高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程优质导学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程优质导学案，共14页。

基础过关练
题组一 圆的标准方程的认识
1.圆(x-2)2+(y+3)2=2的圆心坐标和半径分别是( )
A.(-2,3),1 B.(2,-3),3
C.(-2,3),2 D.(2,-3),2
2.方程(x-a)2+(y-b)2=0表示的是( )
A.以(a,b)为圆心的圆 B.以(-a,-b)为圆心的圆
C.点(a,b) D.点(-a,-b)
3.过圆(x+1)2+(y-2)2=4的圆心,且斜率为1的直线l的方程为( )
A.x+y-1=0 B.x+y+3=0
C.x-y+3=0 D.x-y-3=0
4.圆心为(3,1),半径为5的圆的标准方程为( )
A.(x+3)2+(y+1)2=5 B.(x+3)2+(y+1)2=25
C.(x-3)2+(y-1)2=5 D.(x-3)2+(y-1)2=25
5.方程x=1-y2表示的图形是( )
A.两个半圆 B.两个圆
C.圆 D.半圆
题组二 圆的标准方程的求法
6.圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的标准方程是( )
A.x2+(y-2)2=1 B.x2+(y+2)2=1
C.(x-1)2+(y-3)2=1 D.x2+(y-3)2=1
7.已知圆C的一条直径的端点坐标分别是(4,1),(-2,3),则圆C的标准方程是( )
A.(x+1)2+(y+2)2=10B.(x-1)2+(y-2)2=40
C.(x-1)2+(y-2)2=10 D.(x+1)2+(y+2)2=40
8.若一圆的圆心坐标为(2,-3),一条直径的端点分别在x轴和y轴上,则此圆的标准方程是( )
A.(x-2)2+(y+3)2=13B.(x+2)2+(y-3)2=13
C.(x-2)2+(y+3)2=52D.(x+2)2+(y-3)2=52
9.圆心为直线x-y+2=0与直线2x+y-8=0的交点,且过原点的圆的标准方程是 .
10.已知圆过点A(1,-2),B(-1,4).
(1)求周长最小的圆的标准方程;
(2)求圆心在直线2x-y-4=0上的圆的标准方程.
11.求以A(2,2),B(5,3),C(3,-1)为顶点的三角形的外接圆的标准方程.
题组三 点与圆的位置关系
12.若圆C的圆心坐标为(0,0),且圆C经过点M(3,4),则圆C的半径为( )
A.5B.6C.7D.8
13.点(sin 30°,cs 30°)与圆x2+y2=12的位置关系是( )
A.点在圆上 B.点在圆内
C.点在圆外 D.不能确定
14.已知点P(a,a+1)在圆x2+y2=25内部,那么a的取值范围是( )
A.-4C.-515.已知圆C的圆心为C(-3,-4)且过原点O,求圆C的标准方程,并判断点M1(-1,0),M2(1,-1),M3(3,-4)与圆C的位置关系.
能力提升练
题组一 圆的标准方程的求法
1.(2020北京高考适应性测试,)圆心为(2,1)且和x轴相切的圆的标准方程为( )
A.(x-2)2+(y-1)2=1 B.(x+2)2+(y+1)2=1
C.(x-2)2+(y-1)2=5 D.(x+2)2+(y+1)2=5
2.()过点A(-1,3),B(3,-1),且圆心在直线x-2y-1=0上的圆的标准方程为( )
A.(x+1)2+(y+1)2=4 B.(x+1)2+(y+1)2=16
C.(x-1)2+y2=13 D.(x-1)2+y2=5
3.(2020辽宁大连高二上期中,)若圆C与圆C'(x+2)2+(y-1)2=1关于原点对称,则圆C的标准方程为( )
A.(x+1)2+(y-2)2=1 B.(x-2)2+(y-1)2=1
C.(x-1)2+(y+2)2=1 D.(x-2)2+(y+1)2=1
4.()圆C1:(x-1)2+(y-2)2=1关于直线x-y-2=0对称的圆C2的标准方程为( )
A.(x-4)2+(y+1)2=1 B.(x+4)2+(y+1)2=1
C.(x+2)2+(y+4)2=1 D.(x-2)2+(y+1)2=1
5.()已知圆C的半径为2,圆心在x轴的正半轴上,且到直线3x+4y+4=0的距离等于半径长,则圆C的标准方程为 .
6.(2019安徽六安一中高一阶段测试,)已知直线l1经过点A(-3,0),B(3,2),直线l2经过点B,且l1⊥l2.
(1)分别求直线l1,l2的方程;
(2)设直线l2与直线y=8x的交点为C,求△ABC的外接圆的标准方程.
