

A．M >N B．M ≥N C．M

答案 A

解析 ∵M－N＝2a(a－2)－(a＋1)(a－3)

＝(2a2－4a)－(a2－2a－3)＝a2－2a＋3

＝(a－1)2＋2>0.

∴M >N.

3．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根为2，－1，则当a<0时，不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为( )

A．{x|x<－1或x>2} B．{x|x≤－1或x≥2}

C．{x|－1

答案 D

解析由三个“二次”之间关系易知选D.

4．对于a>0，b>0，下列不等式中不正确的是( )

A.eq \f(\r(ab),2)

C．ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2 D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2≤eq \f(a2＋b2,2)

答案 A

解析当a>0，b>0时，因为eq \f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq \r(ab)，所以eq \f(2,\r(ab))≤eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)，当且仅当a＝b时等号成立，故A不正确；显然B，C，D均正确．

5．对一切实数x，不等式x2＋a|x|＋1≥0恒成立，则实数a的取值范围是( )

A．{a|a<－2} B．{a|a≥－2}

C．{a|－2≤a≤2} D．{a|a≥0}

答案 B

解析当x＝0时，x2＋a|x|＋1＝1≥0成立．

当x≠0时，a|x|≥－(x2＋1)，a≥－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(|x|＋\f(1,|x|)))恒成立．

∵|x|＋eq \f(1,|x|)≥2(当且仅当|x|＝1时，等号成立)，

∴－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(|x|＋\f(1,|x|)))≤－2.∴a≥－2.

6．一段长为40 m的篱笆围成一个矩形菜园，则菜园的最大面积是________m2.

答案 100

解析设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则2(x＋y)＝40，即x＋y＝20，

∴矩形的面积S＝xy≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋y,2)))2＝100，当且仅当x＝y＝10时，等号成立，此时菜园的面积最大，最大面积是100 m2.

7．若不等式x2＋ax＋1≥0在R上恒成立，则a的取值范围为________．

答案 {a|－2≤a≤2}

解析 ∵Δ＝a2－4≤0，∴－2≤a≤2.

8．已知x>0，y>0，且满足eq \f(x,3)＋eq \f(y,4)＝1，则xy的最大值为________．

答案 3

解析因为x>0，y>0，eq \f(x,3)＋eq \f(y,4)＝1，

所以eq \f(x,3)＋eq \f(y,4)≥2eq \r(\f(x,3)·\f(y,4))＝eq \r(\f(xy,3))(当且仅当eq \f(x,3)＝eq \f(y,4)＝eq \f(1,2)，即x＝eq \f(3,2)，y＝2时取等号)，

即 eq \r(\f(xy,3))≤1，解得xy≤3，

所以xy的最大值为3.

9．已知不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}．

(1)求a，b的值；

(2)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0.

解 (1)由题意知，1和b是方程ax2－3x＋2＝0的两根，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(3,a)＝1＋b，,\f(2,a)＝b，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝2.))

(2)不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0，

即为x2－(c＋2)x＋2c<0，即(x－2)(x－c)<0.

①当c>2时，原不等式的解集为{x|2

②当c<2时，原不等式的解集为{x|c

③当c＝2时，原不等式无解．

综上知，当c>2时，原不等式的解集为{x|2

当c<2时，原不等式的解集为{x|c

当c＝2时，原不等式的解集为∅.

10.如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过C点，已知AB＝3米，AD＝2米．

(1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？

(2)当DN的长度是多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．

解 (1)设DN的长为x(x>0)米，则AN＝(x＋2)米，

∵DN∶AN＝DC∶AM，∴AM＝eq \f(3x＋2,x)，

∴SAMPN＝AN·AM＝eq \f(3x＋22,x)，

由SAMPN>32，得eq \f(3x＋22,x)>32，

又x>0，得3x2－20x＋12>0，

解得06，

即DN长的取值范围是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(06)))).

