数学人教A版 (2019)2.4 圆的方程精品习题

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A．或
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意可得，圆心到两坐标轴的距离相等，且为半径，
所以圆心一定在直线或上；
当圆心在上时，不妨设圆心坐标为，半径为，则，
且圆心到的距离为，即
解得或，
所以圆心为时，半径，圆的方程为；
圆心为时，半径为，圆的方程为；
当圆心在上时，不妨设圆心坐标为，半径为，
且，即，此时方程无解；
所以圆的方程为或.如下图所示：

故选：A
2．（2023·安徽亳州·蒙城第一中学校联考模拟预测）若两条直线：，：与圆的四个交点能构成矩形，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】A
【解析】由题意直线平行，且与圆的四个交点构成矩形，
则可知圆心到两直线的距离相等，
由圆的圆心为：，
圆心到的距离为：
，
圆心到的距离为：
，
所以，
由题意，
所以，
故选：A.
3．（2022·高二课时练习）已知从点发出的一束光线，经x轴反射后，反射光线恰好平分圆：的圆周，则反射光线所在的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】设点的坐标为，圆的圆心坐标为，
设是x轴上一点，因为反射光线恰好平分圆的圆周，
所以反射光线经过点，
由反射的性质可知：，
于是，所以反射光线所在的直线方程为：
，
故选：A.
4．（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）已知复数满足，则的最大值为（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】C
【解析】设，
因为，
所以，
因为，
所以相当于圆上的点到点距离，
所以的最大值为圆心到点距离与圆的半径的和，即.
故选：C.

5．（2023春·河南漯河·高二统考期末）设点为直线上任意一点，过点作圆的切线，切点分别为，则直线必过定点（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如图，连接，，

根据题意，设为直线上的一点，则，
由于为圆的切线，则有，，
则点、在以为直径的圆上，
以为直径的圆的圆心为,，半径，
则其方程为，变形可得，
联立可得直线AB：，
又由，则有AB：，变形可得，
则有，解可得，故直线恒过定点.
故选：B.
6．（2023·湖南益阳·安化县第二中学校考三模）直线与曲线恰有两个不同的公共点，则实数b的取值范围是（ ）
A．B．
C．或D．
【答案】B
【解析】是斜率为的直线，
曲线是以原点为圆心为半径的圆的右半圆，
画出它们的图象如图，
当直线与圆相切时，（舍去），
当直线过时，,
由图可以看出：
当时，直线与半圆有两个公共点，
故选：

7．（2023春·安徽安庆·高二安徽省宿松中学校考开学考试）若M、N为圆上任意两点，P为直线上一个动点，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为圆的圆心为，半径为，
所以圆心到直线的距离为，
所以直线与圆相离，
设PA、PB是过点P圆的两切线，且A、B为切点，如图，
显然，当PM，PN为两切线时取等号；
因为PA、PB是过点P圆的两切线，所以，，
由圆的对称性易得，显然是锐角，
在中，，
又，所以，
所以，∴．
故选：B．
.
8．（2023·全国·高三专题练习）已知，点P为直线上的一点，点Q为圆上的一点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设，令，
则
，则M.
如图，当三点共线时，且垂直于直线时，有最小值，为，即直线到点M距离，为.
故选：D
二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，少选且正确得2分，每题5分。4题共20分）
9．（2022·高二课时练习）设有一组圆：，下列命题正确的是（ ）
A．不论如何变化，圆心始终在一条直线上
B．所有圆均不经过点
C．经过点的圆有且只有一个
D．所有圆的面积均为
【答案】ABD
【解析】A选项，圆心为，一定在直线上，A正确；
B选项，将代入得：，其中，方程无解，即所有圆均不经过点，B正确；
C选项，将代入得：，其中，
故经过点的圆有两个，故C错误；
D选项，所有圆的半径为2，面积为，故D正确.
故选：ABD.
10．（2023春·河南周口·高二校联考阶段练习）已知直线，则下列结论正确的是（ ）
A．若直线经过原点，则
B．若直线在两坐标轴上的截距之和为0，且，则
C．若直线与圆相切，则
D．若直线是圆与圆的公共弦所在直线，则
【答案】BC
【解析】直线，
对于A，直线经过原点，则，即，故A错误；
对于B，设直线在轴上的截距分别为，即直线过，且，
则且，又，
则且，
则，则，故B正确；
圆的圆心，半径为，
若直线与圆相切，
则圆心到直线的距离，
即，则，则，故C正确；
圆与圆的公共弦所在直线为，即，
直线，
由题意，两线重合，则，得，
又，即，解得，故D错误.
故选：BC.
11．（2023春·广西河池·高二统考期末）已知圆，点为圆上一动点，为坐标原点，则下列说法中正确的是（ ）
A．的最大值为
B．的最小值为
C．直线的斜率范围为
D．以线段为直径的圆与圆的公共弦方程为
【答案】AC
【解析】圆的圆心，半径，
又，所以，即点在圆外，
所以，故A正确；
，当且仅当在线段与圆的交点时取等号，故B错误；
设直线，根据题意可得点到直线的距离，解得，故C正确；
设的中点为，则，又，
所以以为直径圆的方程，显然圆与圆相交，
所以公共弦方程为，故D错误．

