高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.1 空间向量及其运算课后测评

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考点一 空间向量概念辨析
【例1-1】（2023湖南）给出下列命题：
①零向量没有方向；
②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；
③若空间向量满足，则；
④若空间向量满足，则；
⑤空间中任意两个单位向量必相等．
其中正确命题的个数为（ ）
A．4B．3
C．2D．1
【答案】D
【解析】零向量的方向是任意的，但并不是没有方向，故①错误；
当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等．但两个向量相等，起点和终点不一定相同，故②错误；
根据相等向量的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向也要相同，但③中向量与的方向不一定相同，故③错误；
命题④显然正确；
对于命题⑤，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错误．
故选：D.
【例1-2】（2023·黑龙江哈尔滨）如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为O，则下列结论中
①+与1+1是一对相反向量；
②-1与-1是一对相反向量；
③1+1+1+1与+++是一对相反向量；
④-与1-1是一对相反向量．
正确结论的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【解析】设E,F分别为AD和A1D1的中点，
①+与+不是一对相反向量，错误；
②-与-不是一对相反向量，错误；
③1+1+1+是一对相反向量,正确；
④-与1-不是一对相反向量,是相等向量，错误．
即正确结论的个数为1个
故选：A
【一隅三反】
1.（2023·山东济南）下列关于空间向量的说法中正确的是（ ）
A．方向相反的两个向量是相反向量
B．空间中任意两个单位向量必相等
C．若向量满足，则
D．相等向量其方向必相同
【答案】D
【解析】相反向量指的是长度相等，方向相反的向量，故A错误；
单位向量指的是模为1的向量，方向未定，故B错误；
向量不能比较大小，故C错误；
相等向量其方向必相同，故D正确；
故选：D.
2．（2023·山东潍坊）（多选）如图所示，在长方体中，，则在以八个顶点中的两个分别为始点和终点的向量中（ ）
A．单位向量有8个
B．与相等的向量有3个
C．与的相反向量有4个
D．向量共面
【答案】ABC
【解析】由题可知单位向量有共8个，故A正确；
与相等的向量有共3个，故B正确；
向量的相反向量有共4个，故C正确；
因为，向量有一个公共点，而点都在平面内，点在平面外，所以向量不共面，故D错误.
故选：ABC.
3．（2022·高二课时练习）下列关于空间向量的命题中，正确的序号是______.
①若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；
②是向量的必要非充分条件；
③向量、相等的充要条件是
④若A、B、C、D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件.
【答案】②④
【解析】向量相等只需满足方向相同且模相等即可，故①错误；
根据相等向量的概念可知，若，则，但，有可能、的方向不同，故是向量的必要非充分条件，②正确；
当、为相反向量时，显然满足，故③错误；
因为A、B、C、D是不共线，所以由，可知且，所以四边形ABCD为平行四边形，反之，若四边形ABCD为平行四边形，则由平行四边形的性质可得，故④正确.
故答案为：②④
考点二 空间向量的线性运算
【例2-1】（2023·安徽黄山·高二统考期末）如图，在三棱柱中，E、F分别是BC、的中点，为的重心，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由题意可得：
.故选：A.
【一隅三反】
1．（2023春·高二单元测试）若为空间不同的四点，则下列各式不一定为零向量的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】对于A，；
对于B，；
对于C，；
对于D，.
故选：A.
2．（2023北京）已知正方体，点E是的中点，点F是的三等分点，且，则等于（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】如图所示，
由于，故，，，
，，，
∴
，
故选：D．
3．（2023春·广东广州）如图所示，在三棱柱中，是的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量.
(1)；
(2)；
(3).
【答案】(1)，图中表示见解析
(2)，图中表示见解析
(3)，图中表示见解析
【解析】（1）解：.
（2）解：因为是的中点，所以，又，
所以.
（3）解：
考点三 空间向量的共线共面问题
【例3-1】（2023·山东）已知空间向量，，且，，，则一定共线的三点是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，
又与过同一点B，∴ A、B、D三点共线．故选：C．
【例3-2】（2023云南）下列条件能使点与点一定共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设，若，则点共面．
对于A，，由于，故A错误；
对于B，，由于，故B错误；
对于C, ，由于，故C错误；
对于D，，由于，得共面，故D正确.