(2)矩形花坛AMPN的面积为

eq \f(3x＋22,x)＝3x＋eq \f(12,x)＋12≥2eq \r(3x·\f(12,x))＋12＝24，

当且仅当3x＝eq \f(12,x)，即x＝2时，矩形花坛AMPN的面积取得最小值24.

故DN的长为2米时，矩形AMPN的面积最小，最小值为24平方米．

11．若一元二次不等式2kx2＋kx－eq \f(3,8)<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为( )

A．－3

答案 A

解析由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k<0，,Δ＝k2－4×2k×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,8)))<0，))

解得－3

12．已知a>0，b>0且a2＋eq \f(b2,2)＝1，则aeq \r(1＋b2)的最大值为( )

A.eq \f(3\r(2),2) B.eq \f(3,2) C.eq \f(3\r(2),4) D.eq \f(3,4)

答案 C

解析 ∵eq \r(2a2)·eq \r(1＋b2)≤eq \f(\r(2a2)2＋\r(1＋b2)2,2)＝eq \f(2a2＋1＋b2,2)＝eq \f(2＋1,2)＝eq \f(3,2)，当且仅当eq \r(2a2)＝eq \r(1＋b2)时等号成立，∴aeq \r(1＋b2)≤eq \f(3\r(2),4)，故aeq \r(1＋b2)的最大值为eq \f(3\r(2),4).

13．当x＝a时，x－4＋eq \f(9,x＋1)(x>－1)取得最小值b，则a＋b等于( )

A．－3 B．2 C．3 D．8

答案 C

解析因为x>－1，所以x＋1>0，

所以x－4＋eq \f(9,x＋1)＝(x＋1)＋eq \f(9,x＋1)－5

≥2eq \r(x＋1·\f(9,x＋1))－5＝2×3－5＝1，

当且仅当x＋1＝eq \f(9,x＋1)，即x＝2时，等号成立，

此时a＝2，b＝1，所以a＋b＝3.

14．若不等式x2－4x＋m<0的解集为空集，则不等式x2－(m＋3)x＋3m≥0的解集为________．

答案 {x|x≥m或x≤3}

解析由题意知16－4m≤0，∴m≥4，

∴x2－(m＋3)x＋3m＝(x－3)(x－m)≥0，

∴x≥m或x≤3.

15．若关于x的不等式(1＋k2)x≤k4＋4的解集是M，则对任意实常数k，总有( )

A．2∈M,0∈M B．2∉M,0∉M

C．2∈M,0∉M D．2∉M,0∈M

答案 A

解析由题可知M＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤\f(k4＋4,k2＋1)))))，

当k∈R时，eq \f(k4＋4,k2＋1)＝eq \f(k2＋12－2k2＋3,k2＋1)

＝eq \f(k2＋12－2k2＋1＋5,k2＋1)＝(k2＋1)＋eq \f(5,k2＋1)－2

≥2eq \r(k2＋1·\f(5,k2＋1))－2＝2eq \r(5)－2>2(当且仅当k2＝eq \r(5)－1时，取等号)．∴2∈M,0∈M.

16．第二届世界互联网大会在浙江省乌镇开幕后，某科技企业为抓住互联网带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设备．生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产x(x>0)台，需另投入成本y1万元．若年产量不足80台，则y1＝eq \f(1,2)x2＋40x；若年产量不小于80台，则y1＝101x＋eq \f(8 100,x)－2 180.每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完．

(1)写出年利润y(万元)关于年产量x(台)的关系式；

(2)年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？

解 (1)当0

当x≥80时，y＝100x－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(101x＋\f(8 100,x)－2 180))－500＝1 680－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(8 100,x))).

所以当0

当x≥80时，y＝1 680－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(8 100,x))).

(2)当0

当x＝60时，y取得最大值，最大值为1 300.

当x≥80时，y＝1 680－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(8 100,x)))

≤1 680－2eq \r(x·\f(8 100,x))＝1 500，

当且仅当x＝eq \f(8 100,x)，即x＝90时，y取得最大值，最大值为1 500.

所以当年产量为90台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大，最大利润为1 500万元．

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