故选：AC．
12．（2023春·甘肃庆阳·高二校考期末）点P在圆上，点Q在圆上，则（ ）
A．的最小值为2
B．的最大值为7
C．两个圆心所在的直线斜率为
D．两个圆相交弦所在直线的方程为
【答案】BC
【解析】由已知，半径为，圆的标准方程为，
故，半径，∴圆心距，
又在圆上，在圆上，
则的最小值为，最大值为，
故A错误、B正确；
两圆圆心所在的直线斜率为，C正确；
圆心距大于两圆半径和，两圆外离，无相交弦，D错误.
故选：BC.

三、填空题(每题5分，4题共20分)
13．（2023福建）已知圆：，过点的直线与圆交于点，，线段的中点为，则点的轨迹方程为 .
【答案】
【解析】由圆：方程变形为标准式，
进而得出，所以点在圆内部，
又因为为线段的中点，连接，由垂径定理得，
设点的坐标，得，，
所以，得，整理得，
所以点的轨迹方程为，
故答案为：

14．（2023春·重庆沙坪坝 ）已知点在直线上运动，点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最大值为 ．
【答案】
【解析】如图所示，
圆的圆心为，半径为3，
圆的圆心为，半径为1，
可知，
所以，
若求的最大值，转化为求的最大值，
设关于直线的对称点为B，设B坐标为，
则 ，解得，故B，
因为，可得，
当P，B，A三点共线，即P点为时，等号成立，
所以的最大值为.
故答案为：.
15．（2023春·广东阳江·高二统考期末）已知圆，过点的直线被该圆所截的弦长的最小值为 .
【答案】
【解析】将圆的一般方程化为
设圆心为，直线过点，与圆交于，两点，则，半径，

设圆心到直线的距离为，则弦长 ，
当直线与所在的直线垂直时最大，此时最小，
这时，
所以最小的弦长 ，
故答案为：.
16．（2023春·上海嘉定·高二上海市育才中学校考阶段练习）经过点的直线l与圆交与P，Q两点，如果，则直线l的方程为 ．
【答案】或
【解析】圆的圆心，半径，
因为圆截直线所得弦长为，则圆到直线的距离，
因为直线过点，则当直线斜率不存在时，直线，
显然圆心到直线距离为1，因此直线：符合题意；
当直线斜率存在时，设其方程为，即，
于是，解得，方程为，
所以直线l的方程为或.
故答案为：或

四、解答题（17题10分，其余每题12分，6题共70分）
17．（2023春·湖北·高二校联考阶段练习）已知圆，直线.
(1)证明：直线和圆恒有两个交点；
(2)若直线和圆交于两点，求的最小值及此时直线的方程.
【答案】(1)证明见解析
(2)最小值为，此时直线方程为
【解析】（1）直线，即，
联立解得所以不论取何值，直线必过定点.
圆，圆心坐标为，半径，
因为，所以点在圆内部，
则直线与圆恒有两个交点.
（2）直线经过圆内定点，圆心，
记圆心到直线的距离为d.
因为，所以当d最大时，取得最小值，
所以当直线时，被圆截得的弦最短，
此时，
因为，所以直线的斜率为，又直线过点，
所以当取得最小值时，直线的方程为，即，
综上：最小值为，此时直线方程为.

