高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.3 直线的交点坐标与距离公式当堂达标检测题

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考点一 相交直线的交点
【例1-1】（2023·江苏）直线与直线的交点坐标是（ ）
A．(2,0)B．(2,1)
C．(0,2)D．(1,2)
【答案】C
【解析】解方程组得，即直线与直线的交点坐标是(0,2)．
故选：C.
【例1-2】（2023·高二课时练习）若直线与直线相交且交点在第二象限内，则k的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】若直线与直线平行或重合，则，解得，
若直线与直线相交，可得且，则有：
联立方程，解得，即交点坐标，
由题意可得：，解得；综上所述：k的取值范围为.故选：C.
【例1-3】（2022·江苏·高二专题练习）若三条直线，与共有两个交点，则实数的值为（ ）
A．1B．-2C．1或-2D．-1
【答案】C
【解析】由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行，
∵直线和直线不平行，
∴直线和直线平行或直线和直线平行，
∵直线的斜率为1，直线的斜率为，直线的斜率为，
∴或.
故选：C.
【一隅三反】
1．（2023·天津·高二校联考期末）过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】联立方程 ，解得 ，所以交点坐标为 ；
直线 的斜率为 ，所以所求直线方程的斜率为 ，
由点斜式直线方程得：所求直线方程为 ，即 ；故选：B.
2．（2023·海南海口·海南华侨中学校考二模）若直线与直线的交点在直线上，则实数（ ）
A．4B．2C．D．
【答案】A
【解析】解方程组，得直线与直线的交点，
依题意，，解得，所以实数.故选：A
3．（2023春·江西·高二江西省清江中学校考期末）若直线与直线的交点在第一象限，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】联立方程组，解得，
因为直线与直线的交点在第一象限，
所以，解得，所以，即实数的取值范围是.
故选：A
考点二 距离
【例2-1】1（2023春·新疆塔城）已知两点，，则（ ）
A．3B．5C．9D．25
【答案】B
【解析】因为，，则.故选：B
【例2-2】（2023·重庆·高二统考学业考试）点(1,1)到直线的距离是（ ）
A．1B．2C．
【答案】A
【解析】，故选：A
【例2-3】（2022秋·福建·高二校联考期中）已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ）．
A．1B．2C．D．4
【答案】B
【解析】因为直线与直线平行，所以，解得，
所以直线，即，即，所以两平行线之间的距离.故选：B
【一隅三反】
1．（2023广东）直线l：4x﹣y﹣4＝0与l1：x﹣2y﹣2＝0及l2：4x+3y﹣12＝0所得两交点的距离为（ ）
A．B．C．3D．
【答案】D
【解析】由得，即，
由得，即，
则|AB|.故选：D
2．（2023春·甘肃白银）（多选）下列直线与直线平行，且与它的距离为的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【解析】设所求直线的方程为，由题意可得，解得或0．故所求直线的方程为或．故选：AD
3．（2023广东）与点之间的距离为2，且在轴上的截距为4的直线是（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】C
【解析】与的距离为2，在轴上的截距为4，故符合要求；
对于直线，有且时，故也符合要求；
与的距离为3且轴无交点，不符合要求.
∴、都是与点距离为2且在轴上的截距为4的直线.
故选：C
考点三 直线系过定点
【例3】（2023·全国·高三专题练习）直线恒过定点（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】将化为，
联立，得，
即直线过定点．
故选：C
【一隅三反】
1．（2023春·上海长宁·高二上海市第三女子中学校考期中）直线（）必过点 .
【答案】
【解析】直线方程（）可化为，
（），
∴由，解得，
∴直线（）必过定点.
故答案为：.
2．（2023·安徽省）已知直线恒过定点，点也在直线上，其中，均为正数，则的最小值为（ ）
A．2B．4C．8D．6
【答案】B
【解析】已知直线整理得：，
直线恒过定点，即.
点也在直线上，
所以，整理得：，
由于，均为正数，则,
取等号时，即，故选：B.
考点四 对称问题
【例4-1】（2023·云南）点关于直线的对称点Q的坐标为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设点关于直线的对称点的坐标为，则，解得．
所以点Q的坐标为.故选：A
【例4-2】（2023春·上海杨浦）设直线与关于直线对称，则直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】联立，得，
取直线上一点，设点关于直线的对称点为，则，解得：，
直线的斜率，所以直线的方程为，
整理为：.
故选：A
【例4-3】（2023北京市平谷区）直线y＝4x﹣5关于点P（2，1）对称的直线方程是（ ）
A．y＝4x+5B．y＝4x﹣5C．y＝4x﹣9D．y＝4x+9
【答案】C
【解析】设直线上的点关于点的对称点的坐标为，
所以，，所以，，
将其代入直线中，得到，化简得，故选：C．
【一隅三反】
1．（2023春·江西宜春）点关于直线的对称点的坐标为 .
