第二章一元二次函数方程和不等式2.3二次函数与一元二次方程不等式2.3.2二次函数与一元二次方程不等式的应用教案新人教A版必修第一册 教案

第二章一元二次函数、方程和不等式

2.3二次函数与一元二次方程、不等式

2.3.2 二次函数与一元二次方程、不等式的应用

【目标】1.理解三个二次的关系，会解与一元二次不等式有关的恒成立问题；

2.能从实际问题中建立-元二次不等式的模型，并会应用其解决实际问题.

【重点】利用--元二次不等式解诀恒成立问题及实际问题.

【难点】从实际问题中建立一元二次不等式的模型.

要点整合夯基础...

知识点一简单的分式不等式的解法

【填一填】

若与是关于的多项式，则不等式（或，或，或）称为分式不等式.

解分式不等式总的原则是利用不等式的同解原理将其转化为有理整式不等式（组）求解.

（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

【答一答】

1.不等式的解集为.

答案：

解析：

原不等式可以化为，即，故原不等式的解集为.

2.不等式的解集是.

答案：

或

解析：

原不等式于，解得或，故不等式的解集是或.

【答一答】

3.不等式在上恒成立，你能写出成立的等价条件吗？

提示：.

知识点三 一元二次不等式的实际应用

【填一填】

对于一元二次不等式的应用题，其解题关键在于如何把 文字语言 换成 数学语言 从而把实际问题转换成 数学问题 .

同时注意问题答案的实际意义，还要增强解决问题的自信心，不要被问题的表面形式所迷惑.

【答一答】

4.解不等式应用题的解题步骤是什么？

提示：（1）阅读理解、认真审题，把握问题中的关键量、找准不等关系；

（2）引入数学符号，用不等式表示不等关系（或表示成函数关系）；

（3）解不等式（或求函数最值）；

（4）回扣实际问题.

典例讲练破题型...

类型一  简单的分式不等式的解法

【例1】解下列不等式.

（1）；（2）.

【分析】等价转化为一元二次不等式或一元一次不等式组.

【解】（1）∵，

或，或，

∴原不等式的解集为，或.

（2）方法一：原不等式可化为，或，

或.

∴原不等式的解集为.

方法二：原不等式可化为

.

∴原不等式的解集为.

通法提炼

（1）对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解，但要注意分母不为零.

（2）对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分（不要去分母），使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解.

【变式训练1】（1）下列选项中，使不等式成立的的取值范围是（  ）

A.

B.

C.

D.

答案：

A

（2）不等式：的解集为.

答案：

解析：（1）由可得，

即，解得，所以.

（2）因为，所以原不等式可化为，即，解得，所以原不等式的解集为.

类型二不等式恒成立问题

命题视角1：一元二次不等式在实数集上恒成立

问题 【例2】关于的不等式的解集为，求实数的取值范围.

【分析】

【解】（1）若，即时，

若，不等式变化为，解集为；

若，不等式变为，解集为.∴时满足条件.

（2）若，即时，原不等式解集为的条件是

.

解得，

综上所述，当时，圆不等式解集为.

通法提炼

不等式对任意恒成立，或；

不等式对任意恒成立，或.

【变式训练2】若不等式对一切恒成立，则的取值范围是.

答案：

解析：

当，即时，不等式为，恒成立，解集为，∴满足条件；

当时，则原不等式解集为时，满足，解得.

综上所述，的取值范围是.

命题视角2：一元二次不等式在某特定范围.上恒成立问题

【例3】己知，若，恒成立，求的取值范围.

【分析】

对于含参数的函数在某特定范围上函数值恒大于等于或小于等于常数问题，通常利用函数最值转化.

【解】若，恒成立可转化为：

，

或或，

解得的取值范围为.

通法提炼

或型不等式是恒成立问题中最基本的类型，由在上恒成立，则（，存在最大值）；在.上恒成立，则（，存在最小值）.

【变式训练3】若，不等式恒成立，求实数的取值范围.

解：，不等式恒成立.

①当时，不等式为恒成立，此时；

②当时，.

∵，∴，

∴（当且仅当，即时取等号），∴.

综上，实数的取值范围为.

类型三  一元二次不等式的实际应用

【例4】某农贸公司按每担元的价格收购某农产品，并每元纳税元（又称征税率为个百分点），计划可收购万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低个百分点，预测收购量可增加个百分点.

（1）写出降税后税收（万元）与的函数关系式；

（2）要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的，试确定的取值范围.

【解】（1）降低税率后的税率为，农产品的收购量为万担，收购总金额为万元.

依题意得.

（2）原计划税收为（万元）.

依题意得，

化简得，解得.

又因为，所以.

故的取值范围是.

通法提炼

解不等式应用题的步骤

【变式训练4】某商品每件的成本价为元，售价为元，每天售出件.若售价降低成（成），则售出商品的数量就增加成，要求售价不能低于成本价.

（1）设该商品一天的销售额为元，试求与之间的函数关系式，并写出的取值范围；

（2）若要求该商品一天的销售额至少为元，求的取值范围.

解：（1）若售价降低成，则降低后的商品售价为元，售出商品的数量为件，由题意，得与之间的函数关系式为 .

因为售价不能低于成本低，所以，解得，

所以，的取值范围为.

（2）由题意，的，化简得，解得，因为，所以的取值范围是.

课堂达标练经典

1.若集合，，则（   ）

A.

B.

C.

D.

答案：

B

解析：

∵，，∴.

2.已知不等式的解集为空集，则的取值范围是（  ）

A.

B.

C. 或

D. 或

答案：

A

解析：

依题意应有，解得，故选A.

3.不等式的解集为.

答案：

或

解析：且或.

4.已知函数，若对于任意的都有，则实数的取值范围为.

答案：

解析：

根据题意得，解得.

5.已知当时，不等式恒成立，求的取值范围.

答案：

见解析

解析：

∵当时，恒成立，

∴当时，恒成立.

令，

∵，且对称轴方程为，

∴，∴，

∴的取值范围为.

课堂小结

——本课须掌握的四大问题

1.对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解，但要注意分母不为零.对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分（不要去分母），使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解.

2.对于有的恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法，这是因为将参数予以分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决.当然这必须以参数容易分离作为前提.分离参数时，经常要用到下述简单结论：（1）恒成立；（2）恒成立台.

3.解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为，用来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解.

4.一元二次方程根的分布问题要注意数形结合，从开口方向，对称轴位置，判别式等方面考虑.