人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程导学案及答案

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程导学案及答案，共11页。学案主要包含了圆的一般方程的辨析，求圆的一般方程，圆的轨迹问题等内容，欢迎下载使用。

导语
前面我们已讨论了圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，现将其展开可得x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0.可见，任何一个圆的方程都可以变形为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的形式．请大家思考一下，形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程表示的曲线是不是圆？下面我们来探讨这一方面的问题．
一、圆的一般方程的辨析
问题1 如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0能表示圆的方程，有什么条件？
提示 将方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，配方可得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(D,2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(E,2)))2＝eq \f(D2＋E2－4F,4)，当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆．
问题2 当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示什么图形？
提示 当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，表示一个点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2))).
知识梳理
1．圆的一般方程：当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程．
2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形
注意点：
(1)二元二次方程要想表示圆，需x2和y2的系数相同且不为0，没有xy这样的二次项．
(2)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0.
例1 若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆．
(1)求实数m的取值范围；
(2)写出圆心坐标和半径．
解 (1)由表示圆的充要条件，
得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，
解得m(2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，故圆心坐标为(－m,1)，半径r＝eq \r(1－5m).
反思感悟 圆的一般方程的辨析
(1)由圆的一般方程的定义，若D2＋E2－4F>0成立，则表示圆，否则不表示圆．
(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解．
跟踪训练1 (1)若方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)表示圆，则圆心坐标和半径分别为________________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,2)，\f(a,2)))，eq \f(\r(2)|a|,2)
解析 方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)，
可化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(a,2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(a,2)))2＝eq \f(a2,2)，
故圆心坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,2)，\f(a,2)))，半径为eq \f(\r(2)|a|,2).
(2)点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的面积为________．
答案 9π
解析 圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0的圆心坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(k,2)，－1))，
由圆的性质，知直线x－y＋1＝0经过圆心，
∴－eq \f(k,2)＋1＋1＝0，得k＝4，
圆x2＋y2＋4x＋2y－4＝0的半径为eq \f(1,2)eq \r(42＋22＋16)＝3，
∴该圆的面积为9π.
二、求圆的一般方程
例2 已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)．
(1)求△ABC的外接圆的一般方程；
(2)若点M(a,2)在△ABC的外接圆上，求a的值．
解 (1)设△ABC外接圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
由题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(22＋22＋2D＋2E＋F＝0，,52＋32＋5D＋3E＋F＝0，,32＋－12＋3D－E＋F＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＝－8，,E＝－2，,F＝12.))
即△ABC的外接圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0.
(2)由(1)知，△ABC的外接圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0，
∵点M(a,2)在△ABC的外接圆上，
∴a2＋22－8a－2×2＋12＝0，
即a2－8a＋12＝0，解得a＝2或6.
反思感悟 求圆的方程的策略
(1)几何法：由已知条件通过几何关系求得圆心坐标、半径，得到圆的方程；
(2)待定系数法：选择圆的一般方程或标准方程，根据条件列关于a，b，r或D，E，F的方程组解出系数得到方程．
跟踪训练2 已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为eq \r(2)，求圆的一般方程．
解 圆心Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，
∵圆心在直线x＋y－1＝0上，
∴－eq \f(D,2)－eq \f(E,2)－1＝0，
即D＋E＝－2.①
又∵半径长r＝eq \f(\r(D2＋E2－12),2)＝eq \r(2)，
∴D2＋E2＝20.②
由①②可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＝2，,E＝－4，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＝－4，,E＝2.))
又∵圆心在第二象限，
∴－eq \f(D,2)<0，即D>0.则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＝2，,E＝－4.))
故圆的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
三、圆的轨迹问题
问题3 轨迹和轨迹方程有什么区别？
提示 轨迹是指点在运动变化中形成的图形，比如直线、圆等．轨迹方程是点的坐标满足的关系式．
例3 点A(2,0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1,1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP的中点M的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程．
解 (1)设线段AP的中点为M(x，y)，
由中点公式，得点P的坐标为(2x－2,2y)．
∵点P在圆x2＋y2＝4上，
∴(2x－2)2＋(2y)2＝4，
故线段AP的中点M的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)设线段PQ的中点为N(x，y)，
在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.
设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ，
∴|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4，
故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
延伸探究
1.在本例条件不变的情况下，求过点B的弦的中点T的轨迹方程．
解 设T(x，y)．
因为点T是弦的中点，所以OT⊥BT.
当斜率存在时，有kOT·kBT＝－1.
即eq \f(y,x)·eq \f(y－1,x－1)＝－1，
整理得x2＋y2－x－y＝0.
