2024新高考数学基础知识梳理与课本优秀题目巩固-模块01-集合与逻辑用语-2025新高考数学专题

这是一份2024新高考数学基础知识梳理与课本优秀题目巩固-模块01-集合与逻辑用语-2025新高考数学专题，共7页。试卷主要包含了元素与集合，元素与集合的关系，集合中元素的三个特性，集合的分类，集合表示方法，常用数集符号，集合间的基本关系，集合的基本运算等内容，欢迎下载使用。
(1) 元素与集合的含义
元素:一般地,把研究对象统称为元素,常用小写拉丁字母 a,b,c,… 表示.
集合: 把一些元素组成的总体叫做集合 (简称集). 用大写拉丁字母 A、B、C… 表示.
(2) 集合相等: 只要构成两个集合的元素是一样的, 我们就称这两个集合是相等的; 反过来, 当这两个集合相等 时, 这两个集合中的元素是完全相同的.
2、元素与集合的关系
3、集合中元素的三个特性（判断是否是集合的依据）
(1) : 对任意一个元素, 要么它属于某个指定集合, 要么它不属于该集合, 二者必居其一;
(2) (同一个集合中的元素是互不相同的, 相同的元素只能出现一次;
(3) _____ : 集合中的元素没有先后顺序.
4、集合的分类
(1) 按元素属性分类: 数集、点集、图形集等;
(2) 按元素个数分类: 有限集、无限集
5、集合表示方法
(1) 列举法:
(2) 描述法:
描述法表示集合的基本形式: {x∈A∣Px}
(3) 图示法: Venn 图和数轴表示集合.
6、常用数集符号
7、集合间的基本关系
(1) 集合间的关系:
(2) 空集: 把不含任何元素的集合叫做空集,记作: ⌀ ; 规定: 空集是任何集合的子集: 空集是任何非空集合的 真子集.
(3) 用 Venn 图表示集合间的基本关系:
(4) 含有 n 个元素的集合
8、集合的基本运算
(1) 集合的基本运算
(2) 全集: 如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,就称这个集合为全集,通常记作 U .
(3) 德・摩根定律:
(1) CUA∩B=CUA∪CUB (2) CUA∪B=CUA∩CUB ∁vA∩B
∁vA∪∁vB
(4) 集合中元素个数计算 (阅读课本人教 A 版 P15-P16)
(1) cardA∪B=cardA+cardB−cardA∩B ;
(2) cardA∪B∪C=cardA+cardB+cardC−cardA∩B−cardA∩C−cardB∩C+cardA∩B∩C
9、充分条件与必要条件
(1) 充分条件与必要条件
一般地,“若 p ,则 q ” 为真命题,是指由 p 通过推理可以得出 q . 即由 p 退出 q ,记作:
并说________的充分条件，_______的必要条件. (2) 充分条件、必要条件、充要条件的判断
注: 把 p 研究的范围看成集合 A ,把 q 研究的范围看成集合 B ,记 A={x∣px},B={x∣qx}
(3) 充要条件的证明:
(1)证明 “ p 是 q 充要条件”,要分别从 “ p⇒q ” 和 “ q⇒p ” 两个方面证明,即要分别证明充分性和必要 性两个方面, 但是, 在表述中要注意充分性与必要性对应的关系.
(2)要分清命题中的条件和结论,防止把充分性和必要性弄颠倒,由条件 ⇒ 结论是证明充分性,由结论 ⇒ 条 件是证明必要性.
10、全称量词与存在量词
(1) 全称量词与全称量词命题
(2) 存在量词与存在量词命题
(3) 量词的否定
【课本优质习题汇总】
新人教 A 版必修一 P14
6. 已知全集 U=A∪B={x∈N∣0≤x≤10},A∩∁UB={1,3,5,7} ,试求集合 B .
新人教 A 版必修一 P23
5. 设 a,b,c∈R . 证明: a2+b2+c2=ab+ac+bc 的充要条件是 a=b=c .
6. 设 a,b,c 分别是 △ABC 的三条边,且 a≤b≤c . 我们知道,如果 △ABC 为直角三角形,那 么 a2+b2=c2 (勾股定理). 反过来,如果 a2+b2=c2 ,那么 △ABC 为直角三角形 (勾股定理 的逆定理). 由此可知, △ABC 为直角三角形的充要条件是 a2+b2=c2 .
请利用边长 a,b,c 分别给出 △ABC 为锐角三角形和钝角三角形的一个充要条件,并证明.
新人教 A 版必修一 P35
11. 学校举办运动会时, 高一 (1) 班共有 28 名同学参加比赛, 有 15 人参加游泳比赛, 有 8 人参 加田径比赛, 有 14 人参加球类比赛, 同时参加游泳比赛和田径比赛的有 3 人, 同时参加游泳 比赛和球类比赛的有 3 人, 没有人同时参加三项比赛. 同时参加田径和球类比赛的有多少人? 只参加游泳一项比赛的有多少人?
12. 根据下述事实, 分别写出含有量词的全称量词命题或存在量词命题:
(第 12 (2) 题)
(1) 1=12 ,
1+3=22,
1+3+5=32,
1+3+5+7=42,
1+3+5+7+9=52,
(2) 如图,在 △ABC 中, AD,BE 与 CF 分别为 BC,AC 与 AB 边上的高,则 AD,BE 与 CF 所在的直线交于一点 O .新人教 B 版必修一 P22
(1) 已知集合 A={1,3,m},B=m2,1 ,且 A∪B=A ,求 m 的值.
(2) 已知集合 P=x∣x2≤1,M=a ,若 P⋃M=P ,求 a 的取值范围.
(3) 已知 U=−∞,+∞,A=(−∞,a],B=−∞,1 ,且 ∁UA∪B=U , 求 a 的取值范围.
(3) 已知 M,N 为全集 U 的非空真子集,且 M 与 N 不相等,若 ∁UM∩N=⌀ , 试判断集合 M 和 N 的关系,并求出 M∪N .
新人教 B 版必修一 P31
(3) 已知区间 M=[a,a+1] ,且 “ ∀x∈M,x+1>0 ” 是真命题,求实数 a 的取 值范围.
新人教 B 版必修一 P38
Q 判断下列命题的真假:
(1) ∀x∈R,1x2+1