18．（2023春·江苏扬州·高二江苏省江都中学校考开学考试）在平面直角坐标系中，圆C的方程为，．
(1)当时，过原点O作直线l与圆C相切，求直线l的方程；
(2)对于，若圆C上存在点M，使，求实数的取值范围．
【答案】(1)或
(2)
【解析】（1）当时，圆C的方程为，
圆心，半径，
①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，满足条件；
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，
由直线l与圆C相切，则，解得，
所以l的方程为，即，
综上得，直线l的方程为或；
（2）圆心，，
则线段的中垂线的方程为，即，
要使得，则M在线段的中垂线上，
所以存在点M既要在上，又要在圆C上，
所以直线与圆C有公共点，
所以，解得，
所以．

19．（2023春·新疆塔城·高二统考开学考试）已知圆过两点，，且圆心P在直线上．
(1)求圆P的方程；
(2)过点的直线交圆于两点，当时，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)或
【解析】（1）依题意圆心P在直线上，可设圆P的方程为，
因为圆P过两点，，
所以，解得，
所以圆P的方程为.
（2）由（1）可知，圆心，半径，
当直线的斜率不存在时，其方程为，圆心到直线的距离为1，
此时满足题意；
当直线的斜率存在时，
设直线的方程为，即，
当时，圆心到直线的距离，
即有，解得，
此时直线的方程为，即为.
综上，直线的方程为或.
20．（2022秋·福建宁德·高二福建省宁德第一中学校考阶段练习）已知直线的方程为，若在轴上的截距为，且．
(1)求直线和的交点坐标；
(2)已知直线经过与的交点，且在轴上截距是在轴上的截距的2倍，求的方程．
【答案】(1)
(2)或
【解析】（1）由直线的方程为，，
可得直线的斜率为2，
又在轴上的截距为，即过点，
所以直线方程：，
即，
联立方程，得：
，故交点为；
（2）依据题意直线在轴上截距是在轴上的截距的2倍，
且直线经过与的交点
当直线过原点时，方程为：，
当直线不过原点时，设方程为，则，解得，
故方程为：，
即
综上所述：的方程为或.
21．（2023春·江西宜春·高二上高二中校考阶段练习）已知圆
(1)若圆C的切线在x轴、y轴上的截距相等，求切线方程；
(2)从圆C外一点向该圆引一条切线，切点为M，且有为坐标原点，点P的轨迹方程.
【答案】(1)或或；
(2)
【解析】（1）圆的圆心为，半径为2，
①设圆C的切线在x轴、y轴上的截距均为0，则切线过原点，
设所求切线方程为，即
则圆心到切线的距离为，解得，
此时，所求切线的方程为；
②若截距均不为0，设所求切线方程为，
则圆心到切线的距离为，解得，
此时，所求切线方程为或，
综上所述，所求切线方程为或或；
（2）由题意可知，，
则
，
由，得，
化简得，
所以，点P的轨迹方程为.

22．（2023秋·广东广州·高二校联考期末）已知圆：，点.
(1)若，求以为圆心且与圆相切的圆的方程；
(2)若过点的两条直线被圆截得的弦长均为，且与轴分别交于点、，，求的值.
【答案】(1)或
(2)或
【解析】（1）当时，，设圆的方程为，
因为，所以点在圆外，
所以圆与圆外切或内切，又，圆的半径为，
当两圆外切时：，可得；
当两圆内切时：，可得；
所以以为圆心且与圆相切的圆的方程为或.
（2）若过点的直线与轴垂直时，直线方程为，
圆心到直线的距离为，直线与圆相离，不满意题意；
设过点的直线方程为，即，
由题意得，，
化简得，设直线、的斜率分别为，
则，且，
对过点的直线，令，得，
，
，解得，
所以.