当x＝0或1时，点(0,0)，(0,1)，(1,0)，(1,1)也都在圆上．
故所求轨迹方程为x2＋y2－x－y＝0.
2．本例条件不变，求BP的中点E的轨迹方程．
解 设点E(x，y)，P(x0，y0)．
∵B(1,1)，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(x0＋1,2)，,y＝\f(y0＋1,2).))
整理得x0＝2x－1，y0＝2y－1，
∵点P在圆x2＋y2＝4上，
∴(2x－1)2＋(2y－1)2＝4，
整理得点E的轨迹方程为x2＋y2－x－y－eq \f(1,2)＝0.
反思感悟 求与圆有关的轨迹问题的方程
(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．
(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．
(3)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．
跟踪训练3 已知△ABC的边AB长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程．
解 以直线AB为x轴，AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系(如图)，
则A(－2,0)，B(2,0)，设C(x，y)，BC的中点D(x0，y0)．
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2＋x,2)＝x0，,\f(0＋y,2)＝y0.))①
∵|AD|＝3，∴(x0＋2)2＋yeq \\al(2,0)＝9.②
将①代入②，整理得(x＋6)2＋y2＝36.
∵点C不能在x轴上，∴y≠0.
综上，点C的轨迹是以(－6,0)为圆心，6为半径的圆，去掉(－12,0)和(0,0)两点．
轨迹方程为(x＋6)2＋y2＝36(y≠0)．
1．知识清单：
(1)圆的一般方程．
(2)求动点的轨迹方程．
2．方法归纳：待定系数法、几何法、定义法、代入法．
3．常见误区：忽视圆的一般方程表示圆的条件．
1．若x2＋y2－x＋y－2m＝0是一个圆的方程，则实数m的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,4))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，＋∞))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，＋∞)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,4)))
答案 C
解析 根据题意，得(－1)2＋12－4×(－2m)>0，
所以m>－eq \f(1,4).
2．已知圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的圆心坐标为(－2,3)，D，E分别为( )
A．4，－6 B．－4，－6
C．－4,6 D．4,6
答案 A
解析 圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的圆心坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，
又已知该圆的圆心坐标为(－2,3)，
∴－eq \f(D,2)＝－2，－eq \f(E,2)＝3，
∴D＝4，E＝－6.
3．(多选)圆x2＋y2－4x－1＝0( )
A．关于点(2,0)对称
B．关于直线y＝0对称
C．关于直线x＋3y－2＝0对称
D．关于直线x－y＋2＝0对称
答案 ABC
解析 x2＋y2－4x－1＝0⇒(x－2)2＋y2＝5，
即圆心的坐标为(2,0)．
A项，圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点(2,0)是圆心，故正确；
B项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线y＝0过圆心，故正确；
C项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线x＋3y－2＝0过圆心，故正确；
D项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线x－y＋2＝0不过圆心，故不正确．
4．已知△ABC的顶点A(0,0)，B(4,0)，且AC边上的中线BD的长为3，则顶点C的轨迹方程是__________．
答案 (x－8)2＋y2＝36(y≠0)
解析 设C(x，y)(y≠0)，
则Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)，\f(y,2))).
∵B(4,0)，且AC边上的中线BD长为3，
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－4))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y,2)))2＝9，
即(x－8)2＋y2＝36(y≠0)．
课时对点练
1．(多选)若a∈eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－2，0，1，\f(2,3)))，方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的值可以为( )
A．－2 B．0 C．1 D.eq \f(2,3)
答案 ABD
解析 根据题意，若方程表示圆，则有(2a)2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)>0，解得a<1，又a∈eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－2，0，1，\f(2,3)))，则a的值可以为－2,0，eq \f(2,3).
2．已知圆的方程为x2＋y2＋2ax＋9＝0，圆心坐标为(5,0)，则它的半径为( )
A．3 B.eq \r(5) C．5 D．4
答案 D
解析 圆的方程x2＋y2＋2ax＋9＝0，
即(x＋a)2＋y2＝a2－9，
它的圆心坐标为(－a,0)，可得a＝－5，
故它的半径为eq \r(a2－9)＝eq \r(25－9)＝4.