故选：D.
【例3-3】（2023春·江苏宿迁）已知向量，不共线，，，，则（ ）
A．与共线B．与共线
C．，，，四点不共面D．，，，四点共面
【答案】D
【解析】对于A，，不存在实数，使得成立，与不共线，A错误；
对于B，，，，
又，不存在实数，使得成立，与不共线，B错误；
对于C、D，若，，，四点共面，
则有，
，即，故，
故，，，四点共面，C错误，D正确.
故选：D.
【一隅三反】
1．（2023·江苏）满足下列条件，能说明空间不重合的A、B、C三点共线的是( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】对于空间中的任意向量，都有 ，说法A错误；
若，则，而，据此可知，即两点重合，选项B错误；
，则A、B、C三点共线，选项C正确；
，则线段的长度与线段的长度相等，不一定有A、B、C三点共线，选项D错误；
本题选择C选项.
2．（2023春·辽宁鞍山）在下列条件中，能使与，，一定共面的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】空间向量共面定理，，若，，不共线，且，，，共面，则其充要条件是；
对于A，因为，所以不能得出，，，四点共面；
对于B，因为，所以不能得出，，，四点共面；
对于C，，则，，为共面向量，所以与，，一定共面；
对于D，因为，所以，因为，所以不能得出，，，四点共面．
故选：C．
3．（2023春·甘肃）下面关于空间向量的说法正确的是（ ）
A．若向量平行，则所在直线平行
B．若向量所在直线是异面直线，则不共面
C．若A，B，C，D四点不共面，则向量，不共面
D．若A，B，C，D四点不共面，则向量，，不共面
【答案】D
【解析】向量平行，所在直线可以重合，也可以平行，A错误；
可以通过平移将空间中任意两个向量平移到一个平面内，因此空间任意两个向量都是共面的，BC错误；
显然AB，AC，AD是空间中有公共端点A，但不共面的三条线段，所以向量，，不共面，D正确.
故选：D
4．（2023春·上海闵行）已知是空间中不共线的三个点，若点满足，则下列说法正确的一项是（ ）
A．点是唯一的，且一定与共面
B．点不唯一，但一定与共面
C．点是唯一的，但不一定与共面
D．点不唯一，也不一定与共面
【答案】A
【解析】由空间向量的知识可知共面的充要条件为存在实数，使，
因为，所以，所以共面，所以四点共面，
因为，所以，点唯一.故选：A.
考点四 数量积
【例4-1】（2023·北京通州）如图，在平行六面体中，，，，，，，与相交于点.
(1)求；
(2)求；
(3)求的长.
【答案】(1)4；
(2)；
(3).
【解析】（1）.
（2）因为为平行六面体，所以四边形为平行四边形，∥，，
在三角形中，，，，所以，所以，
又∥，所以.
（3）由题意知，，则
，
所以.
【一隅三反】
1．（2023黑龙江）如图所示的平行六面体中，已知，，，为上一点，且，点棱上，且.
(1)用，，表示；
(2)若，求；
(3)若，求证：平面.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【解析】（1）解：
即
（2）解：因为，不妨取，
．
．
（3）解：过点作，交于点，连接，则，
平面，平面，所以平面，
因为，令，则，，，所以，所以，所以，又，，所以，所以，平面，平面，所以平面，
因为，平面，所以平面平面，平面，所以平面；
2．（2023·福建）如图，正四面体的高的中点为，的中点为.
（1）求证：，，两两垂直；
（2）求.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】设，，，正四面体的棱长为1，
（1）因为
，
，
，
，
所以
，所以，即.
同理，，，所以，，两两垂直.
（2），
所以，又，
，
所以，
又，所以.
3．（2023·吉林延边）如图，在平行六面体中，，，，，为与的交点．若，，．
（1）用，，表示．
（2）求的长．
（3）求与所成角的余弦值．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）由题意得
（2）因为，所以，
，
所以
（3），所以，
所以
，
所以与所成角的余弦值为