高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用练习

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考点一 直线的方向向量
【例1-1】（2023春·江西）若，在直线上，则直线的一个方向向量为 （ ）
A．B．
C．D．
【例1-2】（2022秋·高二单元测试）已知直线的一个方向向量，且直线过点和两点，则（ ）
A．0B．1C．D．3
【一隅三反】
1．（2023春·江苏常州·高二校联考期中）已知直线l的一个方向向量，且直线l过A(0，y，3)和B(－1，2，z)两点，则y－z等于（ ）
A．0B．1C．2D．3
2（2023春·甘肃白银·高二校考期末）已知点，都在直线上，写出一个直线的方向向量： .
3．（2022·高二课时练习）若向量，都是直线的方向向量，则 ．
考点二 平面的法向量
【例2-1】（2023广东湛江）已知，则下列向量是平面法向量的是（ ）
A．B．
C．D．
【例2-2】（2022·高二课时练习）四边形是直角梯形，，，平面，，，建立适当的空间直角坐标系，并求平面和平面的法向量．

【一隅三反】
1．（2023云南）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面PCD的一个法向量.
2．（2023春·高二课时练习）如图，在长方体中，，，，建立适当的空间直角坐标系，求下列平面的一个法向量：
(1)平面ABCD；
(2)平面；
(3)平面．
3．（2023山东）如图，四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，PD＝AD＝DC，底面ABCD为正方形，E为PC的中点，点F在PB上，问点F在何位置时，为平面DEF的一个法向量?

考点三 空间向量证平行
【例3-1】（2023·北京）（多选）下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中正确的是（ ）
A．若两条不重合直线，的方向向量分别是，，则
B．若直线的方向向量，平面的法向量是，则
C．若两个不同平面，的法向量分别为，，则
D．若平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则
【例3-2】（2023·上海）如图，四棱锥中，侧面PAD为等边三角形，线段AD的中点为O且底面，，，E是PD的中点．证明：平面.
【例3-3】（2023·广西）如图所示，正四棱的底面边长1，侧棱长4，中点为，中点为．求证：平面平面.

【一隅三反】
1．（2023·福建福州）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中.平面，且，点在棱上，点为中点.若，证明：直线平面.
2．（2023春·高二课时练习）如图，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，，是棱的中点．求证：平面平面.
考点四 空间向量证垂直
【例4-1】（2023·高二课时练习）如图，在棱长为1的正方体中，分别是的中点，建立适当的空间直角坐标系，证明：．

【例4-2】（2023山西）如图，在正方体中，，分别为，的中点.证明：

(1)平面平面；
(2)平面.
【例4-3】（2023新疆）如图所示，在直三棱柱中，侧面和侧面都是正方形且互相垂直，为的中点，为的中点.求证：

(1)平面；
(2)平面平面.
【一隅三反】
1．（2023春·高二课时练习）如图，已知三棱柱的侧棱垂直于底面，.求证：.
2．（2022·高二课时练习）如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，，为的中点．

(1)求证：平面；
(2)求证：平面．
考点五 空间角
【例5-1】（2023春·高二单元测试）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，.

(1)求证：平面；
(2)若，求与所成角的余弦值.
【例5-2】（2023黑龙江）如图所示，在直角梯形中，，，边上一点满足.现将沿折起到的位置，使平面平面，如图所示.

(1)求证：；
(2)求与平面所成角的余弦值.
【例5-3】（2023春·江苏徐州·高二统考期中）如图，在正四棱锥中，，正四棱锥的体积为，点为的中点，点为的中点.

(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值.
【一隅三反】
1．（2023春·贵州·高二贵州师大附中校联考阶段练习）如图，圆锥的轴截面为等边三角形，为弧的中点，为母线的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（ ）

A．B．C．D．
2．（2023春·河南焦作·高二统考期末）如图，在长方体中，，交于点．

(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
3．（2023春·江苏南通·高二统考阶段练习）如图，三棱锥中，平面，线段的中点为，，且.

(1)证明：平面；
(2)若，，求二面角的余弦值.
考点六 空间距离
【例6-1】（2023春·江苏淮安·高二统考期末）已知四棱锥的底面为正方形，平面，，点是的中点，则点到直线的距离是（ ）
A．B．C．D．
【例6-2】（2023·上海）如图是一棱长为的正方体，则异面直线与之间的距离为（ ）
A．B．C．D．
【例6-3】（2023春·甘肃张掖·高二高台县第一中学校考期中）如图，正方体的棱长为2，点为的中点．
(1)求点到平面的距离为；
(2)求到平面的距离．
【例6-4】（2023秋·高二课时练习）正方体的棱长为1，则平面与平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1．（2023·全国·高一专题练习）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是a，且，，E为的中点，则点E到直线的距离为（ ）

A．B．C．D．
2．（2023·湖南）在边长为1的正方体中．平面与平面之间的距离为（ ）
A．B．1C．D．
3．（2023春·云南楚雄·高二统考期中）如图，在正三棱柱中，是线段上靠近点的一个三等分点，是的中点．

(1)证明：平面；
(2)若，求点到平面的距离．