3．(多选)下列结论正确的是( )
A．任何一个圆的方程都可以写成一个二元二次方程
B．圆的一般方程和标准方程可以互化
C．方程x2＋y2－2x＋4y＋5＝0表示圆
D．若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F>0
答案 ABD
解析 AB显然正确；C中方程可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝0，所以表示点(1，－2)；D正确．
4．已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点A(1,0)，则圆C的圆心的轨迹是( )
A．点 B．直线
C．线段 D．圆
答案 D
解析 ∵圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点A(1,0)，
∴(1－a)2＋(0－b)2＝1，
∴(a－1)2＋b2＝1，
∴圆C的圆心的轨迹是以(1,0)为圆心，1为半径的圆．
5．圆C：x2＋y2－4x＋2y＝0关于直线y＝x＋1对称的圆的方程是( )
A．(x＋1)2＋(y－2)2＝5 B．(x＋4)2＋(y－1)2＝5
C．(x＋2)2＋(y－3)2＝5 D．(x－2)2＋(y＋3)2＝5
答案 C
解析 把圆C的方程化为标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝5，
∴圆心C(2，－1)．
设圆心C关于直线y＝x＋1的对称点为C′(x0，y0)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(y0－－1,x0－2)＝－1，,\f(y0－1,2)＝\f(x0＋2,2)＋1，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝－2，,y0＝3，))故C′(－2,3)，
∴圆C关于直线y＝x＋1对称的圆的方程为(x＋2)2＋(y－3)2＝5.
6．若当方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆取得最大面积时，则直线y＝(k－1)x＋2的倾斜角α等于( )
A.eq \f(π,2) B.eq \f(π,4) C.eq \f(3π,4) D.eq \f(π,5)
答案 C
解析 x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0化为标准式为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(k,2)))2＋(y＋1)2＝1－eq \f(3,4)k2，所以当k＝0时圆的半径最大，面积也最大，此时直线的斜率为－1，故倾斜角为eq \f(3π,4).
7．过三点O(0,0)，M(1,1)，N(4,2)的圆的方程为________________．
答案 x2＋y2－8x＋6y＝0
解析 设过三点O(0,0)，M(1,1)，N(4,2)的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(F＝0，,1＋1＋D＋E＋F＝0，,16＋4＋4D＋2E＋F＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＝－8，,E＝6，,F＝0，))
故所求圆的方程为x2＋y2－8x＋6y＝0.
8．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，eq \r(5))在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为eq \f(4\r(5),5)，则圆C的一般方程为________________．
答案 x2＋y2－4x－5＝0
解析 设圆C的圆心坐标为(a,0)(a>0)，
由题意可得eq \f(|2a|,\r(5))＝eq \f(4\r(5),5)，
解得a＝2(a＝－2舍去)，
所以圆C的半径为eq \r(22＋－\r(5)2)＝3，
所以圆C的方程为x2＋y2－4x－5＝0.
9．已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0表示一个圆．
(1)求t的取值范围；
(2)求这个圆的圆心坐标和半径；
(3)求该圆半径r的最大值及此时圆的标准方程．
解 (1)圆的方程化为[x－(t＋3)]2＋[y＋(1－4t2)]2＝1＋6t－7t2.
由7t2－6t－1<0，得－eq \f(1,7)故t的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,7)，1)).
(2)由(1)知，圆的圆心坐标为(t＋3,4t2－1)，半径为eq \r(1＋6t－7t2).
(3)r＝eq \r(－7t2＋6t＋1)
＝eq \r(－7\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(3,7)))2＋\f(16,7))≤eq \f(4\r(7),7).
所以r的最大值为eq \f(4\r(7),7)，此时t＝eq \f(3,7)，
故圆的标准方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(24,7)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(13,49)))2＝eq \f(16,7).
10.如图，已知线段AB的中点C的坐标是(4,3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB的端点B的轨迹方程．
解 设B点坐标是(x，y)，点A的坐标是(x0，y0)，由于点C的坐标是(4,3)且点C是线段AB的中点，所以4＝eq \f(x0＋x,2)，3＝eq \f(y0＋y,2)，
于是有x0＝8－x ，y0＝6－y.①
因为点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，
所以点A的坐标满足方程(x＋1)2＋y2＝4，
即(x0＋1)2＋yeq \\al(2,0)＝4，②
把①代入②，得(8－x＋1)2＋(6－y)2＝4，
整理，得(x－9)2＋(y－6)2＝4.
所以点B的轨迹方程为(x－9)2＋(y－6)2＝4.
11．圆x2＋y2－ax－2y＋1＝0关于直线x－y－1＝0对称的圆的方程是x2＋y2－4x＋3＝0，则a的值为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
答案 C
解析 由于圆x2＋y2－ax－2y＋1＝0的圆心为Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，1))，圆x2＋y2－4x＋3＝0的圆心为N(2,0)，又两圆关于直线x－y－1＝0对称，故有eq \f(1－0,\f(a,2)－2)×1＝－1，解得a＝2.