题组二 点与圆的位置关系
7.()若实数x,y满足(x+5)2+(y-12)2=142,则x2+y2的最小值为( )
A.3 B.2 C.2D.1
8.(多选)()设有一组圆Ck:(x-k)2+(y-k)2=4(k∈R),下列命题正确的是( )
A.不论k如何变化,圆心C始终在一条直线上
B.所有圆Ck均不经过点(3,0)
C.经过点(2,2)的圆Ck有且只有一个
D.所有圆的面积均为4π
9.(2020四川成都石室中学高二上期中,)已知实数x,y满足x2+y2=1,则3x+y的取值范围是( )
A.(-2,2)B.(-∞,2]
C.[-2,2]D.(-2,+∞)
10.()已知三点A(3,2),B(5,-3),C(-1,3),以点P(2,-1)为圆心作一个圆,使A,B,C三点中一点在圆外,一点在圆上,一点在圆内,求这个圆的方程.
11.()设A(xA,yA),B(xB,yB)为平面直角坐标系内的两点,其中xA,yA,xB,yB∈Z.令Δx=xB-xA,Δy=yB-yA,若|Δx|+|Δy|=3,且|Δx|·|Δy|≠0,则称点B为点A的“相关点”,记作B=τ(A).
(1)求点(0,0)的“相关点”的个数;
(2)点(0,0)的所有“相关点”是否在同一个圆上?若在,写出圆的方程;若不在,请说明理由.
答案全解全析
基础过关练
1.D 由圆的标准方程可得圆心坐标为(2,-3),半径为2.
2.C 由(x-a)2+(y-b)2=0,解得x=a,y=b,因此它只表示一个点(a,b).故选C.
3.C 圆(x+1)2+(y-2)2=4的圆心坐标为(-1,2),因为直线l的斜率k=1,所以由点斜式得直线l的方程是y-2=x+1,化简得x-y+3=0,故选C.
4.D ∵所求圆的圆心为(3,1),半径为5,
∴所求圆的标准方程为(x-3)2+(y-1)2=25.故选D.
5.D 根据题意得x≥0,方程两边同时平方并整理得x2+y2=1,由此确定图形为半圆,故选D.
6.A 设圆的圆心为C(0,b),
则(0-1)2+(b-2)2=1,∴b=2,
∴圆的标准方程是x2+(y-2)2=1.
7.C 已知圆C的一条直径的端点坐标分别是(4,1),(-2,3),
故利用中点坐标公式求得圆心为(1,2),利用两点间距离公式得半径为12×(4+2)2+(1-3)2=1240=10,
故圆的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=10,故选C.
8.A 易知直径两端点的坐标分别为(4,0),(0,-6),可得圆的半径为13,因为圆心坐标为(2,-3),所以所求圆的标准方程是(x-2)2+(y+3)2=13.
9.答案 (x-2)2+(y-4)2=20
解析 由x-y+2=0,2x+y-8=0可得x=2,y=4,即圆心为(2,4),又圆过原点,所以圆的半径r=(2-0)2+(4-0)2=25,故圆的标准方程为(x-2)2+(y-4)2=20.
10.解析 (1)当线段AB为圆的直径时,过点A,B的圆的半径最小,从而周长最小,
即所求圆以线段AB的中点(0,1)为圆心,12|AB|=10为半径.故所求圆的标准方程为x2+(y-1)2=10.
(2)解法一:直线AB的斜率k=4-(-2)-1-1=-3,则线段AB的垂直平分线的方程是y-1=13x,即x-3y+3=0.
由x-3y+3=0,2x-y-4=0解得x=3,y=2,即圆心的坐标是(3,2).所以圆的半径r=(3-1)2+(2+2)2=25.
所以所求圆的标准方程是(x-3)2+(y-2)2=20.
解法二:设圆心坐标为(a,b),半径为R(R>0),则圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=R2,由题意得(1-a)2+(-2-b)2=R2,(-1-a)2+(4-b)2=R2,2a-b-4=0,
解得a=3,b=2,R2=20.所以所求圆的标准方程是(x-3)2+(y-2)2=20.
11.解析 设所求圆的圆心为(a,b),标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),
则有(2-a)2+(2-b)2=r2,(5-a)2+(3-b)2=r2,(3-a)2+(-1-b)2=r2,
解得a=4,b=1,r2=5,所以△ABC的外接圆的标准方程为(x-4)2+(y-1)2=5.
12.A 圆C的半径为32+42=5.
13.C 因为sin230°+cs230°=122+322=1>12,所以点在圆外.