【答案】
【解析】设点是点关于直线的对称点.
由已知直线的斜率为1，所以，
解得，所以点.故答案为：.
2．（2022秋·江苏淮安）已知点与点关于直线对称，则的值为 ．
【答案】
【解析】因为、，所以的中点为，
因为点与点关于直线对称，所以的中点在此直线上，
所以，即，
故答案为：
3．（2023·黑龙江）直线关于点对称的直线方程为____________.
【答案】
【解析】设直线关于点对称的直线方程为，
在上任取一点，
则点关于点对称的点的坐标为，
由题意可知点在直线上，
故，整理可得.
故答案为：
4．（2023·湖南郴州）已知入射光线经过点，被直线：反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的方程为 .
【答案】
【解析】由题意可知，反射光线经过点关于直线的对称点，
如图所示：
直线的方程即为反射光线所在的直线方程，
又，可得，
根据直线的点斜式方程可得，反射光线所在直线方程为，
整理得，即反射光线所在直线的方程为.
故答案为：.
5．（2023春·上海宝山·高二上海市吴淞中学校考期中）直线关于直线对称的直线方程为
【答案】
【解析】设所求直线方程为，且，
直线与直线间的距离为，
则直线与直线间的距离为，又，得，
所以所求直线方程为，
故答案为：.
6．（2022秋·山东淄博·高二统考期末）直线恒过定点，则点关于直线对称的点N坐标为 ．
【答案】
【解析】直线，即，
当，即时，，
故直线恒过定点，
设点关于直线对称的点N坐标为，
，，即，故答案为：.
考点五 综合运用
【例5-1】（2023秋·高二课时练习）使三条直线不能围成三角形的实数m的值最多有几个（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【答案】B
【解析】要使三条直线不能围成三角形，存在两条直线平行或三条直线交于一点，
若平行，则，即；
若平行，则，即无解；
若平行，则，即；
若三条直线交于一点，，可得或；
经检验知：均满足三条直线不能围成三角形，故m最多有4个.
故选：B
【例5-2】（2022秋·湖北宜昌·高二校联考期中）函数的最小值是（ ）
A．5B．4C．D．
【答案】A
【解析】，
则其几何意义为点到两定点的距离和，点表示为横坐标上的点，作出如图所示：
根据将军饮马模型，作出点关于轴对称点，连接，交轴于点，
则，此时直线的直线方程为
令，则，故当时，.
故选：A.
【例5-3】．（2023北京）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A．B．5C．D．
【答案】A
【解析】先找出B关于直线的对称点C再连接AC即为“将军饮马”的最短路程.
如图所示，
设点关于直线的对称点为，在直线上取点P，连接PC，则．由题意可得，解得，即点，所以，当且仅当A，P，C三点共线时等号成立，所以“将军饮马”的最短总路程为．
故选：A．
【一隅三反】
1．（2023·辽宁大连）代数式的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
由两点之间距离公式可以得到表示点到的距离，表示点到的距离，
所以代数式表示，由图像可知在在运动，所以易得关于对称点为，
连接交于点，此时最小，最小值为.
故选：B.
2．（2023·天津）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A．B．5C．D．
【答案】D
【解析】由关于的对称点为，
所以，可得，即对称点为，又
所以“将军饮马”的最短总路程为.
故选：D
3．（2022秋·河北张家口·高二校联考期中）（多选）若直线，，不能构成三角形，则m的取值可能为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】ABD
【解析】因为直线，，不能构成三角形，
所以存在，，过与的交点三种情况.
显然，.则直线的斜率分别为，，.
当时，有，即，解得；
当时，有，即，解得；
当过与的交点时.先联立，解得，则与的交点为，
代入，得，解得．
综上：或或．
故选：ABD．
4．（2023·黑龙江哈尔滨）直线过点，点到直线的距离为，直线与直线关于点对称.
(1)求直线的方程；
(2)记原点为，直线上有一动点，则当最小时，求点的坐标.
【答案】(1)；
(2).
【解析】1）由题意设直线的斜率存在，设直线的方程为，
因为点到直线的距离为，
所以，
化简得，解得，
所以直线的方程为，
当时，，
则直线与轴交于点，
点，关于点的对称轴分别为，
所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，即，
（2）设原点为关于直线的对称点为，则，
所以，
所以当三点共线时取等号，
设，则，解得，即，
所以，
所以直线的方程为，即，
由，解得，即.