12．圆x2＋y2－2x＋6y＋8＝0的面积为( )
A．8π B．4π
C．2π D．π
答案 C
解析 原方程可化为(x－1)2＋(y＋3)2＝2，
∴半径r＝eq \r(2)，∴圆的面积为S＝πr2＝2π.
13．已知圆C经过点(4,2)，(1,3)和(5,1)，则圆C与两坐标轴的四个截距之和为________．
答案 －2
解析 设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
将(4,2)，(1,3)，(5,1)代入方程中，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(16＋4＋4D＋2E＋F＝0，,1＋9＋D＋3E＋F＝0，,25＋1＋5D＋E＋F＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＝－2，,E＝4，,F＝－20，))
所以圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0.
令x＝0，则y2＋4y－20＝0，
由根与系数的关系得y1＋y2＝－4；
令y＝0，则x2－2x－20＝0，
由根与系数的关系得x1＋x2＝2，
故圆C与两坐标轴的四个截距之和为y1＋y2＋x1＋x2＝－4＋2＝－2.
14．设直线2x＋3y＋1＝0和圆x2＋y2－2x－3＝0相交于点A，B，则弦AB的垂直平分线的方程是____________．
答案 3x－2y－3＝0
解析 圆的方程x2＋y2－2x－3＝0，化为标准方程为(x－1)2＋y2＝4，圆心坐标为(1,0)，由kAB＝－eq \f(2,3)，得AB的垂直平分线的斜率为eq \f(3,2)，且过圆心，从而所求直线方程为y－0＝eq \f(3,2)(x－1)，即3x－2y－3＝0.
15．已知点P(7,3)，圆M：x2＋y2－2x－10y＋25＝0，点Q为圆M上一点，点S在x轴上，则|SP|＋|SQ|的最小值为( )
A．7 B．8 C．9 D．10
答案 C
解析 由题意知圆M的方程可化为(x－1)2＋(y－5)2＝1，所以圆心为M(1,5)，半径为1.如图所示，作点P(7,3)关于x轴的对称点P′(7，－3)，
连接MP′，交圆M于点Q，交x轴于点S，此时|SP|＋|SQ|的值最小，否则，在x轴上另取一点S′，连接S′P，S′P′，S′Q，由于P与P′关于x轴对称，所以|SP|＝|SP′|，|S′P|＝|S′P′|，所以|SP|＋|SQ|＝|SP′|＋|SQ|＝|P′Q|<|S′P′|＋|S′Q|＝|S′P|＋|S′Q|.
故(|SP|＋|SQ|)min＝|P′M|－1＝eq \r(1－72＋5＋32)－1＝9.
16．在平面直角坐标系xOy中，长度为2的线段EF的两端点E，F分别在两坐标轴上运动．
(1)求线段EF的中点G的轨迹C的方程；
(2)设轨迹C与x轴交于A1，A2两点，P是轨迹C上异于A1，A2的任意一点，直线PA1交直线l：x＝3于M点，直线PA2交直线l于N点，求证：以MN为直径的圆C总过定点，并求出定点坐标．
解 (1)设G(x，y)，由中点坐标公式得E(2x,0)，F(0,2y)，
∴|EF|＝eq \r(2x2＋－2y2)＝2，
整理得x2＋y2＝1，
∴线段EF的中点G的轨迹C的方程为x2＋y2＝1.
(2)由已知设A1(－1,0)，A2(1,0)，
设P(x0，y0)，x0≠±1，xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)＝1，
直线PA1的方程为y＝eq \f(y0,x0＋1)(x＋1)，
令x＝3，得y＝eq \f(4y0,x0＋1)，
则Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(4y0,x0＋1)))，
同理，可求Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(2y0,x0－1)))，MN的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(1－3x0,y0)))，|MN|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(4y0,x0＋1)－\f(2y0,x0－1)))＝2eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(3－x0,y0)))，
∴以MN为直径的圆C的方程为
(x－3)2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(1－3x0,y0)))2＝eq \f(3－x02,y\\al(2,0)).
令y＝0，得(x－3)2＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1－3x0,y0)))2＋eq \f(3－x02,y\\al(2,0))＝eq \f(8－8x\\al(2,0),y\\al(2,0))＝8.
∴x＝3±2eq \r(2)，圆C总过定点，定点坐标为(3＋2eq \r(2)，0)或(3－2eq \r(2)，0)．
条件
图形
D2＋E2－4F<0
不表示任何图形
D2＋E2－4F＝0
表示一个点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))
D2＋E2－4F>0
表示以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))为圆心，以eq \f(\r(D2＋E2－4F),2)为半径的圆