14.A 由题意得a2+(a+1)2<25,即2a2+2a-24<0,解得-415.解析 因为圆C过原点O,圆心为C(-3,-4),所以圆C的半径r=|OC|=(-3-0)2+(-4-0)2=5,因此圆C的标准方程为(x+3)2+(y+4)2=25.因为(-1+3)2+(0+4)2=20<25,所以点M1(-1,0)在圆C内;因为(1+3)2+(-1+4)2=25,所以点M2(1,-1)在圆C上;因为(3+3)2+(-4+4)2=36>25,所以点M3(3,-4)在圆C外.
能力提升练
1.A 由题意可知,圆心坐标为(2,1),半径为1,所以圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1.
2.B 直线AB的斜率为3-(-1)-1-3=-1,线段AB的中点坐标为(1,1),
所以线段AB的垂直平分线为y=x,
解方程组y=x,x-2y-1=0,得x=-1,y=-1.因此圆心坐标为(-1,-1),
半径r=(-1+1)2+(-1-3)2=4,
所以圆的标准方程为(x+1)2+(y+1)2=16,故选B.
3.D 已知圆C与圆C'关于原点对称,则两圆的圆心关于原点对称,半径相等,因此,圆C的圆心为(2,-1),半径为1,从而圆C的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=1,故选D.
解题模板 与圆有关的对称问题,利用对称前后两圆全等,知两圆的半径相等,因此只要利用对称关系求出圆心坐标,就可得到圆的标准方程.
4.A 由题意得,圆C1的圆心坐标为(1,2),设圆心C1(1,2)关于直线x-y-2=0的对称点为C2(a,b),则b-2a-1×1=-1,a+12-b+22-2=0,解得a=4,b=-1,所以圆C2的标准方程为(x-4)2+(y+1)2=1.
5.答案 (x-2)2+y2=4
解析 设圆心坐标为(a,0),且a>0,则点(a,0)到直线3x+4y+4=0的距离为2,即|3×a+4×0+4|32+42=2,所以3a+4=±10,解得a=2或a=-143(舍去),则圆C的标准方程为(x-2)2+y2=4.
6.解析 (1)因为直线l1经过点A(-3,0),B(3,2),所以y-02-0=x+33+3,
所以l1的方程为x-3y+3=0.
因为l1⊥l2,所以设直线l2的方程为3x+y+c=0.因为点B(3,2)在直线l2上,所以c=-11.所以直线l2的方程为3x+y-11=0.
(2)由3x+y-11=0,y=8x得x=1,y=8,即C(1,8),所以|AC|=45,|BC|=210,又|AB|=210,所以|AB|2+|BC|2=|AC|2,所以△ABC是以AC为斜边的直角三角形.又AC的中点为(-1,4),
所以Rt△ABC的外接圆的圆心为(-1,4),半径为25.所以△ABC的外接圆的标准方程为(x+1)2+(y-4)2=20.
7.D (x+5)2+(y-12)2=142表示以(-5,12)为圆心,14为半径的圆,x2+y2表示圆上的动点到原点距离的平方.根据其几何意义,可知x2+y2的最小值为14-(-5)2+122=1.
8.ABD 圆心坐标为(k,k),在直线y=x上,A正确;令(3-k)2+(0-k)2=4,化简得2k2-6k+5=0,∵Δ=36-40=-4<0,∴2k2-6k+5=0,无实数根,∴B正确;由(2-k)2+(2-k)2=4,化简得k2-4k+2=0,∵Δ=16-8=8>0,有两不等实根,∴经过点(2,2)的圆Ck有两个,C错误;由圆的半径为2,得圆的面积为4π,D正确.故选ABD.
9.C 设x=sin α,y=cs α,则3x+y=3sin α+cs α=2sinα+π6,所以3x+y的取值范围是[-2,2].故选C.
10.解析 要使A,B,C三点中一点在圆外,一点在圆上,一点在圆内,则圆的半径是|PA|,|PB|,|PC|的中间值.
因为|PA|=10,|PB|=13,|PC|=5,
所以|PA|<|PB|<|PC|,
所以圆的半径r=|PB|=13.
故所求圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=13.
11.解析 (1)因为|Δx|+|Δy|=3(Δx,Δy为非零整数),所以|Δx|=1,|Δy|=2或|Δx|=2,|Δy|=1,
所以点(0,0)的“相关点”有8个.
(2)设点(0,0)的“相关点”的坐标为(x1,y1),由(1)知|Δx|2+|Δy|2=5,即(x1-0)2+(y1-0)2=5,所以所有“相关点”都在以(0,0)为圆心,5为半径的圆上,所求圆的方程为x2+y2=5.